快速数字仿真.ppt
第四章 快速数字仿真,前面介绍了应用数值积分法和离散相似法进行控制系统数字仿真的基本原理、方法和程序，对于控制系统的数字仿真是比较方便的。但是，这些数字仿真程序的一个共同特点之一是：为使仿真达到一定的精度，计算步长不能偏大，因此计算量加大，计算速度较低，这对要求进行实时仿真(在线仿真)的场合无法满足要求，就是离线仿真也嫌太慢。如在对一些复杂系统或高阶系统进行数字仿真时，往往仿真实际运行时间需要数小时甚至几十小时，速度太慢而限制了数字仿真的推广和应用。如：在液压系统的数字仿真中，由于参数的限制，计算步长要取的极小(如 h5E6)，这将使数字仿真时间很长，尤其是如果系统中的两个环节的时间常数相差达到几十倍或上百倍时，如按小的时间常数来确定计算步长，将会引起计算不稳定以致整个系统不稳定,仿真无法进行。,为了解决数字仿真速度问题，一般采取一下三种措施：硬件措施：采用高速计算机 软件措施：采用执行速度快的语言，如汇编语言.算法措施：研究并采用适合于快速仿真的仿真算法.,本节只讲述快速仿真算法。一般情况下，在解决计算速度与精度这一矛盾时，以计算速度作为矛盾的主要方面，在满足计算稳定性及工程要求的精度条件下，尽可能提高仿真计算速度，降低不必要的精度以满足速度要求。一般对快速仿真算法有两点基本要求：每一步的计算量要少；算法要具有良好的计算稳定性，在保证一定的仿真精 度情况下，允许采用较大的计算步长。,前面我们介绍的各种仿真方法基本上都是基于时域的范围内对系统进行研究的，也就是说系统的输入、输出、以及状态量等主要是在一种连续状态下的时间函数（在研究过程中主要以数值积分或虚拟的离散状态分析为主），但在研究过程中，这些方法在各方面多少都有局限性。频域仿真建模方法：面向 S 域的传递函数G(s)根据相似原 理，得到与它相匹配的 Z 域传递函数G(z)。若G(s)是稳定的，而脉冲传递函数G(z)也应是稳定的，对于同一输入信号，由G(z)求得的y(kT)输出与由G(s)求出的y(t)应具有相一致的时域特性或具有相一致的频率特性。,第一节 替换法,快速仿真解决的主要矛盾是快速性，而对精度可以降低一些要求。因此，对于一个高阶连续系统若能将其传递函数G(s)比较方便的转换为与其相匹配的，并允许采样周期 T 较大的脉冲传递函数G(z)，然后由G(z)获得差分方程进行数字仿真，不但能够减少计算步数，也能使每一步的计算量大为减少，从而获得快速仿真的效果。本节介绍的替换法是根据相匹配原理由直接导出的变换方法。,一、替换法基本原理 替换法的基本思想是，设法找到s域（连续域）与z域（离散域）的某种对应关系，然后将G(s)中的变量s转换成变量z，由此得到与连续系统传递函数G(s)相对应的离散系统的脉冲传递函数G(z)，进而获得进行数字仿真的递推算式，以便在计算机上求解计算。根据拉普拉斯变换与z变换的关系，可得：（4.1-1）或 式中，T采样周期 式（4.1-1）是一个超越函数，不能直接用它来替换,欧拉替换,欧拉替换：简单，但是稳定性差，并不实用。下面分析其稳定性：,Z平面上的单位圆按该替换式反映射到S平面上，将是一个 以（1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆。,图4.1 S域到Z域的映射关系,l 一个原来稳定的系统G(s)，通过替换得到的仿真模型G(z)却可能是不稳定的。,2.双线性变换,式（4.1-2）和式（4.1-3）都称为算子的屠斯汀公式。用这一关系替换G(s)中的s的方法称为双线性变换法或屠斯汀法。可以证明，双线性变换法符合相匹配原理。,这就是说，Z平面上的单位圆，映射到S平面上将是整个左 半平面，其逆也真。即如果原来G(s)稳定，那么G(z)也是稳定的。,二、替换法步骤,采用双线性变换法求仿真模型的具体步骤如下：设已知一线性系统的传递函数为：,根匹配法也是一种从系统传递函数G(s)导出脉冲传递函数G(z)方法，是根据相匹配原理提出的又一种常见的快速仿真方法。,一、根匹配法原理,根匹配的基本思想是使离散化所得的脉冲传递函数与连续系统的传递函数的零点和极点相匹配，从而使离散化模型的动态、静态特性与连续系统相同。所以，这种方法又称零极点匹配法。连续系统的动态、静态特性由传递函数G(s)的零、极点分布及增益大小所决定，采样系统的动态、静态特性由脉冲传递函数G(z)的零、极点分布及增益大小所决定。如果能找到一种简单的映射关系z=f(s)，将连续系统G(s)的零、极点映射为脉冲传递函数G(z)的零、极点，再根据一定的原则确定G(z)的增益，则可方便地由G(s)求得与之等价的G(z)。,第二节 根匹配法,二、根匹配法步骤 由根匹配法求仿真模型的具体步骤如下：设原系统的传递函数为：,习 题,一.增广矩阵法的基本思想,第三节 增广矩阵法,由于 都可以在仿真前算出，所以式(4.3.7)右端的系数项可以事先求出，而仿真计算就变成每次只作一个十分简单的递推计算，从而达到快速仿真。然而一般系统的状态方程都是非齐次的，按式(4.3.2)求解时，除了计算一个自由项外，还要计算一个强制项 使计算复杂化，所以应设法将非齐次项，即输入变量“增广”成为新的状态变量(即增广状态变量)，使原状态方程变成增广形式的齐次状态方程：,式(4.3.8)，称为增广状态方程，式(4.3.9)称为增广输出方程，其中 为增广状态向量，它包含了 及增广进去的增广状态变量。为增广状态矩阵，为增广输出矩阵。对于式(4.3.8)，就可以用式(4.3.7)进行仿真计算，这种方法就称为增广矩阵法。这时对于n阶系统就是把输入 当作第n+1个状态变量，使原来解非齐次方程的问题变成求解齐次方程的问题。现在的关键问题是如何把 增广成新的状态变量构成新的增广状态向量，下面将分别就几种典型输入信号来说明增广矩阵的形成方法。,二.典型输入信号的增广矩阵法,时域矩阵法是在时域中用无穷矩阵来进行系统分析的方法。这种方法不仅适用于分析采样控制系统，而且可以通过引入适当的采样开关和保持器以分析连续系统。它的好处是，如果能获得系统的脉冲响应，那么采用该法可以允许采用较大的计算步长，每一步的计算量少且与系统的阶次无关，从而实现快速数字仿真。,一、时域矩阵法,1.时域矩阵的概念 设有如图4.4.1所示的开环采样系统，受控对象的传递函数为，保持器的传递函数为，则系统的开环传递函数。设初试条件为零时，对应 的脉冲传递函数为。,第四节 时域矩阵法,列矢量Y和U包含了输出和输入的各个离散值，即各采样时刻值。G是由(k+1)(k+1)个元素组成的方阵，其元素由g(t)在离散时刻的值确定，这个矩阵是下三角阵，只在对角线上、对角线下半部有值，其余元素为零。若响应 y(k)在各采样时刻都要被确定，则G的阶次是无穷大的，所以称为无穷矩阵，又称时域矩阵。实用时，一般 G的阶次有十几到二十几左右就能满足要求。从式(4.4.3)看出，若能在系统仿真前先测得u(k)和g(k)(g(k)也可通过拉普拉斯反变换求得)，以一定的数字形式送入计算机，在仿真时就只需计算一个矩阵相乘式，且这种算法与系统的阶次无关。因此这种算法允许采用较大的计算步长，从而提高了仿真计算速度。,2.闭环连续系统的时域矩阵 闭环系统离散化后的方框图如图4.4.2所示。,3.时域矩阵法特性分析 时域矩阵法适用于采样控制系统和连续控制系统。由于g(t)计算是准确的，对于采样开环系统，此法是一种准确的仿真方法，只存在计算机产生的舍入误差。此法不是递推的算法，没有舍入误差的积累或传播。连续系统采用此法仿真，则存在由于采用了虚拟的保持器及采样开关而引入的误差和计算舍入误差。连续闭环系统存在误差的积累，但是通过选择合理的采样周期和保持器，仍将保证较高的精度。对于采样开环系统，此法不仅是准确的，而且是恒稳的；对于闭环连续系统，此法也具有良好的计算稳定性。允许采用较大的采样周期T，由于引入了虚拟的采样开关及保持器，从计算精度考虑，T不宜取得太大。,此法由g(t)来计算响应，不因系统的阶次增高而加大计算量。阶次越高，该法的快速性体现越好。但计算量将随k的增加而增大，对于实际系统而言，k一般只取有限值，输出响应就会趋于稳定，研究问题所需的信息也就完全获得了。高阶系统求解。是较困难的，此时也可考虑对每个环节(脉冲响应表达式已知)分别求g(t)，然后逐级求解，但是计算量将因环节数目的增加而加大。,
