第五讲逻辑函数的卡诺图表示及卡诺图化简法.ppt.ppt

第五讲,逻辑函数卡诺图化简法,1.3逻辑函数卡诺图化简法,一、逻辑函数的卡诺图表示,1相邻最小项的概念,如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。,例如，最小项ABC和 就是相邻最小项。,若两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个变量。如,2.用卡诺图表示最小项,变量有个最小项，用一个小方格代表一个最小项，变量的全部最小项就与个小方格对应。,小方格的排列,如三变量、有个最小项，对应个小方格,原变量和反变量各占图形的一半,这样排列，才能使逻辑上相邻的最小项几何上也相邻地表现出来。,2、图形法化简函数,卡诺图（K图）,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,m0,m1,m2,m3,A,B,AB,A,B,1,0,1,0,m0,m1,m2,m3,mi,A,BC,0,1,00,01,11,10,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,AB,CD,（2）三变量卡诺图(b),（1）二变量卡诺图(b),卡诺图结构,（3）四变量卡诺图(b),仔细观察可以发现，卡诺图实际上是按格雷码排列，具有很强的相邻性：,每行、列的两头相邻,3、卡诺图上的相邻项,只要小方格在几何位置上（不管上下左右）相邻，它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。,五变量卡诺图折叠相邻,（1）直观相邻性：,（2）循环相邻性：,（3）对称相邻性：,4、用卡诺图表示逻辑函数,解：该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据真值表将8个最小项L的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可。,（1）从真值表到卡诺图,例1 某逻辑函数的真值表如下，用卡诺图表示该逻辑函数。,例1:图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,逻辑函数的卡诺图表示,（2）从逻辑表达式到卡诺图,如表达式不是最小项表达式，但是“与或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。也可直接填入。,解：写成简化形式：然后填入卡诺图：,解：直接填入：,例3 用卡诺图表示逻辑函数,如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图。例2 用卡诺图表示逻辑函数:,例3 画出 的卡诺图,解:直接填入,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,1,解：,AB,AC,逻辑函数的卡诺图表示,（1）2个相邻的最小项结合，项可以而合并为项，并消去1个不同的变量。,1卡诺图化简逻辑函数的原理:具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子，合并的结果为这些项的公因子,（2）4个相邻的最小项结合，项可以而合并为项，并消去2个不同的变量。,（3）8个相邻的最小项结合，项可以而合并为项，并消去3个不同的变量。,二、逻辑函数的卡诺图化简法,总之，个相邻的最小项结合，项可以而合并为项，可以消去n个不同的变量。,2n项相邻，并组成一个矩形组，2n项可以而合并为项，消去n个因子，合并的结果为这些项的公因子。,化简依据,利用卡诺图化简的规则,相邻单元格的个数必须是2n个，并组成矩形组时才可以合并。,2用卡诺图合并最小项的原则（圈“”的原则）,（1）圈能大则大；（并项多，消变量多）但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3）个相邻项。（2）圈数能少则少；（与或式中乘积项少）（3）不能漏圈；卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。（4）可重复圈。但在新画的包围圈中至少要含有1个末被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。,（1）画出逻辑函数的卡诺图。（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则圈“”。（3）写出化简后的表达式。每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。,3用卡诺图化简逻辑函数的步骤：,图形法化简函数,k图为方形图。n个变量的函数-k图有2n个小方格，分别对应2n个最小项；,k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有逻辑相邻性。,有三种几何相邻：邻接、相对（行列两端）和对称（图中以0、1分割线为对称轴）方格均属相邻,几何相邻的2n（n=1、2、3i）个小格可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去n个变量，而用含（i-n）个变量的积项标注该圈。,一、根据函数填写卡诺图,1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的方格填1，其余方格均填0。,2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的那些最小项对应的方格填1，其余格均填0。,例子,3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式，再用直接法填写。举例,二、圈“1”的步骤,1、孤立的单格单独画圈,2、圈的数量少、范围大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项,3、含1的方格都应被圈入，以防止遗漏乘积项,图形法化简函数,返 回,图形法化简函数,与或表达式的简化,先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填1，其它填0。,合并：按圈“1”原则将图上填1的方格圈起来，要求圈的数量尽量少、范围尽量大，圈可重复包围但每个圈内必须有新的最小项。,每个圈写出一个乘积项。按取同去异原则,最后将全部积项逻辑加即得最简与或表达式,返 回,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,例：图中给出输入变量A、B、C的真值表，填写函数的卡诺图,1,1,1,F=,+,得：,图形法化简函数,解：,AC,AD,BC,化简得：,最简与非与非式为：,图形法化简函数,利用卡诺图化简,例1：,F=AB+BC,化简过程：,卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。,例3：用卡诺图化简逻辑代数式,首先：逻辑代数式卡诺图,1,1,例2：化简,F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15),例3.用卡诺图化简逻辑函数：L（A,B,C,D）=m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：（1）由表达式画出卡诺图。,解：（1）由表达式画出卡诺图。,例4.用卡诺图化简逻辑函数：,注意：图中的虚线圈是多余的，应去掉。,（2）画包围圈，合并最小项，得简化的与或表达式:,（2）画包围圈合并最小项，得简化的与或表达式:,例4.某逻辑函数的真值表如下，用卡诺图法化简该逻辑函数。,（2）画包围圈合并最小项。有两种画圈的方法：（a）：写出表达式：,解：（1）由真值表画出卡诺图。,（b）：写出表达式：,通过这个例子可以看出，一个逻辑函数的真值表是唯一的，卡诺图也是唯一的，但化简结果有时不是唯一的。,说明一：化简结果不唯一。,4卡诺图化简逻辑函数的另一种方法圈0法,例.已知逻辑函数的卡诺图如图所示，分别用“圈1法”和“圈0法”写出其最简与或式。解：（1）用圈1法画包围圈，得：,（2）用圈0法画包围圈，得：,1.16(1)(2)(3)(4)(5)(6),第六讲含有无关项的逻辑函数卡诺图化简法,第六讲 逻辑函数的卡诺图化简法（2）课题：逻辑函数的最简式的其它形式；具有约束的逻辑函数的化简课时安排：2重点：具有约束的逻辑函数的化简难点：具有约束的逻辑函数的化简教学目标：使同学掌握用卡诺图法求最简式的其它形式的方法，理解约束条件，掌握用约束条件化简逻辑函数的方法，了解多输出逻辑函数的化简方法。教学过程：一、用卡诺图法求最简式的其它形式 二、用卡诺图检验函数是否最简 三、具有约束项的逻辑函数化简法 1、约束的概念和约束的条件 2、有约束的逻辑函数的表示方法 3、具有约束的逻辑函数的化简 4、多输出逻辑函数的化简,3、具有无关项的逻辑函数的化简,约束项：值恒为0的最小项任意项：使函数值可以为1，也可以为0 的最小项,无关项：,约束项和任意项均为无关项。,解：设红、绿、黄灯分别用A、B、C表示，且灯亮为1，灯灭为0。车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值。,例.在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信灯之间逻辑关系。,显而易见，在这个函数中，有5个最小项为无关项。,最小项的性质：每一组输入变量都使一个，而且仅有一个最小项的值为，所以当限制某些输入变量不出现时，可以用它们对应的最小项为表示。这样,带有无关项的逻辑函数的最小项另一种表达式为：=m（）+d（）如本例函数可写成=m（2）+d（0,3,5,6,7）,或写成,上例表达式可为,或,2具有无关项的逻辑函数的化简,化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当0也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。例.,不考虑无关项时，表达式为：,注意:在考虑无关项时，哪些无关项当作1，哪些无关项当作0，要以尽量扩大卡诺圈、减少圈的个数，使逻辑函数更简为原则。,考虑无关项时，表达式为:,解：,填函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,化简,不考虑约束条件时：,考虑约束条件时：,例.某逻辑函数输入是8421BCD码，其逻辑表达式为：L（A,B,C,D）=m（1,4,5,6,7,9）+d（10,11,12,13,14,15）用卡诺图法化简该逻辑函数。,解：（1）画出4变量卡诺图。将1、4、5、6、7、9号小方格填入1；将10、11、12、13、14、15号小方格填入。（2）合并最小项，如图（a）所示。注意，1方格不能漏。方格根据需要，可以圈入，也可以放弃。（3）写出逻辑函数的最简与或表达式:,如果不考虑无关项，如图（b）所示，写出表达式为：,例：F=m(1，3，5，7，9）+d(10，11，12，13，14，15）,AB,0 0,F,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,AB,0 0,F,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,L=D,AB,0 0,F,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,例：F=m(0，2，4，6，9，13）+d(1，3，5，7，11，15）,形如：L=m()，给定约束条件为：ABC+ACD=0,AB,CD,约束条件相当于：d(11,14,15),例11：化简具有约束的逻辑函数,给定约束条件为:,AB,CD,AB,0 0,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,Y,例2：已知真值表如图，用卡诺图化简。,化简时可以将无所谓状态当作1或 0，目的是得到最简结果。,F=A,四、其它形式的最简式和多输出逻辑函数的化简,1、逻辑函数最简式的其它形式,采用前述方法，化简结果通常为与或表示式。若要求用其他形式表示则用反演定理来转换。,（1）“与非与非式”在卡诺图中圈“1”得“与或”式，然后用反演定理转换求得。,例12：,例13：L(A,B,C,D)=m（1,5,8,12）+d（3,7,10,14,15）,2、多输出逻辑函数的化简,前述均为单输出逻辑函数，而实际电路常常有两个或两个以上的输出端。化简多输出逻辑函数时，不能单纯的追求单一函数的最简式，因为这样做并不一定能保证整个系统最简，应该统一考虑，尽可能利用公共项。,例14：对多输出函数,解：各自卡诺图的化简结果如下,将两个输出函数视为一个整体，其化简过程如下,逻辑图如图，图,AB,0 0,F1,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,AB,0 0,F2,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,AB,0 0,F3,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,用卡诺图化简逻辑函数例题,例一解答,AB,0 0,F1,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,AB,0 0,F2,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,例二解答,AB,0 0,F3,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,例三解答,AB,0 0,F4,CD,0 1,1 1,1 0,0 0,0 1,1 1,1 0,求函数的反函数化简法,几种常用的数制：二进制、八进制、十六进制和十进制以及相互间的转换,码制部分：自然二进制码、格雷码、和常用的BCD码,逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图,分析和设计逻辑电路的重要数学工具：逻辑代数（布尔代数）,小结,作业：（7）（8）（9）（10）（11）（）,