九章算术.ppt(1).ppt

九章算术,起源：多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，但其中有些内容可以追随到周代。,作者：九章算术作者不祥，多认为是先秦至西汉中的长时间里经众多学者编纂，修改而成的一本书。,九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种。,九章算术内容：,九章算术主要采用问题集的形式，全书246个问题。主要涉及算法方面，代数方面，几何方面。其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。,这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。,2、比例算法：在九章算术粟米、衰分、均输诸章集中讨论比例问题。并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本方法。今有术相当于我们现在的 则 其中a称为所有率，b称为所求率，c称为所有数，x称为所求数。,一、算法方面,1、分数四则运算法则：在九章算术“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。,3、盈不足术：“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难算术问题的解的方法。,九章算术中典型的盈亏类问题：,今有共买物，人出八盈三；人出七不足四。问人数、物价各几何？,答曰：七人，物价53钱。,盈不足术也可以用来解决不属于盈亏类的问题。,二、代数方面,1、方程术：即线性联立方程组的解法。,题目：今有上禾（上等黍米）三秉，中禾二秉，下禾一秉，实(l粮食）三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下实一秉各几何？,解：设上中下禾各一秉打出的粮食分别为x，y，z斗则解方程组,不过在九章算术中没有表示未知数的符号，而是用算筹将x，y，z的系数和常数项排列成一个方阵，消元的过程想当于现在矩阵中的初等变换。,2、正负术,在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元（即用加减消元法解一次方程组）时，可能出现减数大于被减数的情形，于是在“方程”章中提出了正负术，即正、负数的加减运算法则。,也就是我们现在用的正负数和零之间的运算，前四句为减法法则，后四句为加法法则。,3、开方术,九章算术“少广”章有“开方术”和”开立方术”，给出了开平方和开立方的算法。开方术本质上是一种减根变换法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。,九章算术开方术实际上包含了二次方程 的数值求解程序，称为“开带从平方法”。而且在九章算术中还指出了存在有开不尽的情形：若开之不尽者，为不可开。,三、几何方面,九章算术中方田，商功，勾股三章处理几何计算，其中“方田”讨论面积问题，多与农田测量有关。“商功”讨论体积计算，主要涉及工程土方计算。“勾股”则是关于勾股定理的应用。,1.九章算术给出的所有直线型的面积，体积的公式都是正确的。例如：,在九章算术中远的面积为 是正确的，但以3为圆周率，失诸粗疏。而且在“开立圆术”中相当于给出球的体积公式为（D为直径），这是不正确的。,2.与欧几里得原本中将代数问题几何化相反，九章算术中将几何问题算术化和代数化。如下题：,在“勾股”章中的解法相当于解一个二元一次方程 答案：小城的边长为250步,历史影响：1、九章算术是世界上最早系统叙述了分数运算的著作。2、其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造。3、“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，4、九章算术在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则。5、现在中学讲授的线性方程组的解法和九章算术介绍的方法大体相同。注重实际应用是九章算术的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。九章算术是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成,