计算机图形变换与输出.ppt

第三章 图形变换与输出,3.1 图形的几何变换,3.2 坐标系统及其变换,3.3 图元输出与输出属性,图形变换：通过图形的几何变换可以产生新的图形。,图形不动，坐标系变动坐标系不动，图形移动,齐次坐标,所谓齐次坐标法，就是用n+1维向量来表示一个n维向量。对n维向量用其n个坐标分量(P1,P2,Pn)表示，是唯一的，若用齐次坐标表示，则有n+1个分量，即(hP1,hP2,hPn，h)，且不唯一。二维坐标与齐次坐标是一对多的关系。通常都采用规格化的齐次坐标，即取H=1。(x,y)的规格化齐次坐标为(x,y,1),齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常数的一平面上的二维向量。,1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是唯一的。如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标h普通坐标3、当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。,(x,y)点对应的齐次坐标为(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线,1.将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2.便于表示无穷远点。例如：（x h,y h,h)，令h等于03.齐次坐标变换矩阵形式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系保持不变）4.变换具有统一表示形式的优点便于变换合成便于硬件实现,齐次坐标的作用,3.1 图形的几何变换,主要介绍二维图形几何变换 三维图形几何变换 参数图形几何变换,基本的几何变换研究物体坐标在直角坐标系内的平移、旋转和变比的规律。,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换,一、基本变换 平移(Translation),x=x+xy=y+y,将图形对象从一个位置(x,y)移到另一个位置(x，y)的变换。,(x,y),(x,y),(Tx,Ty),x,是逆时针旋转角度,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 旋转(Rotation),3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 旋转(Rotation),x=xr+(xxr)cos(yyr)sin,将以某个参考点(xr,yr)为圆心，将对象上的各点(x,y)围绕圆心转动一个逆时针角度，,y=yr+(yyr)cos+(xxr)sin,x,y,f,q,(x,y),(x,y),1、把旋转中心平移至坐标原点，,2、进行旋转变换,3、将坐标系平移回原来的原点,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 变比(Scaling),使对象按比例因子(Sx,Sy)放大或缩小的变换,x=x Sxy=y Sy,(x,y),(x,y),x,y,固定点变比(scaling relative to a fixed point)。以a为固定点1(1)作平移Tx=xa，Ty=ya；2(2)按式(3.3)作变比；3(3)作1)的逆变换，即作平移Tx=xa，Ty=ya。,3.1 图形的几何变换,当比例因子Sx或Sy小于0时，对象不仅变化大小，而且分别按x轴或y轴被反射,3.1.1 二维图形几何变换(续),一、基本变换 变比(Scaling),二维几何变换矩阵可以表示如下：,T2D可看作三个行向量，其中1 0 0：表示x 轴上的无穷远点0 1 0：表示y 轴上的无穷远点0 0 1：表示原点,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,是对图形进行平移变换；是对图形进行投影变换，g的作用是在x轴的1/g处产生一个灭点，h的作用是在y轴的1/h处产生一处灭点；i是对整体图形作伸缩变换,从变换功能上可以将变换矩阵分为4个子矩阵，其中 是对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,1 平移的矩阵运算表示为(3.2)简记为p=pT(Tx,Ty)。其中，p=x y 1，p=x y 1。,表示平移矩阵。,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,旋转的矩阵运算表示为(3.2)简记为p=pR()，其中R()表示旋转矩阵。,3.1 图形的几何变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),二、变换矩阵,变比的矩阵运算表示为(3.3)简记为p=pS(Sx,Sy)，其中(Sx,Sy)表示变化矩阵。,3.比例变换,以坐标原点为放缩参照点当Sx=Sy=1时：恒等比例变换当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例放大。当Sx=Sy1时：沿x,y方向等比例缩小当SxSy时：沿x,y方向作非均匀的比例变换，图形变形。,4.对称变换,当b=d=0，a=-1，e=1时，有x*=-x，y*=y，产生与y轴对称的反射变换,当b=d=0，a=1，e=-1时，有x*=x，y*=-y，产生与x轴对称的反射变换,当b=d=0，a=e=-1时，有x*=-x，y*=-y，产生与原点对称的反射变换,当b=d=1，a=0，e=0时，有x*=y，y*=x，产生与直线y=x对称的反射变换,3.1.1 二维图形几何变换(续),三、级联变换(Composite Transformation),3.1 图形的几何变换,对于复杂的图形变换，需要通过若干个变换矩阵的级联才能实现。这里特别要注意的是矩阵级联的顺序，由于矩阵的乘法运算不适用交换率，因此矩阵级联的顺序不同所得到的变换结果也不相同。,复合平移,复合比例,复合旋转,例1：对参考点F(xf,yf)旋转变换,对参考点F(xf,yf)做旋转变换。解：1、把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则2、进行旋转变换,对参考点F(xf,yf)旋转变换,将坐标系平移回原来的原点因此,例2：任意的反射轴的反射变换,任一图形关于任意的反射轴y=a+bx的反射变换 解：1.将坐标原点平移到(0,a)处,例3：任意的反射轴的反射变换,2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转角，使之与x轴重合 3.图形关于x轴的反射变换 4.将反射轴逆时针旋转角,例3：任意的反射轴的反射变换,5.恢复反射轴的原始位置因此,比例、旋转变换是和参考点有关的，若相对于任意参考点(xf,yf)作比例、旋转变换，其变换过程是先将坐标系平移到参考点上，变换后，再将坐标平移回来,注意:,3.1.1 二维图形几何变换(续),四、二维几何变换的指令,3.1 图形的几何变换,建立变换矩阵的指令为creat_transformation_matrix(xf,yf,Sx,Sy,xr,yr,Tx,Ty,matrix)；,积累变换的指令为accumulate_transformation_matrix(matrix1,matrix2,matrix);,坐标变换的指令为set_segment_transformation(Id,matrix);,三维其次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为标准齐次坐标(x,y,z,1)右手坐标系,3.1.2 三维图形几何变换,3.1 图形的几何变换,变换矩阵：,1 平移变换：,2比例变换：,考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为：A.将平移到坐标原点处；B.进行缩放变换；C.将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置,三维变换矩阵-旋转变换,绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。x=x y=cos(+)=ycos-zsin z=sin(+)=ysin+zcos,X,Y,Z,(y,z),(y z),Y,Z,O,O,(y z),(y,z),Z,三维变换矩阵-旋转变换,矩阵表示为：遵循右手法则，即若0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。,三维变换矩阵-旋转变换,绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。x=sin(+)=xcos+zsin y=y z=cos(+)=zcos-xsin,X,Y,Z,(x,z),(x z),X,Z,O,O,Z,三维变换矩阵-旋转变换,矩阵表示为,三维变换矩阵-旋转变换,绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。x=cos(+)=xcos-ysin y=sin(+)=xsin+ycos z=z,X,Y,Z,(x,y),(x y),X,Y,O,O,三维变换矩阵-旋转变换,矩阵表示为：,绕空间任意轴的旋转变换。其基本思想：将旋转轴转到 z 轴方向，对图形作绕 z 轴的旋转变换后在转回原位置,例：设旋转轴由空间一点A(xa,ya,za).其方向数(a,b,c)定义，若空间一点 P(xp,yp,zp)绕 A 轴转 q 角到 P*(x*p,y*p,z*p)构造关系 x*p y*p z*p 1=xp yp zp 1.Ra其中，Ra 为待求的变换矩阵,解：(1)使坐标原点平移到 A 点，即用平移矩阵作变换,a,b,c,(2)：绕 x 轴转 a 角，使 A 落在 x-z 平面内,(3)：绕 y 轴转 b 角，使 A 落在 z 轴上,(4)：绕 z 轴转 q 角，使 P 绕 A 旋转 q 角,(5)：求 Ry,Rx,TA 的逆变换,(6)：总的变换矩阵为：RaTA.Rx.Ry.Rz.R-1y.R-1x.T-1A,可以通过下列步骤来实现P点的旋转：A.将A点移到坐标原点。B.使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合。C.将AB绕Z轴旋转角 D.作上述变换的逆操作，使AB回到原来位置。,3.1.2 三维图形几何变换(续),四、三维几何变换的指令,3.1 图形的几何变换,建立变换矩阵的指令为creat_transformation_matrix(xf,yf,zf,Sx,Sy,SZ,xr,yr,zr,xt,yt,zt,Tx,Tz,Ty,matrix)；,积累变换的指令为accumulate_transformation_matrix(matrix1,matrix2,matrix);,坐标变换的指令为set_segment_transformation(Id,matrix);,3.1.3 参数图形几何变换(续),3.1 图形的几何变换,圆锥曲线的几何变换,圆锥曲线的二次方程是Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其相应的矩阵表达式是简记为XSXT=0。,平移变换。若对圆锥曲线进行平移变换，平移矩阵是Tr=，则平移后的圆锥曲线矩阵方程是XTrSTrTXT=0。,3.1.3 参数图形几何变换(续),3.1 图形的几何变换,圆锥曲线的几何变换,旋转变换。若对圆锥曲线相对坐标原点作旋转变换，旋转变换矩阵是R=，则旋转后的圆锥曲线矩阵方程是XRSRTXT=0。若对圆锥曲线相对(m,n)点作旋转角变换，则旋转后的圆锥曲线是上述Tr、R变换的复合变换，变换后圆锥曲线的矩阵方程是XTrRSRTTrTXT=0。,3.1.3 参数图形几何变换(续),3.1 图形的几何变换,圆锥曲线的几何变换,比例变换。若对圆锥曲线相对(m,n)点进行比例变换，比例变换矩阵为ST=，则变换后圆锥曲线的矩阵方程是XTrSTSSTTTrTXT=0。,3.1.3 参数图形几何变换(续),3.1 图形的几何变换,参数曲线、曲面的几何变换,若指定一个平移矢量t，对曲线平移t，即对曲线上的每一点P都平移t。对平移后的点P*有P*=P+t对于参数曲线和曲面的几何系数矩阵B和代数系数矩阵A，可以直接实现平移变换，即有B*=B+T，T=t t 0 0TB*是经平移后参数曲线的几何系数矩阵，变换结果如图所示。,3.2 坐标系统及其变换,3.2.1 坐标系统,1.世界坐标系(World Coordinates)为了描述被处理的对象，要在对象所在的空间中定义一个坐标系，这个坐标系的长度单位和坐标轴的方向要适合对被处理对象的描述，这个坐标系通常就称之为世界坐标系或用户坐标系。世界坐标系一般采用右手三维笛卡儿坐标系。2.局部坐标系,x,y,z,o,3.2 坐标系统及其变换,3.2.1 坐标系统（续）,3.观察坐标系(View Coordinates)产生三维物体的视图，必须规定观察点(视点)和观察方向。好比照相时选择拍摄的位置和方向。左手笛卡儿坐标系(上图)：观察坐标系的原点通常设置在观察点(视点)，Z轴作为观察方向。右手笛卡儿坐标系：视点确定在Z轴上的某一个位置，Z轴仍为观察方向(下图)。,x,y,z,o,x,y,z,o,视点,视点,3.2 坐标系统及其变换,3.2.1 坐标系统（续）,4.设备坐标系(Device Coordinates)与图形设备相关连的坐标系叫设备坐标系。例如，显示器以分辨率确定坐标单位，原点在左下角或左上角；绘图机绘图平面以绘图精度确定坐标单位，原点一般在左下角。5.规格化设备坐标系(Normal Device Coordinates)为了使图形处理过程做到与设备无关，通常采用一种虚拟设备的方法来处理，也就是图形处理的结果是按照一种虚拟设备的坐标规定耒输出的。这种设备坐标规定为0X1，0Y1，这种坐标系称之为规格化设备坐标系。,在三维空间创建并显示一个物体，先建立世界坐标系；再指定视点的方位、视线和成像面的方位。要观察物体的成像，还必须在各坐标系之间实现变换后进行投影变换，才能得到物体的成像。,3.2.2 规格化变换与设备坐标变换,3.1 图形的几何变换,规格化变换,从窗口到视区的变换，称为规格化变换(Normalization Transformation)。,x,y,o,W(窗口),x,y,o,V(视图区),wxL,wxR,wyB,wyT,vxL,vxR,vyB,vyT,(wx,wy),(vx,vy),3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续),3.1 图形的几何变换,规格化变换,vx vxL wx wxL 由两图的比例关系：vxR vxL wxR wxL vy vyB wy wyB vyT vyB wyT wyB可得：vxR vxL wxR wxL vyT vyB wyT wyB,=,=,vx=,(wx wxL)+vxL,vy=,(wy wyB)+vyB,3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续),3.1 图形的几何变换,窗口操作,视野的变化(zooming)。,摇镜头(panning)。,多重窗口(multiple window)。,3.2.2 规格化变换与设备坐标变换(续),3.1 图形的几何变换,从规格化坐标(NDC)到设备坐标(DC)的变换,通常采用的公式,xDCSxxNDCdx，yDCSyyNDCdy,方向的考虑,对设备坐标中像素中心的变换,3.2.3 投影变换,3.1 图形的几何变换,投影(project)是一种使三维对象映射为二维对象的变换。它可描述为project(object(x,y,z)object(x,y)投影的要素除投影对象、投影面外，还有投影线。按照投影线角度的不同，有两种基本投影方法：平行投影(parallel projection)。它使用一组平行投影将三维对象投影到投影平面上去。透视投影(perspective projection)。它使用一组由投影中心产生的放射投影线，将三维对象投影到投影平面上去。,投影分类,投影中心与投影平面之间的距离为无限,投影中心与投影平面之间的距离为有限,根据投影方向与投影平面的夹角,根据投影平面与坐标轴的夹角,3.2.3 投影变换(续),3.1 图形的几何变换,1 平行投影-正交平行投影(orthographic P.P.),正投影的投影面与某一坐标轴垂直，而投影方向与该坐标轴的方向一致。正投影的图形，在长宽高三个方向上的比例与实物保持一致，因此，常用于工程制图。,y,x,z,主视图,侧视图,俯视图,三视图：正视图、侧视图和俯视图,正平行投影-三视图,变换矩阵(其中(a,b)为u、v坐标下的值)正视图,俯视图：,正平行投影-三视图,侧视图,正轴测投影,当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。正轴测投影分类：正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。,正轴测投影,正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。,正轴测投影,正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。,3.2.3 投影变换(续),3.1 图形的几何变换,2 平行投影-斜交平行投影(oblique P.P.),正投影与斜投影,投影线与投影平面成交角,斜平行投影,投影线与投影平面不垂直斜等测投影投影平面与一坐标轴垂直投影线与投影平面成45角与投影平面垂直的线投影后长度不变斜二测投影投影平面与一坐标轴垂直投影线与该轴夹角成 arc tg(1/2)角该轴轴向变形系数为。即与投影平面垂直的线投影后长度变为原来的一半。,斜平行投影,斜等测投影和斜二测投影,3.2.3 投影变换(续),3.1 图形的几何变换,3 透视投影变换,投影中心与投影平面之间的距离为有限参数：投影方向例子：室内白炽灯的投影，视觉系统灭点：不平行于投影平面的平行线，经过透视投影之后收敛于一点，称为灭点.主灭点:平行于坐标轴的平行线的灭点。一点透视两点透视三点透视特点：产生近大远小的视觉效果，由它产生的图形深度感强，看起来更加真实。,3.2.3 投影变换(续),3.1 图形的几何变换,3 透视投影变换,3.2.3 投影变换(续),3.1 图形的几何变换,3 透视投影变换,设投影中心在坐标原点，投影面与 Z 轴垂直，在 z=d 的位置。点 P(x,y,z)在投影面上的投影为 P(xp,yp,d)。xp x yp y d z d z x z y z,=,=,xp=,yp=,d,d,z,x,y,o,P(x,y,z),P,d,y,z,P,P,o,o,z,P,P,d,3.3.1 二维图元输出,3.3 图元输出与输出属性,图元是图形软件用语组织和操作画面的基本素材。常用图元有Line,Polyline,Text,Fillarea,Polymarker,Move,Cell Array,Circle.图元命令包括：输出图元命令 图元性质定义命令(1)Move(x,y)(2)Line(x,y)(3)Polyline(n,x_array,y_array),3.3.1 二维图元输出,3.3 图元输出与输出属性,用户定义的二维图元的窗口区到视图区的输出过程如下所示：应用程序得到的坐标(UC)对窗口区进行裁剪(WC)窗口区到视图区的规格化变换(NDC)视图区的规格化坐标系到设备坐标系的变换(DC)调用基本图元生成算法在图形设备上输出图形,3.3.2 输出属性及其控制,3.3 图元输出与输出属性,图元的输出属性 1)直线的属性(1)线类型,实线、虚线、点线、点划线用位掩码来表示线型，若用32位掩码,线型就以32个象素为周期进行重复.if(位串i%32)drawpixel(x,y,color);笔划长度与直线长度有关.,解决可根据线的斜率来调整实心段和中间空白段的象素数目。,(2)线宽度,一、直线线宽的处理笔与刷子线刷子方形刷子圆形刷子棱形刷子斜率在-1,1之间，用垂直刷子；否则用水平刷子,多边形填充法,线刷子和方刷子处理线宽线刷子：垂直刷子、水平刷子,特点实现简单、效率高。斜线与水平(或垂直)线不一样粗。当线宽为偶数个象素时，线的中心将偏移半个象素。利用线刷子生成线的始末端总是水平或垂直的，看起来不太自然。解决：添加“线帽（line cap）”,当比较接近水平的线与比较接近垂直的线汇合时，汇合处外角将有缺口,解决：斜角连接（miter join）、圆连接（round join）、斜切连接（bevel join）,方刷子,特点：方刷子绘制的线条（斜线）比用线刷子所绘制的线条要粗一些方刷子绘制的斜线与水平（或垂直）线不一样粗方刷子绘制的线条自然地带有一个“方线帽”,3.其它线宽处理方式区域填充多边形填充法可产生宽度不同的线条.改变刷子形状：,3.3.2 输出属性及其控制,3.3 图元输出与输出属性,2)多边形填色属性（风格、色彩、图案）,图案：一般是用一个MXN的位图来表示,填充属性,区域填充属性选择包括颜色、图案和透明度。,确定区域与模板之间的位置关系（对齐方式）：一种对齐方式是把有模板原点与填充区域边界或内部的某点对齐一种对齐方式是把模板原点与填充区域外部的某点对齐设对齐点为(x0,y0)，则图案填充：if(pattern(x-x0)%M,(y-y0)%N)drawpixel(x,y,color);elsedrawpixel(x,y,background);,3)字符属性（字型、色彩、大小、方向、轨迹）4)符号属性（种类、色彩、大小）2.属性的组合控制3.属性的查询,3.3.2 输出属性及其控制,3.3 图元输出与输出属性,3.3.3 三维图元的输出,3.3 图元输出与输出属性,