平稳随机过程.ppt

4 平稳随机过程,内容提要,平稳过程的概念与性质平稳过程 的各态历经性平稳过程的功率谱密度联合平稳过程,4.1 平稳过程的概念与性质,定义 设X(t),t T 是随机过程，若对任意常数 和正整数n，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布函数，则称X(t),t T 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。,严平稳过程,N 阶平稳过程,定义 设X(t),t T 是随机过程，若对于正整数 n N 和任意常数，t1,t2,tn T，t1+,t2+,tn+T，(X(t1),X(t2),X(tn)与(X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的n维联合分布函数，则称X(t),t T 具有N 阶平稳性。,（其实，当 n=N 时条件满足即可）,宽平稳过程,定义 设X(t),t T 是随机过程，如果(1)X(t),t T 是二阶矩过程；(2)对任意 t T，mX(t)=EX(t)=常数；（均值平稳）(3)对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(ts)；（自相关平稳）则称X(t),t T 为广义平稳过程，简称(宽)平稳过程。,常用平稳性之间的关系,例1白噪声,设 Xn,n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且 EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的平稳性。,解,因为:(1)EXn=0,故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关，因此它是平稳随机序列。,例2,设有状态连续、时间离散的随机过程 X(t)=sin(2t)，其中 为（0,1）上均匀分布的随机变量，t 只取整数值 1,2,，试讨论随机过程 X(t)的平稳性。,解,因此 X(t)是平稳随机过程。,平稳过程相关函数的性质,定理 设 X(t),t T 是平稳过程，则其相关函数 RX()具有下列性质：,(1),(3)共轭对称性:,(2),(5)周期性：若 X(t)=X(t+T)，则有 RX()=RX(+T)；,(4)RX()是非负定的，即,(6)若 X(t)是非周期过程，当 时，X(t)与 X(t+)相互独立，则,实平稳过程的相关函数是偶函数,4.2 平稳过程的各态历经性,对于随机过程 X(t,e)，对于每一个固定的 t T，X(t,e)是一个随机变量，EX(t)=mX(t)为统计平均。对于每一个固定的 e，X(t,e)是普通的时间函数，在 T 上对 t 取平均，即得时间平均。,大数定理（回顾）,设独立同分布的随机变量序列 Xn,n=1,2,，具有 EXn=m,DXn=2,(n=1,2,)，则,只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态遍历性（或各态历经性、埃尔古德性）,大数定理表明，随着时间的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。,时间均值和时间相关函数,定义 设 X(t),t 为均方连续的平稳过程，则分别称 为该过程的时间均值和时间相关函数。,各态历经性,定义 如果均方连续的平稳过程 X(t),t T 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。,定义 设 X(t),t 为均方连续的平稳过程，若以概率1成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。,若以概率1成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。,均值各态历经的充要条件,定理 设 X(t),t 是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为,当 X(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为,相关函数各态历经的充要条件,定理 设 X(t),t 是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为,当 X(t)是实均方连续平稳过程时，充要条件为,0t时的各态历经性（1）,定理1 对于均方连续平稳过程 X(t),0 t，等式以概率1成立的充要条件为,若 X(t)为实平稳过程，则充要条件为,0t时的各态历经性（2）,定理2 对于均方连续平稳过程 X(t),0 t，等式以概率1成立的充要条件为,若 X(t)为实平稳过程，则充要条件为,例3,设有随机相位过程 X(t)=a cos(t+)，a,为常数，为(0,2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X(t)是否为各态历经过程。,故 X(t)是为各态历经过程。,各态历经性的重要意义,如果一个实平稳过程是各态历经的，则可用其任一样本函数的时间平均代替平稳过程的统计平均，即,若样本函数 x(t)只在有限区间 0,T 上给出，则有,4.3 平稳过程的功率谱密度,帕塞伐公式：,普通时间函数 x(t)的谱分析,能谱密度,功率密度,截尾函数：,平稳过程的谱分析,设 X(t)是均方连续的随机过程，,功率谱密度,功率谱密度,定义 设 X(t),t 是均方连续的随机过程，称为 X(t)的平均功率。称为 X(t)的功率谱密度，简称谱密度。,当 X(t)是均方连续的平稳过程时，,解,例4 设有随机过程 X(t)=a cos(0t+)，其中 a,0 为常数，在下列情况下，求 X(t)的平均功率(1)是在(0,2)上服从均匀分布的随机变量；(2)是在(0,/2)上服从均匀分布的随机变量。,(1)随机过程 X(t)是平稳过程，,相关函数：,平均功率：,(2),平均功率：,X(t)是非平稳过程,功率谱密度的性质,设 X(t),t 是均方连续平稳过程，RX()为它的相关函数，其功率谱密度 sX()具有如下性质：,(1)（维纳-辛钦定理）若，则 sX()是 RX()的傅里叶变换；,当 X(t)为实平稳过程时，,谱密度的性质,sX()是 的实值非负函数；实平稳过程的谱密度是偶函数；,(4)当 sX()是 的有理函数时，其形式必为,其中 a2ni,b2mj(i=0,2,2n,j=2,4,2m)为常数，且 a2n 0,m n，分母无实根。,单边功率谱,单边功率谱实平稳过程的谱密度 sX()是偶函数，因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。,例5,解,已知平稳过程的相关函数为，其中 a 0,0 为常数，求谱密度 sX().,常见的平稳过程的相关函数及相应的谱密度参见表7.1（P150）,窄带过程,相关函数：,窄带随机过程谱密度限制在很窄的一段频率范围内。,谱密度：,白噪声过程,定义 设 X(t),t 为实平稳过程，若它的均值为零，且谱密度在所有频率范围内为非零的常数，即 sX()=N0()，则称 X(t)为白噪声过程。,相关函数：,定义2 称均值为零、相关函数 RX()=N0()的实平稳过程为白噪声过程。,4.4 联合平稳过程,X(t)和 Y(t)是两个平稳过程,联合平稳过程的定义,定义 设 X(t),t T 和 Y(t),t T 是两个平稳过程，若它们的互相关函数 及 仅与 有关，而与 t 无关，则称 X(t)和 Y(t)是联合平稳随机过程。它们的和 W(t)=X(t)+Y(t)也是平稳过程。,互相关函数的性质,联合平稳过程 X(t)和 Y(t)的互相关函数具有性质：,(1),(2),对于实平稳过程，,联合平稳过程的互谱密度,定义 设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是联合平稳（平稳相关）的，若它们的互相关函数 RXY()满足，则称是 X(t)和 Y(t)的互功率谱密度，简称互谱密度。,互谱密度的性质,(1),(3),(4)若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,(2)ResXY()和 ResYX()是 的偶函数，而ImsXY()和 ImsYX()是的奇函数；,联合平稳过程的谱密度,若 X(t)和 Y(t)相互正交，则,设 X(t)和 Y(t)是两个平稳过程，且它们是平稳相关的，W(t)=X(t)+Y(t)，则,例6 如图所示X(t)是平稳过程，分析过程Y(t)的平稳性。,解,故 Y(t)是平稳过程。,