第三章—行列式.ppt

第三章 行列式,3.1 线性方程组和行列式,3.2 排列,3.3 n阶行列式,3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开,3.5 克拉默法则,课外学习6：行列式计算方法课外学习7：q_行列式及其性质,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,能够作出数学发现的人，是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人，而且只限于这种人。庞加莱(Poincare，18541921)一个数学家，如果他不在某种程度上成为一个诗人，那么他就永远不可能成为一个完美的数学家。外尔斯特拉斯（Weierstrass，18151897）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1 线性方程组和行列式,一、内容分布 3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)3.1.2 行列式在线性方程组中的应用二、教学目的：1.了解二阶、三阶行列式的定义。2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。三、重点难点：利用对角线法则计算二阶、三阶行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则),二阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为二阶行列式,即,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,三阶行列式,我们用记号,表示代数和,称为三阶行列式,即,主对角线法,三元素乘积取“+”号；三元素乘积取“-”号.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.1.2 行列式在线性方程组中的应用,(1)如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1),它的系数作成的二阶行列式,那么方程组(1)有解,(2)如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2),他的系数作成的三阶行列式,那么方程组(2)有解,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里,我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.,例题选讲,解:由阶行列式的定义有:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2 排列,一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换 3.2.2 奇、偶排列的定义及性质二、教学目的 了解排列、反序、对换的定义三、重点难点 求反序数,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2.1 排列、反序与对换,例如:1234，2314都是四个数码的排列。,n个数码的不同排列共有n！个,例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！=6个，它们是：123，132，231，213，312，321。,定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数。有偶数个反序的排列叫做一个偶排列；有奇数个反序的排列叫做奇排列。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.2.2 奇、偶排列的定义及性质,定义3 看n个数码的一个排列，如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下，而其余数码保持不动，那么就得到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换，并且用符号（i，j）来表示。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变.,证明:我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为,A B,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,A B,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,（1）,（2）,但（2）正是对（1）施行 对换而得到的排列。因此，对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性相反。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换,那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列,所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶排列,所以,例题选讲,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.3 n阶行列式,一、内容分布3.3.1 n阶行列式的定义3.3.2 行列式的性质二、教学目的：1.掌握和理解n阶行列式的定义。2.会利用定义计算一些特殊的行列式。3.掌握和理解行列式的性质。4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.3.1 n阶行列式的定义,称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列.,(1),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积.这种乘积可以写成下面的形式:,(2),宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 用符号,表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例1 我们看一个四阶行列式,根据定义,D是一个4!=24项的代数和。然而在这个行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排列.因此,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,转置,一个n阶行列式,如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式,叫D的转置行列式。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,（3）,这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.3.2 行列式的性质,命题3.3.2 行列式与它的转置行列式相等，即,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。,证 设给定行列式,交换D的第i行与第j行得,（旁边的i和j表示行的序数）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,D的每一项可以写成,（5）,因为这一项的元素位于 的不同的行与不同的列，所以它也是 的一项，反过来，的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着 的不同项，因此D与 含有相同的项。,交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。,由命题3.3.2推知，凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立，反过来也是如此。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。,证 设行列式D的第i行与第j行(ij)相同，由命题3.3.3，交换这两行后，行列式改变符号，所以新的行列式等于D，但另一方面，交换相同的两行，行列式并没有改变由此得D=D或2D=0，所以D=0。,命题3.3.5 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k 乘此行列式。即如果设，则,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,D的每一项可以写作,（6）,中对应的项可以写作,（7）,（6）在D中的符号与（7）在 中的符号都是,因此，,推论3.3.6 如果行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,推论3.3.7 如果行列式的某一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。,推论3.3.8 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。,证 设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，那么这两行的对应元素只差一个因子k，即,因此,由推论3.3.6，可以把公因子 k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论3.3.4，这个行列式等于零。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.9 如果将行列式中的某一行（列）的每 一个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写 成 两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与原行列式相同。即如果,则,。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,行列式,因此,推论 如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成m 个数（m 为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m 个行列式的和。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,命题3.3.10 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。,证 设给定行列式,把D的第j行的元素乘以同一个数k后,加到第i行的对应元素上,我们得到行列式:,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由命题3.3.9，,此处,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例2 计算行列式,解：根据例题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素(即把D的第一列的元素同乘以后,加到第二列和第三列的对应元素上),得,这个行列式有两列成比例,所以根据推论3.3.8,D=0.,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3 计算n阶行列式,解:我们看到,D的每一列的元素的和都是n把第二，第三，第n行都加到第一行上，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,根据推论.,提出第一行的公因子n,得,由第二,第三,第n行减去第一行,得,由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,练习选讲：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4 子式和代数余子式 行列式依行(列)展开,一、内容分布 3.4.1子式和代数余子式3.4.2行列式的依行依列展开定理3.4.3拉普拉斯定理二、教学目的：1.掌握和理解子式和代数余子式的定义2.熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧。三、重点难点：利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4.1余子式与代数余子式,定义1 在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列.位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.,例1 在四阶行列式,中,取定第二行和第三行,第一列和第四列.那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定义2 n(n1)阶行列式,例2 例1的四阶行列式的元素 的余子式是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例3 例1中的四阶行列式D的元素 的代数余子式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.4.1 若在一个n阶行列式,中,第i行(或第j列)的元素除 外都是零,那么这个行列式等于 与它的代数余子式 的乘积:,证 我们只对行来证明这个定理,1)先假定D和第一行的元素除 外都是0，这时,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,我们要证明：,也就是说：,子式 的每一项都可以写作,（1）,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这一乘积的元素位在D的不同的行与不同的列上，因此它是D的一项，反过来，由于行列式D的每一项都含有第一行的一个元素，而第一行的元素除 外都是零，因此D的每一项都可以写成（2）的形式。这就是说，D的每一项都是 与它的子式 的某一项的乘积，又 的不同项是D的不同项，因此D与 有相同的项。,乘积（2）在D中的符号是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,是由D经过（i1）+(j1)次换行换列的步骤而得到的。由命题3.3.3，交换行列式的两行或两列，行列式改变符号，因此,这样，定理得到证明。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.4.2行列式的依行依列展开,定理3.4.2 n阶行列式 等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即,证 我们只对行来证明，即证明（3），先把行列式D写成以下形式：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,也就是说，把D的第i行的每一元素写成n项的和。根据命题3.3.9，D等于n个行列式的和：,在这n个行列式的每一个中，除了第i行外，其余的行都与D的相应行相同。因此，每一行列式的第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元素的代数余子式相同。这样，由定理3.4.1，,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,定理3.4.3 n阶行列式 的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零,即,（5）,（6）,证 我们只证明等式（5）。看行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,的第i行与第j行完全相同，所以=0。另一方面，与D仅有第j行不同，因此 的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同，把 依第j行展开，得,因而,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例4 计算四阶行列式,在这个行列式里，第三行已有一个元素是零，由第一列减去第三列的二倍，再把第三列加到第四列上，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,根据定理3.4.1,把所得的三阶行列式的第一行加到第二行，得：,所以 D=40,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例5 计算n阶行列式,按第一行展开，得：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,但,所以,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例6 计算四阶行列式,这个行列式叫做一个n阶范德蒙德(Vandermonde)行列式.,由最后一行开始，每一行减去它的相邻的前一行乘以，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由定理3.4.1,提取每列的公因子后，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,最后的因子是一个n-1阶的范德蒙德行列式。我们用 代表它：,同样得,此处 是一个n-2阶的范德蒙德行列式。如此继续下去，最后得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,练习题：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5 克拉默法则,一、内容分布 3.5.1齐次与非齐次线性方程组的概念3.5.2克莱姆法则 3.5.3齐次线性方程组解的定理二、教学目的：1.掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念。2.熟练掌握克莱姆法则。3熟练掌握齐次线性方程组解的定理三、重点难点：利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5.1.齐次与非齐次线性方程组的概念,含有n 个方程的n 元线性方程组的一般形式为,（1.9）,它的系数 构成的行列式,（1.10）,称为方程组（1.9）的系数行列式。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,如果线性方程组（1.9）的常数项为零，即,称为齐次线性方程组。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5.2克莱姆法则,定理3.5.1(克莱姆法则)线性方程组(1.9)当其系数行列式 时,有且仅有唯一解,此处 是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项 后得到的n 阶行列式.,证 时是显然的.设.令是整数1，2，中的任意一个.分别以 乘方程组（1）的第一，第二，第个 方程，然后相加，得,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由定理3.4.2和3.4.3，的系数等于D而 的系数都是零；因此等式左端等于，而等式右端刚好是 阶行列式,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这样，我们得到,令 我们得到方程组,（3）,方程组（1）的每一解都是方程组（3）的解.事实上，设 是方程组（1）的一个解。那么在（1）中把 代以，就得到一组等式。对于这一组等式施以由方程组（1）到方程组（3）的变换，显然得到下面的一组等式：,这就是说，也是方程组（3）的一解。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,当 时，方程组（3）有唯一解，就是（2）。因此方程组（1）也最多有这一个解。我们证明（2）是（1）的解。为此，把（2）代入方程组（1），那么（1）的第 个方程的左端变为,而,计算出来，我们得到,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,这里我们应用了定理3.4.2和3.4.3。这就是说，（2）是方程组（1）得解。,因此，当 时，方程组（1）有且仅有一个解，这个解由公式（2）给出。,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,例 解线性方程组,解：这个方程组的行列式,因为，我们可以应用克拉默规则。再计算以下的行列式：,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,由克拉默规则，得方程组的解是,宁波工程学院理学院高等代数课程组制作,3.5.3齐次线性方程组解的定理,定理3.5.2 如果齐次线性方程组(1.13)的系数行列式,则它仅有零解.,