03点.直线.平面的投影(无两直线垂直相交(或垂直交叉)内容).ppt
3.点.直线.平面的投影,3.3 平面的投影,3.2 直线的投影,3.1 点的投影,返回,教学目标,3.掌握点与线的相对位置中，从属性和定比性的运用。,2.掌握各种位置直线和平面的投影特征，作图方 法以及在投影图上正确判断其空间位置。,1.掌握点的投影规律与作图法。,教学目标,4.掌握两直线相对位置的投影特征及判断方法。,点、直线、平面是构成形体的基本几何元素,B,C,D,A,3.1 点的投影,3.1.1点的三面投影,3.1.2各种位置点的投影,3.1.3点的相对位置,空间点A；a 点A的水平面(H)投影;a点A的正面(V)投影;a点A的侧面(W)投影。,3.1.1点的三面投影,空间点的位置和直角坐标,空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。,点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z。,投影面展开,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,a,H面向下旋转90,H,W面向右旋转90,ay,ay,V面不动,aaOX轴;aaOZ轴;a到OX轴的距离=a到OZ轴的距离,Aa=aax=a az=ay0=yAA点到V面的距离,Aa=aax=a ay=az0=zAA点到H面的距离,Aa=aay=a az=ax0=xAA点到W面的距离,点的三面投影规律:,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,例:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的 三面投影图。,作投影轴；,量取：Oax=12,OaYH=OaYW=10,Oaz=15。得ax、az、OaYH、OaYW等点；,步骤:,过ax、az、aYH、aYW等点分别 作所在轴的垂线，交点 a、a、a即为所求。,例：已知点的两个投影，求第三投影。,a,a,ax,az,az,解法一:,解法二:,通过作45线使aaz=aax,用圆规直接量取aaz=aax,ayH,ayW,Z,X,YW,O,YH,3.1.2点的空间位置,1.在空间（X，Y，Z）,点在投影体系中有四种位置情况：,3.1.2各种位置点的投影,X,V,Y,O,W,Z,H,由于X，Y，Z均不为零，对三个投影面都有一定距离，所以点的三个投影都不在轴上。,3.1.2点的空间位置,由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。,2.在投影面上：在H面上（X，Y，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在V面上（X，0，Z）,在W面上（0，Y，Z）,3.1.2点的空间位置,由于点在投影轴上，点对两个投影面的距离为零。所以，点在该两投影面上的投影与空间点都重合在该两投影面相交的投影轴上，另一个投影与原点重合。,3.在投影投影轴上：在X轴上（X，0，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,在Y轴上（0，Y，0）,在Z轴上（0，0，Z）,X,V,Y,O,W,Z,3.1.2点的空间位置,由于点在原点上，点对三个投影面的距离都为零。所以，点的三个投影与空间点都重合在原点上。,4.在原点上：（0，0，0）,X,V,Y,O,W,Z,H,B点在A点的左、下、前方。,3.1.3点的相对位置,3.1.3点的相对位置,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,左右位置:x 坐标大的在左，x 坐标小的在右；,前后位置:y 坐标大的在前，y 坐标小的在后；,上下位置:z 坐标大的在上，z 坐标小的在下。,判断方法：,当空间两点（如A、B）到两个投影面(如V、W)的距离分别对应相等时，该两点在同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面（H）上的投影重合在一起a(b)，这两点(A、B)称为对该投影面（H）的重影点。,两点重影,重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。,两点重影,(),H面重影，被挡住的投影加(),3.2 直线的投影,3.2.1各种位置直线及其投影特征,3.2.2直线与点的相对位置,3.2.3两直线的相对位置,3.2 直线的投影,两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的投影。,直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB 全等性,直线垂直于投影面投影重合为一点ab=0 积聚性,直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=AB 类似性,3.2 直线的投影,3.2.1各种位置直线的投影特征,直线中的投影特性,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,直线在三个投影面中的投影特性,投影特性：,三个投影都具有类似性,都不反映空间线段的实长及与三个投影面的夹角，且与三根投影轴都倾斜。,(1)一般位置直线,(2)投影面平行线,投影特性：,1.水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB;水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。即 abox轴，abOYW轴；3.水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角；与OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角。,水平线的投影特征：,对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。,投影面平行线,1.在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另外两投影面倾角。,2.另外两个投影面上的投影平行于相应的投 影轴。,水平线,侧平线,正平线,投 影 特 性：,直线与H面的夹角:,与V面的夹角:,与W面的夹角:,实长,实长,实长,(3)投影面垂直线,投影特性：,H面投影积聚成一点；V、W面投影反映实长，即ab=ab=AB；V、W面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即：abox轴ab oz轴。,对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。,铅垂线投影特征:,投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。,1.在其垂直的投影面上，投影具有积聚性。,投影特性:,积聚为点,积聚为点,积聚为点,例：判断下列直线的空间位置,AB为正平线,CD为侧垂线,3.2.2直线与点的相对位置,若点在直线上,则点的投影必在该直线的同面投影上，即具有从属性。若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例，即具有定比性：AC/CB=ac/cb=ac/c b,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,判别方法：,V,H,3.2.2直线与点的相对位置,在,不在,判定:,例：判断点K是否在线段AB上。,a,b,因k不在a b上，故点K不在AB上。,应用定比定理,另一判断法是,因ak:kb ak:kb 故点K不在AB上。,X,Z,YW,YH,O,两直线平行,投影特性：,空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。,3.2.3两直线的相对位置,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。,例：判断图中两条直线是否平行。,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,结论：AB/CD,b,d,c,a,对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。,结论:AB与CD不平行,例：判断图中两条直线是否平行。,求出侧面投影,如何判断,2.两直线相交,判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,例：过C点作水平线CD与AB相交。,先作正面投影,d,b,a,a,b,c,d,c,1(2),3(4),3.两直线交叉,同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,3,4,判断:AB与CD两直线相交吗,两直线交叉的投影特性：,结论：AB与CD两直线不相交,1,2,3.3 平面的投影,3.3.1平面的表示法,3.3.2各种位置平面及其投影特征,3.3.3平面上的直线和点,3.3.1平面的表示法,不在同一直线上的三个点,直线及线外一点,两平行直线,两相交直线,平面图形,3.3.1平面的表示法,一 用几何元素表示平面,在三投影面体系中，空间平面与投影面的交线，称为平面的迹线。,平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线，用PV表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用PH表示；平面P与W面的交线称为平面P的侧面迹线，用PW表示。平面与各投影轴的交点(即两迹线的交点)，称为迹线集合点，分别用PX、PY、PZ表示。,二 用迹线表示平面,二 用迹线表示平面,3.3.2各种位置平面的投影特性,平面平行投影面-投影就把实形现,平面垂直投影面-投影积聚成一线,平面倾斜投影面-投影类似原平面,全等性,类似性,积聚性,平面对一个投影面的投影特性,3.3.2各种位置平面及其投影特征,正垂面（垂直于V面）侧垂面（垂直于W面）铅垂面(垂直于H面),平面在三投影面体系中的投影,平面对于三投影面的位置可分为三类：,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面，垂直于另两个投影面,与三个投影面都倾斜,正平面(平行于V面)侧平面(平行于W面)水平面(平行于H面),投影特性：,三面投影均具有类似性。,(1)一般位置平面(与三个投影面都倾斜),(1)一般位置平面(与三个投影面都倾斜),投影特性：,1.H面投影反映实形；V面投影积聚为直线，且平行于OX轴；W面投影积聚为直线，且平行于OYW轴。,水平面的投影特征：,对正平面和侧平面作分析，可得出类似的投影特征。,(2)投影面平行面(平行于某一投影面，垂直于另两个投影面),(2)投影面平行面(平行于某一投影面，垂直于另两个投影面),三种投影面平行面,1.在它所平行的投影面上的投影反映实形；,2.另外两面投影积聚为与相应投影轴平行的直线。,水平面,侧平面,正平面,投 影 特 性：,实形,实形,实形,投影特性：,H面投影积聚成一直线；、反映平面对V、W面的倾角。V、W面投影为原平面的类似图形。,对正垂面和侧垂面作分析，可得出类似的投影特征。,铅垂面投影特征:,(2)投影面垂直面(垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面),(2)投影面垂直面(垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面),三种投影面垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,1.在它所垂直的投影面上的投影，积聚为一条与投影轴倾斜的直线，该直线与投影轴的夹角分别反映了平面与另外两投影面倾角的真实大小；2.其余两面投影为封闭线框，并具有类似性。,投影特性:,积聚为线,积聚为线,积聚为线,ABC为什么位置的平面,一般位置平面,例：判断下列平面的空间位置,Q为什么位置的平面,正垂面,迹线QHQW方向固定，可以省略。,ABC为什么位置的平面,水平面,例：判断下列平面的空间位置,EFG为什么位置的平面,侧垂面,包含侧垂线的平面，为侧垂面。,为什么？,4.3.3平面上的直线和点,1)平面上取任意直线,3.3.3平面上的直线和点,有无数解。,a,b,c,b,c,a,d,n,m,例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。,解法一：,解法二：,根据定理一,有多少解,根据定理二,例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm。,n,m,n,m,有多少解？,唯一解！,定理:若点在平面的一条直线上,则点在该平面上。,2)平面上取点,开着窗户时，对一个飞着的小虫，不能判明它是否正处在窗口的平面内。而对这个从窗口上用线挂着的小球，则可以肯定它在窗口的平面内。,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,面上取点的方法：,首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,k,b,例：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。,解法一,解法二,分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。,根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。,本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间分析和想像，以培养空间思维能力。,解题方法：,解题方法：,本章小结,点、直线、平面是构成形体的基本几何元素，研究 它们的投影，是为正确表达形体奠定理论基础和提 供有力的分析手段。,本 章 小 结,点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。,平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。,在平面上确定直线和点的方法。,点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影 特性。,本章的重点是：,本章小结,本 章 结 束,
