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1,第二章 流体静力学,2,21 引言 22 流体静压强及其特性 23 流体平衡的微分方程式 24 重力场中的平衡流体 25 静压强的计算和测量 26 液体的相对平衡 27 静止流体作用在平面上的总压力 28 静止流体作用在曲面上的总压力,第 二 章 流 体 静 力 学,3,2-1引言,流体静力学研究平衡流体的力学规律及其应用。,平衡流体相互之间没有相对运动，流体不呈现粘性，作用在流体上的表面力只有法向的静压强。,流体静力学,本章主要任务：研究流体静压强在空间的分布规律；平衡流体作用在固壁（平面或曲面）上的总压力等。并在此基础上解决一些工程实际问题。,4,2-2流体静压强及其特性,定义：,（21）,式中 微元面积；作用在 表面上的总压力大小。,微元表面上的流体静压力矢量表达式为,（22）,负号说明流体静压力的方向是沿受压面的内法线方向。,特点：,流体静力学,大小与方向均与受压面有关。,平衡流体中的压强称为流体静压强，记作,5,流体静压强的特性：,流体静力学,用任意一个平面将静止流体切割分为两部分，如图21，取阴影部分为隔离体，如果切割平面上某一点 处静压力方向不是法线方向而是任意方向的，则 可分解为切向分量 和法向分量，静止流体即不承受切应力，也不承受拉力，否则将破坏平衡，所以静压力唯一可能的方向就是和作用面内法线方向一致。,一、静压强方向永远沿着作用面内法线方向。,6,流体静力学,7,二、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，与作 用面方位无关。,设四面体每个面上任意一点的压强分别用、及 表示，则作用在微元四面体表面力为,流体静力学,在平衡流体中任取边长为、的微元四面体OABC。如图22所示。,8,（23）,流体静力学,9,流体处于平衡状态，根据，简化后有：,（25）,（24）,微元流体上的质量力为：,流体静力学,10,不同空间点的流体静压强，一般来说是各不相同的，即流体静压强是空间坐标的连续函数。,（27）,（26）,趋于零时，四面体缩到O点，其上任何一点的压强 就变成O点上各个方向的流体静压强，于是得到,流体静力学,11,2-3流体平衡的微分方程式,一、欧拉平衡方程式,如图23，在平衡流体中任取边长为、的一个微元六面体ABCDE，设A点的密度为，压强为。,流体静力学,欧拉于1755年提出。,12,由（117）式可得流体的质量力为：,（28）,由（22）、（23）式得流体的表面力为：,（29）,式中,流体静力学,13,已知，而且压强在平衡流体中是坐标的连续函数，即，按照多元连续函数的泰勒公式展开并略去二阶以上无穷小量，可得,（210）,由（29）、（210）式可得,（211）,流体静力学,14,由（28）及（212）式可得,即,（213）,（213）式为流体平衡微分方程式（欧拉平衡方程式）。,物理意义：,流体静力学,当流体平衡时，作用在单位质量流体上的质量力与压力的合力相平衡。,15,二、质量力的势函数,（214）,因，则有,（215）,（215）式为欧拉平衡方程式的综合式（压强微分公式）。,对于不可压缩流体 常数，根据数学分析理论可知，（215）式右端也必是某一坐标函数 的全微分。,流体静力学,将（213）式分别乘以、后相加，则有,16,令,（216）,由（215）、（216）式可得,即,（217）,我们称满足（216）式的坐标函数 为质量力的 势函数，而质量力称为有势的质量力。,结论：,流体静力学,只有在有势的质量力作用下流体才能平衡。,17,例题21试求重力场中平衡流体的质量力势函数。,解取如图24所示的坐标系，则单位质量分力为,（218）,（219）,流体静力学,设基准面 处的势函数值为零，即零势面上。于是积分可得重力场中平衡流体的力势函数为,18,三、等压面,定义：,在等压面上,由（215）式可得等压面的微分方程式是,（220）,流体静力学,流体中压强相等各点所组成的平面叫做等压面。,19,性质：,（221）,质量力势函数等于常数的面叫作等式面，所以等压面也是等式面。,2、等压面与单位质量力矢量垂直。,（222）,式中 是等压面上任意线段。因而等压面与单位质量力矢量垂直。,流体静力学,将式（220）写成矢量形式,由（217）式可见 时,1、等压面也是等式面；,20,2-4 重力场中的平衡流体,重力场中的欧拉方程式：,（223）,一、不可压缩流体的静压强基本公式,在流体连续区域内积分，则,（224）,流体静力学,因而（223）式变成,对于连续、均质的不可压缩流体来说，其密度是常量。,21,（224）式是重力场中连续、均质、不可压缩流体的静压强基本方程式。,流体静力学,式中 平衡流体中任何一点的铅垂坐标；平衡流体中任何一点的静压强。,22,二、静压强分布规律,移项得,（225）,（225）式说明：,流体静力学,1、静止流体中任一点的压强 等于表面压强 与从该点 到流体自由表面的单位面积上的液体重量 之和。2、在静止流体中，压强随深度按线性规律变化，如（25）所示。3、只受重力作用的静止液体中的等压面为水平面（等高面）。,则（224）式化为,根据平衡流体自由表面上的边界条件：,23,流体静力学,24,三、静压强基本公式的几何意义和物理意义,流体静力学,25,1、几何意义,意义：,流体静力学,平衡流体中，各点的测压管水头是一常数。,从几何角度看：z 表示某点位置到基准面的高度，称为位置水头；表示某点压强作用下液柱高度，称为压强水头；称为测压管水头。,26,2、物理意义：,意义：,流体静力学,平衡流体中各点的总势能是一常数。,从物理角度看：表示单位重力流体的位置势能；表示单位重力流体的压强势能；表示总势能。,27,2-5 静压强的计算和测量,一、静压强的计算,定义：,国际上规定，1标准大气压强=101325。工程上采用工程大气压强，1工程大气压强=,流体静力学,28,例题22封闭盛水容器中的玻璃管两端开口，如图（27）所示，已知玻璃管伸入水面以下h=1.5m时，既无空气通过玻璃管进入容器，又无水进入玻璃管。试求此时容器内水面上的绝对压强 和相对压强。,流体静力学,29,二、流体静压强,液柱式仪表测量精度高，量程小，适用于低压实验场所。,常用的液柱仪表,图29U形管测压计,流体静力学,如图28可测水中大于大气压的相对压强,1、测压管,30,2、U 形管测压计,（228）,由于U形管1、2两点在同一等压面上，由此可得A点的相对压强,当被测流体为气体时，由于气体的密度比较小，上式最后一项 可以忽略不计。,流体静力学,当被测流体压强较大时，常采用图29所示的U形管测压计在连续静止的汞中读出、。根据（225）式,31,3、差压计,定义：,（229）,管道上部为倒U 形管式水柱差计，忽略空气密度，则计算公式为：,（230）,比较（229）及（230）式，在仪器管一定的前提下，汞差压计量程大，而水柱差压计的准确度高。,流体静力学,测量两点压强差的仪器叫做压差计。如图210所示。水管下部为U形管式汞差压计，它的计算公式为：,32,4、微压计,流体静力学,测量较小压强或压强差的仪器叫做微压计。如图211所示就是其中一种。,定义：,33,因此，由（225）可得,倾斜式微压计是由一根倾角 可调的玻璃管（横截面面积为）和一个盛液体的小容器（横截面面积为）组成。如果斜管入口压强 和容器入口压强 相等，则容器内液面与斜管中的液面齐平；当 和 不相等时，例如，则斜管中液面将上升，容器内液面下降。,（231）,由于容器内液面下降的体积与斜管中液面上升的体积相等，即有,（232）,又,（233）,由（231）、（232）、（233）式得,（234）,流体静力学,34,2-6 液体的相对平衡,定义：,除了重力场的流体平衡问题外，工程上常见的有如下两种：,一、容器作匀加速直线运动,流体静力学,如图212，盛有液体的容器沿着与水平基面成 角的斜面向下以匀加速度 作直线运动。,若盛液体的容器或机件对地面上的固定坐标系有相对运动，但液体质点彼此之间却没有相对运动，这种运动状态称为相对平衡。,35,根据动静法，成相对平衡流体质点上的质量力有,由图212可得单位质量分力为,（235）,流体静力学,36,将（235）式代入（220）式可得,即,（236）,积分上式得,1、等压面方程,（237）,因 都是常数，故 是一定值。,流体静力学,说明：,37,2、静压强分布规律,将（235）式代入（215）式中即得,作不定积分得,根据边界条件,（238）,当 或 时，即可得出容器水平或垂直匀加速直线运动。如图（213）所示。,流体静力学,38,二、容器作等角速回转运动,与容器作匀加速直线运动分析相同。,单位质量分力为：,（239）,流体静力学,如图214所示，盛有液体的容器绕铅直轴z作回转运动，待运动稳定后，液体形成如图所示的自由表面，质点之间不再有相对运动。,39,1、等压面方程,作不定积分得,即,（240）,说明：,流体静力学,等压面是一族绕 z 轴的旋转抛物面。,将式（239）代入式（220）中，得,40,2、静压强分布规律,将式（239）代入式（215）中得,作不定积分，则,（241）,式中积分常数可以根据如下三种情况来确定。,（1）密封容器，液面上的压强为。（如图215）,边界条件 代回（241），得,（242）,流体静力学,41,（2）容器盛满液体，顶盖中心接触大气。（如图216）,边界条件 代回（241）得,（243）,（244）,流体静力学,42,2-7 静止流体作用在平面上的总压力,定义：,一、总压力大小和方向,流体静力学,如图218所示，平面 与液面倾斜成 角。,静止流体作用在壁面上的力称为流体静压力。,43,取微元面积，则微元面积上的流体静压力大小为,（245）,对平衡力系求和，则可得平面A上的总压力为,（246）,说明：,总压力F的作用方向：,流体静力学,式中 代表面积 对 轴的面积矩，它等于面积 与其形心坐标 的乘积。则以 代表形心C处的静水压力，则,作用在任意形状平面上的总压力大小等于该平面的面积与其形心处压力的乘积。,根据静压力的特性，必然是垂直地指向这个作用面。,44,二、总压力的作用点,压力中心D在 y方向上的坐标,（247）,流体静力学,式中 是平面面积 对 轴的惯性矩。,因为，所以 即压力中心 恒在平面形心 的下方，其间距为。,总压力的作用点称为压力中心，记作D点。,定义：,45,例题23如图219所示，一矩形闸门两面受到水的压力，左边水深，右边水深，闸门与水面成 倾斜角。假设闸门的宽度，试求作用在闸门上的总压力及其作用点。,流体静力学,46,所以,由于矩形平面压力中心坐标,根据合力矩定理，对通过O点垂直于图面的轴取矩，得,所以,这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。,流体静力学,47,2-8 静止流体作用在曲面上的总压力,静止流体作用在曲面个微元面积上的压力为一复杂的空间力系，求其总压力的问题便成为空间力系的合成问题。下面以工程中常见的二元曲面为例，说明确定其总压力的计算方法。,流体静力学,设有一面积为 的二元曲面，其母线垂直于纸面，左侧承受静止液体压力作用，如图220所示，在曲面上任取一微元面积，其形心点的淹没深度为，则流体作用在微元上的总压力 为,48,一、总压力的大小和方向,故总压力的水平分力为,（250）,式中,式（250）说明：流体作用在曲面上总压力的水平分力等于流体作用在该曲面的铅垂投影面 上的总压力。,流体静力学,设 为微元面积 的法线与 轴的夹角，则微元水平分力,1、总压力的水平分力,49,2、总压力的垂直分力,作用在微元上的垂直分力为,（251）,故总压力的垂直分力为,（251）,式中,故,（252）,说明：,流体静力学,作用在曲面 上的总压力的垂直分力 等于其压力体的液重。,50,3、总压力,大小：,（253）,方向：,（254）,流体静力学,51,二、总压力的作用点,流体静力学,由于总压力的垂直分力作用线通过压力体的重心，水平分力的作用线通过 的压力中心，且均指向受压面，故总压力作用线必通过这两条作用线的交点,且与垂线成 角。（见图221）这条总压力的作用线与曲面的交点 就是总压力在曲面上的作用点。,52,三、压力体,压力体是由积分式 所确定的纯几何体积，它与这块体积中究竟有无液体没有关系。例如图222所示的四个柱面,假设它们本身尺寸完全相同，而且柱面在液面下的距离也完全相同。则压力体体积 也完全相同。,说明：,流体静力学,压力体液重并不一定是压力体内实际具有的液体重力，只是一个虚构概念。,53,流体静力学,例题24如图223。有一圆形滚门，长1m（垂直园面方向），直径 为4m，两侧有水，上游水深4m，下游水深2m，求作用在门上的总压力的大小及作用线的位置。,54,合力,作用线通过中心与铅垂线成角度。,右部：,水平分力,垂直分力,合力,流体静力学,55,作用线通过中心与垂线成角度。,总水平分力：,总垂直分力：,合力,流体静力学,56,流体静力学,第二章 习 题,解：此题的关键要把油水产生的压强分别计算后相加。解题应先从已知条件开始计算，而且大气压力自相平衡，故通常采用相对压强计算。,21 封闭容器中盛有比重为0.8的油，下面为水，测压管中汞液面读数，求容器中液面压强。,57,流体静力学,58,流体静力学,22 杯式微压计，上部盛油，下部为水，圆杯直径，圆管直径，若接入压力 水柱时，水位差 应为多少?,解：此题要点为左右两杯中液面变化值均为，且增加和减少的液体体积等于管内水面差形成的体积。,59,流体静力学,23 矩形闸门AB,宽1.0 m,左侧油深，水深，闸门倾角，求闸门上液体总压力及作用点位置。,解：设闸门上油水分界点为E点，总压力的作用点为D点，为了便于求作用点位置，将液体总压力P分解为 三部分。闸门与油和水接触的面积分别为,60,流体静力学,求作用点时，用力矩平衡方程，即三个分力对某点取矩等于总压力对同一点取矩。,61,流体静力学,24 曲面形状为3/4个圆柱，半径 r0.8 m，宽度为 1m，位于水面下 h=2.4 m 深处。求曲面所受的液体总压力。,解：对曲面求总压力应分别求水平分力和垂直分力，然后再合成。,1、水平总压力，bc 和 dc 面上总水平压力方向相反，互相抵消，曲面 ab 上的总压力方向向右，其值为,2、垂直总压力 求垂直总压力时应把虚、实压力体的概念理解清楚，曲面 ab 上的压力体为 abgf,方向向上；bc 上的压力体为 cbgf,方向向上；cd 上的压力体为 dcef，方向向下；代数相加后总压力体如图中阴影所示，作用方向向下，其值为,62,流体静力学,63,流体静力学,25 一盛水容器（矩形敞口），沿 斜面向上作加速运动，加速度，求液面与壁面夹角。,解：由全微分方程,64,流体静力学,65,流体静力学,26 一旋转容器（圆柱形），装部分水，若已知 D=300 mm,H=500 mm,h=300 mm,求转速 n 为多少时，水面恰好达到容器的上缘？,解：这类求旋转相对平衡问题时，应知道形成的旋转抛物面所围成的体积是其外接圆柱形体积的一半这个知识点。,66,流体静力学,27 一圆柱容器装满水，顶盖中心装敞口测压管，当以 旋转时，顶盖受到多大的向上液体总压力？,解：,67,流体静力学,68,本章结束,流体静力学,