第一章第1节复数概述.ppt

1 复数概述 Complex number,第一章 复数与复变函数,下载地址:Pin:mathematics,意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan）在1545年发表的重要的艺术一书中，公布了三次方程的一般解法，首次把负数的平方根写到公式中。,复数由来,一、复数的概念,法国数学家笛卡尔他在几何学（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。,高斯在1832年第一次提出了“复数”这个名词。,1.虚数单位:,对虚数单位的规定:,欧拉在微分公式（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。,2.复数:,复数(complex number),实部（the real part）,虚部(the imaginary part),高斯在1831年，用实数组（x，y）代表复数x+yi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。,说明 复数不能比较大小.,思考题,复数为什么不能比较大小？,思考题答案,由此可见,在复数中无法定义大小关系.,二、复数的代数运算,1.两复数的和:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,4.共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,5.共轭复数的性质:,练习 P31 7(3)(5)(6),三、复数的三角表示和指数表示,1.复平面的定义,复数,复平面C,虚轴,实轴,复数,挪威的测量学家成塞尔在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，然而没有得到学术界的重视。,德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，即虚数也能用一个平面上的点来表示。“复平面”又称“阿甘得平面”。,2.复数的模(或绝对值),复数,可由复平面上的向量,表示,向量的长度称为z的模或绝对值,性质：,3.复数的辐角,辐角不确定.,练习：求复数的辐角,说明,2)任何非零复数的辐角有无穷多个,设 为其中一个，,辐角主值的定义:,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,6.复数的三角表示和指数表示,复数可以表示成,复数的三角表示式,复数的指数表示式,高斯在1832年将直角坐标法和极坐标法加以综合，把复数统一于表示同一复数的代数式和三角式中。,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,不一定为辐角主值,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,思考：是否三角表示式？,故三角表示式为,指数表示式为,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,思考：是否三角表示式？,故三角表示式为,指数表示式为,四、乘积与商（P121.3）,设,则,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.,从几何上看,两复数对应的向量分别为,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.,例如，,定理二,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:,五、幂与根,1.n次幂:,棣莫佛公式,2.棣莫佛公式,例 计算,解,由于,因此,例 计算,解,由于,因此,思考：此方法是否正确？,设,则,即,3.方根,例4,解,即,例5,解,即,Abraham de Moivre,棣莫佛资料,Born:26 May 1667 in Vitry(near Paris),FranceDied:27 Nov 1754 in London,England,