15.5分解因式复习上课用的.ppt

分解因式,复 习,知识要点、考点聚焦,2.因式分解的几种常用方法(1)提公因式法(2)运用公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2(3)二次三项式型：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),1.因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解或分解因式.,(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号.,一、分解因式,多项式,整式的积,因式分解,整式乘法,1、以下从左到右的变形中，哪些是因式分解？(1)a(a+1)=a2+a(2)x2+2xy+y2=(x+y)2(3)3at2-2a2 t+at=at(3t-2a)(4)8a3bc=2a24abc(5)a2-b2=(a+b)(a-b)(6)m2+m-4=(m+3)(m-2)+2,2、若x2+mx+n=(x+3)(x-2),那么m。n=。,3、若x2-x-12=(x-a)(x+b).那么ab=.,下列由左边到右边的变形，哪些 是分解因式？哪些不是？说明理由。,(1)x2+3x+4=(x+2)(x+1)+2(2)6x2y3=3xy2xy2(3)(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2(4)4ab+2ac=2a(2b+c),二、提公因式法,1、公因式的确定方法：(1)系数：取各系数的最大公约数(2)字母：取各项相同的字母(3)相同字母指数：取最低指数,2、变形规律：(1)xy=(yx)(2)(xy)2=(yx)2(3)(xy)3=(yx)3(4)xy=(x+y),1.如：多项式8a2b2-12ab3c的各项的公因式是()A.ab B.ab2 C.4ab2 D.8ab2,例1.因式分解：(1)9a2b-12ab2+3ab(2)a(x-3)+2b(3-x)(3)5(x-y)3+10(y-x)2(4)计算：9992+999,解:(1)原式=3ab(3a-4b+1)(2)原式=a(x-3)-2b(x-3)=(x-3)(a-2b)(3)原式=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2(x-y+2)(4)原式=999(999+1)=9991000=999000,数学病院,1、分解因式,p(yx)q(xy),=p(yx)q(yx)=(yx)(p q),数学病院,2、分解因式,m(a-b)2-n(b-a)2=m(a-b)2+n(a-b)2=(a-b)2(m+n),3、分解因式,数学病院,24x3 12x2+28x=(24x3 12x2+28x)=4x(6x2 3x+7),三、运用公式法,平方差公式：a2b2=(ab)(ab)完全平方公式：a22abb2=(ab)2 a22abb2=(ab)2,例2.因式分解：(1)25x16x3(2)81x2+4y2(3)9(xy)2(x+y)2(4)a2-22a+121(5)(x+y)26(x+y)+9(6)3x3-12x2y+12xy2(7)x2-15x-16(8)y3+5y2-24y,如果9x2+kx+25是一个完全平方式,那么k的值是.,诊断分析：公式理解不准确，不能很好的把握公式中的项，4x2y2中4x2 相当于a2,则2x相当于“a”.,数学病院,诊断分析：综合运用提公因式，公式法公解因式时，提公因式后，另一个因式还可以继续分解，千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。,数学病院,数学病院,6、分解因式 4a4-a2=(2a2+a)(2a2-a),诊断分析：如果多项式的各项含有公因 式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。,4、叙述因式分解的一般步骤：,1、如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；,2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；,3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。,诊断分析：完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2，x2+kx+9可是其中任何一个,则k应该考虑两个值.,7、x2+kx+9是完全平方式,则k=6.,数学病院,一变：x2+2kx+9是完全平方式，则k为何值。,二变：x2+8x+k是完全平方式，则k为何值。,三变：kx2-12x+9是完全平方式，则k为何值。,变式训练,3.因式分解的一般步骤:可归纳为一“提”、二“套”.(1)一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来.(2)二“套”：若多项式的各项无公因式(或已提出公因式)，第二步则看能不能用公式法或用x2+(p+q)x+pq型分解.,四、综合运用,例3、利用因式分解计算：9752252(2)8002 1600798+7982(3)(-2)101+(-2)100,4.248-1可以被60到70之间的某两个 整数整除，求这两个整数.,(4)32005-32004(5)6.42-3.62(6)992+198+1,5.求证：对于正整数n，2n+4-2n能被30整除.,解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n=1522n-1=302n-1.n为自然数时，2n-1为整数，2n+4-2n能被30整除.,4.对于任意自然数n,(n+7)2-(n-5)2 是否能被24整除?,解：(n+7)2-(n-5)2=(n+7)+(n-5)(n+7)-(n-5)=12(2n+2)=24(n+1)故能被24整除,6.求证两个连续偶数的平方差能被4整除.,7.求证:当n是整数时,(n+12)2-n2是24 的倍数.,证明:设两个连续偶数为2n,2n+2,(2n+2)2-(2n)2=(2n+2+2n)(2n+2-2n)=(4n+2)2=4(2n+1)两个连续偶数的平方差能被4整除,“借马还马”的思想给我们的启示：x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2x+2)(x2-2x+2),把x4+4分解因式,课外延伸,欢迎指导,练习:1.因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.,2.若x2+mx+4是一个完全平方式，则m=,解：(1)原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)=x(a-b)(3x+1)(3)原式=3(x+y)+2(x-y)3(x+y)-2(x-y)=(5x+y)(x+5y)(4)原式=(9a2)2-1=(9a2+1)(9a2-1)=(3a+1)(3a-1)(9a2+1)(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式=(a+b2+2ab)(a2+b2-2ab)=(a+b)2(a-b)2,因式分解综合练习,教学目标：通过教学，培养学生综合运用因式分解两种基本方法的解题能力，提高学生综合使用因式分解方法的熟练程度教学重点：熟练掌握利用两种基本方法进行因式分解教学难点：灵活运用各种因式分解方法进行因式分解,教学过程：,一、复习提问：,1、把 化成 的形式，叫做把这个多项式因式分解。,2、因式分解与 是互逆变形，分解的结果对不对可以用 运算检验,一个多项式 几个整式的乘积,整式乘法,整式乘法,3、本节学习了（1）、（2）两种因式分解的方法。,提公因式法,运用公式法,4、叙述因式分解的一般步骤：,1、如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；,2、如果多项式的各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；,3、因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。,二、精讲精练：练习1：(1)分解因式：3ax2+6axy+3ay2=。,3a(x+y)2,(2)下列解法对吗？若不对，应如何改正？解：-x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy),解：解法不对,改正：-x4y5+x2y2-xy=-xy(x3y4-xy+1),2a(b-c)-3(c-b)2=2a(b-c)+3(b-c)2=(b-c)(2a+3b-3c),解：解法不对,改正：2a(b-c)-3(c-b)2=2a(b-c)-3(b-c)2=(b-c)(2a-3b+3c),(3)把5x3y(x-y)-10 x4y3(y-x)2因式分解,解：原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2=5x3y(x-y)1-2xy2(x-y)=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3),练习2：(4)判断对错：25t2-0.09y2=(5t+0.03y)(5t-0.03y)()4a-a2-4=-(a+2)2()a2-25=(a+5)(a-5)()a3-a=a(1-a)2(),错,错,对,错,(5)因式分解：x4-2x2+1,解：原式=（x2-1)2=(x+1)(x-1)2=(x+1)2(x-1)2,(x2+y2)2-4x2y2,解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2,a5b3-a3b5,解：原式=a3b3(a2-b2)=a3b3(a+b)(a-b),练习3：(6)如果(x+y)(x2-xy+y2)-(x+y)xy有公因式(x+y)，那么另外的因式是()(A)x2+y2(B)(x-y)2(C)(x+y)(x-y)(D)(x+y)2,B,(7)a(a+b)+c(-a-b)因式分解的结果是()(A)(a-b)(a-c)(B)(a-b)(a-c)(C)(a+b)(a-c)(D)(a+b)(a+c),C,(8)把下列各式因式分解：-x2+6x-9x2+2xy+y2-z2ab+a+b+1(x-1)(x-3)+1,解：原式=（x2-6x+9)=(x-3)2,解：原式=（x2+2xy+y2)-z2=(x+y)2-z2=(x+y+z)(x+y-z),解：原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1),解：原式=(x2-4x+3)+1=x2-4x+4=(x-2)2,练习4：(9)把下列各式因式分解：4x4-12x2y2+9y2x2-2x+1-y2(x2-x)2-14(x2-x)+49m2(m-1)-4(1-m)2,(10)若a+b=4,a2+b2=10 求 a3+a2b+ab2+b3的值。,解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3)=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2)a+b=4,a2+b2=10 原式=410=40,三、小结,1、因式分解的定义2、因式分解的两种基本方法3、因式分解的一般步骤4、引导学生换个角度思考：即按其项数确定分解方法,（1）多项式是两项时，考虑用平方差公式分解因式（两项为异号时）（2）多项式是三项时，考虑用完全平方公式分解因式强调：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。,四、布置作业 教科书P93 B组12,五、堂上小测：,1、下列有左到右的变形，属因式分解的是（）(A)(a+2)(a-2)=a2-4(B)a2-9=(a+3)(a-3)(C)x2-1+2x=(x-1)(x+1)+2x(D)x2+6x+10=(x+3)2+1,B,2、填空：(a-b)3(x-y)2=(b-a)3(y-x)2,-,3、把下列各式因式分解：（1）xy-x-y+1（2）(y2-1)2-25y2（3）x2-4ax-a4+4a2,(11)已知(x+y)2-2x-2y+1=0,求2x2+4xy+2y2的值。,解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0(x+y-1)2=0即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2=212=2,