第10章 感应电机的动态分析与矢量控制.ppt

第十章 感应电机的动态分析与矢量控制,第一节 三相坐标系中感应电机的动态方程第二节 坐标变换与空间矢量第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型第四节 三相感应电动机起动过程的动态分析第五节 感应电动机的矢量控制,第一节 三相坐标系中感应电机的动态方程,建立三相感应电机动态数学模型时的假设：忽略空间谐波，各绕组产生的磁动势在空间上正弦分布；不考虑磁路饱和，并忽略铁耗，各绕组的自感和互感均与绕组内的电流大小无关；定、转子表面光滑，不计齿槽的影响；不考虑频率和温度变化对绕组电阻的影响。三相感应电机物理模型 三相感应电机物理模型如图10-1所示。正方向规定 规定各绕组电压、电流、磁链等的正方向符合电动机惯例。,第一节 三相坐标系中感应电机的动态方程,一、电压方程二、磁链方程三、转矩方程和机械运动方程四、三相坐标系中感应电机的动态数学模型,三相坐标系中感应电机的动态方程由电压方程、磁链方程、转矩方程和机械运动方程组成。,一、电压方程,三相转子绕组的电压方程为,一、电压方程 三相定子绕组的电压平衡方程为,（10-1）,（10-2）,一、电压方程,或简写成,将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子p代替符号d/dt有,（10-3）,（10-3a）,二、磁链方程,或写成,二、磁链方程 每个绕组的磁链都是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此六个绕组的磁链可表达为,（10-4）,（10-4a）,二、磁链方程,转子各绕组的自感和互感为,定子各绕组的自感和互感为,（10-8）,（10-9）,（10-10）,（10-11）,定、转子绕组之间的互感为,（10-12）,（10-13）,（10-14）,二、磁链方程,式中,将式（10-8）（10-14）代入式（10-4），可得完整的磁链方程。常写成分块矩阵的形式,（10-15）,（10-16）,二、磁链方程,值得注意的是，Lrs和Lsr两个分块矩阵互为转置，且均与转子位置角有关，它们的元素都是变参数，这是系统非线性的一个根源。,（10-17）,（10-18）,二、磁链方程,其中，Ldi/dt 项是由于电流变化引起的感应电动势，(L/)i 项是由于定、转子相对位置变化产生的与转速成正比的旋转电动势。,（10-19）,如果把磁链方程代入电压方程，可以得到展开后的电压方程,三、转矩方程和机械运动方程,考虑到机械位移角m=/pn，pn为电机的极对数，则有,三、转矩方程和机械运动方程 根据机电能量转换原理，若整个电机内的磁共能为W，则电磁转矩Te应当等于磁共能对转子机械角位移m的偏导数（电流恒定时）。在线性电感的条件下，磁共能为,（10-20）,（10-21）,三、转矩方程和机械运动方程,代入式（10-21），得,又考虑到,（10-22）,（10-22a）,将式（10-18）代入式（10-22）并展开，得,系统的机械运动方程为,（10-23）,四、三相坐标系中感应电机的动态数学模型,这是一组变系数非线性微分方程，在用数值法求解时常写成状态方程的标准形式,四、三相坐标系中感应电机的动态数学模型 汇总上述电压方程（10-19）、磁链方程（10-15）、运动方程（10-23）和转矩方程（10-21）或（10-22），再结合角速度方程=d/dt，即得到三相坐标系中感应电机的动态数学模型，用微分方程表示为,（10-24）,四、三相坐标系中感应电机的动态数学模型,式中，x和 分别为状态向量及其对时间的导数；v为输入向量；A为系统矩阵；B为控制矩阵。,写成矩阵形式时为,（10-25）,（10-26）,四、三相坐标系中感应电机的动态数学模型,（10-27）,（10-28）,第二节 坐标变换与空间矢量,一、坐标变换基础1.线性变换与功率不变约束2.坐标变换与电机绕组等效二、空间矢量三、坐标变换1.三相静止坐标系与两相任意旋转坐标系的坐标变换2.常用坐标系和坐标变换3.满足功率不变约束的坐标变换,一、坐标变换基础,一、坐标变换基础 所谓坐标变换就是将方程中的一组变量用一组新的变量来代替，或者说用新的坐标系去替换原来的坐标系，以便使分析、计算得以简化。若新、旧变量之间为线性关系，则变换为线性变换，电机分析中用到的坐标变换都是线性变换。以前述感应电机动态方程为例，在转速恒定的情况下，通过适当的坐标变换，可以将原来坐标系下含有时变系数的电感矩阵变成常数阵，相应的电压方程变成常系数微分方程，使解析求解得以实现。,一、坐标变换基础,线性变换与功率不变约束 设有一线性电路，其电压方程的矩阵形式为,（10-29）,现进行坐标变换，将原有的电压u、电流i变换成新的电压u和电流i，设电压变换矩阵为Cu，电流变换矩阵为Ci，理论上电压和电流可以采用不同的变换矩阵，即Cu和Ci可以不同，但在电机分析中，通常取Cu和Ci为同一矩阵C，于是有,（10-30）,（10-31）,一、坐标变换基础,为使原变量与新变量之间存在单值对应关系，变换矩阵C必须是方阵，且其行列式的值必须不等于零，这样逆矩阵C-1才能存在。,根据式（10-29）（10-31），用新变量表示时的电压方程为,（10-33）,（10-32）,式中，z为变换后的阻抗矩阵,矩阵C、u、i中的元素可以是实数（实变量），也可以是复数（复变量），下面仅以它们为实数（实变量）为例来讨论坐标变换的功率不变约束。,一、坐标变换基础,变换前输入（或输出）电路的瞬时功率为,变换后的瞬时功率为,（10-35）,（10-34）,若要保证变换前后功率不变，则应有,将式（10-30）（10-31）代入式（10-34），可得,（10-36）,（10-37）,一、坐标变换基础,欲满足式（10-36），必须使上式中,其中，I 为单位矩阵。即应有,（10-39）,（10-38）,满足式（10-39）的变换称为正交变换。,需要说明的是，坐标变换不一定要满足功率不变约束。若变换前后功率不守恒，只需在计算功率和电磁转矩时引入相应的系数进行修正即可。目前广泛应用的派克（Park）变换就是功率不守恒的坐标变换。,一、坐标变换基础,2.坐标变换与电机绕组等效 从物理意义上看，电机分析中的坐标变换可以看作电机绕组的等效变换。进行坐标变换的目的是使方程简化，三相坐标系中电机动态方程复杂的主要原因在于：由于三相绕组非正交，三相定子绕组之间及三相转子绕组之间存在复杂的耦合关系；同时由于定、转子绕组有相对运动，使定、转子绕组间的互感随着时间变化。为了简化方程，可以设想用两相正交绕组代替（或等效）三相定、转子绕组，这样就可以消除定子绕组之间及转子绕组之间的互感，如果进一步使定、转子绕组相对静止，例如将转子绕组用静止绕组等效，则定、转子绕组间的互感将变为常数，从而使微分方程大为简化。,一、坐标变换基础,在感应电机中，最重要的就是旋转磁场的产生。以定子绕组为例，不管绕组的具体结构和参数如何，只要其产生磁场的空间分布、转速、转向相同，它与转子的相互作用情况就相同，即在转子中产生感应电动势、电流及电磁转矩的情况相同，也就是说从转子侧只能看到定子绕组产生的磁场，而看不到产生磁场的定子绕组本身。对转子绕组有同样的结论，从定子侧只能看到转子绕组产生的磁场，而看不到转子绕组的具体结构。因此，从产生磁场的角度看，不同结构形式或参数的绕组是可以相互等效的，在感应电机分析中通常将笼型转子等效成绕线转子进行分析、计算也正是基于这一点。,一、坐标变换基础,三相静止绕组、两相静止绕组和两相旋转绕组间的等效,可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，三相静止绕组、两相静止绕组和两相旋转绕组可以彼此等效。从坐标变换的角度看，就是三相静止坐标系下的iA、iB、iC和两相静止坐标系下的i、i以及两相旋转坐标系下的id、iq可以相互等效，它们之间准确的等效关系，就是坐标变换关系。,图10-2 交流电机的绕组等效,二、空间矢量,二、空间矢量 空间矢量的概念在交流电机分析与控制中具有非常重要的作用。将各相的电压、电流、磁链等电磁量用空间矢量表达，可以使三相感应电机的动态方程表达更简洁，为电机的分析与控制带来方便，并有助于对交流电机的矢量控制、直接转矩控制、PWM方法中电压空间矢量调制（SVPWM）等问题的理解，特别是利用空间矢量的概念可以方便地确定不同坐标系间的变换系数，即变换矩阵C，实现不同坐标系间的坐标变换。,二、空间矢量,空间矢量的基本概念 我们知道，在空间按正弦规律分布的物理量可以用空间矢量表示，并按矢量运算法则进行运算。交流电机中，若某相绕组x通以电流ix，在忽略空间谐波的条件下，该相绕组产生的磁动势在空间按正弦分布，可用空间矢量Fx表示，矢量的长度表示基波磁动势的幅值Fx，矢量所在的位置和方向表示磁动势正波幅所在的位置和方向。对单相绕组而言，由于其基波磁动势幅值位置固定在绕组轴线上，故相应的矢量Fx在矢量图中的位置固定不变，始终在绕组轴线上，只是矢量的长度随时间变化，方向时而正，时而负。,二、空间矢量,在三相交流电机中，定子为三相对称绕组，其轴线分别为A、B、C，在空间互差120，若绕组电流分别为iA、iB、iC，它们产生的基波磁动势用空间矢量表示分别为FA、FB、FC，如图10-3所示，将三个磁动势矢量按矢量运算法则相加，可以得到一个新矢量F，有,（10-40）,F代表了三相绕组的基波合成磁动势，F的长度对应于三相合成磁动势的幅值F，F的空间位置与三相基波合成磁动势幅值在空间的位置一致。考虑到交流绕组基波磁动势幅值Fx与电流ix之间的关系为,二、空间矢量,式（10-43）表明，虽然三相电流iA、iB、iC不是在空间按正弦规律分布的空间正弦量，而是时间变量，它们也可以用位于各相绕组轴线上长度等于该相电流瞬时值的空间矢量表示，并按矢量运算法则运算。,（10-41）,式中,则式（10-40）可以写成,式中,（10-42）,（10-43）,二、空间矢量,从物理意义上看，电流矢量iA、iB、iC分别代表了各相电流产生的磁动势矢量FA、FB、FC，相应地其合成矢量i代表的是三相合成磁动势F，i的空间位置对应于合成磁动势基波幅值的空间位置，i的长度i与合成磁动势的幅值F成正比。由于合成磁动势F综合反映了三相绕组的磁动势FA、FB、FC，由此不难理解，电流合成矢量i可以综合反映三相电流iA、iB、iC的瞬时值，因此，我们可以以合成矢量i为基础，通过引入系数k，定义一个新的电流矢量i=ki，称为电流综合空间矢量，简称电流综合矢量或电流空间矢量。系数k可以取不同的值，相应地综合矢量有不同的定义方法。,二、空间矢量,i在A、B、C轴线上的投影 按照矢量运算法则，i在A相绕组轴线的投影iA应为iA、iB、iC三个矢量在A轴投影的代数和，即,（10-44）,式中，i0称为零轴分量或零序分量,（10-45）,同理可得i在B、C轴的投影分别为,二、空间矢量,由式（10-44）（10-47）可知，若三相绕组为中性点隔离的Y联接，则iA+iB+iC=0，i0=0，i在三相绕组轴线的投影分别为3iA/2、3iB/2、3iC/2，比各绕组的实际电流大了3/2倍，鉴于此，为了方便，在三相系统中常将综合矢量定义中的系数k取为2/3，即有,（10-46）,（10-47）,（10-48）,二、空间矢量,这样，在iA+iB+iC=0的前提下，i在三相绕组轴线的投影即为iA、iB、iC。若iA+iB+iC0，则i在三相绕组轴线的投影iA、iB、iC分别为扣除零轴分量后的三相电流瞬时值，即有,（10-49）,式（10-49）实际上意味着综合矢量i及合成矢量i中不含有零轴分量的信息。从物理概念上讲，零轴分量是三相电流中的零序分量，在三相对称系统中，零序电流不产生合成气隙磁动势。而从数学的角度看，确定综合矢量i只需要两个独立变量，故不可能与三个独立变量iA、iB、iC 建立一一对应的关系。,二、空间矢量,因此，iA、iB、iC中只有两个独立变量，可以与合成矢量i或综合矢量i 建立一一对应的关系。,但扣除零轴分量后的三相电流iA、iB、iC情况有所不同，由式（10-49）和式（10-45）可知,综合前述分析，可以得到如下结论：而i或i在三相轴线A、B、C的投影即为扣除零轴分量后的三相电流瞬时值iA、iB、iC。,二、空间矢量,两相坐标系中的综合矢量 类似地可以在两相坐标系中定义综合矢量，如图10-4所示，有两相对称绕组x、y，其轴线分别为x和y，在空间互差90电角度，绕组电流分别为ix、iy，相应的空间矢量为ix、iy，则ix、iy的矢量和i为,（10-52）,即为两相系统中的电流综合空间矢量。从物理意义上看，i代表了两相绕组产生的气隙合成磁动势。在两相系统中，由于坐标轴正交，矢量i与两相电流ix、iy之间存在简单的对应关系，不需进一步处理。,二、空间矢量,其他电磁量的综合矢量 同理，其它时间变量，如电压u、磁链等均可以用空间矢量表示，其综合矢量的定义与式（10-48）或（10-52）相同，只需将其中的变量“i”换成“u”或“”即可。也就是说，电机的定、转子电压、电流、磁链、磁动势、电动势、磁通、磁密等电磁量均可以用空间矢量表示，这些矢量有些在空间上实际存在，如磁动势、磁密等；有些在空间上不存在，但代表着实际存在的矢量，如定、转子电流矢量代表着实际存在的定、转子磁动势矢量；还有一些矢量在空间不存在，也不代表实际存在的矢量，仅仅是一种数学处理，如电压、电动势、磁链等。,二、空间矢量,空间矢量的复数表示 为了便于进行数学运算，空间矢量常用复数表示，在三相系统中常取A轴为实轴，虚轴领先实轴以90电角度，则A、B、C轴上的单位矢量a=，b=，c=，为了表示方便，常令a=，则 a=a0，b=a，c=a2，综合矢量i可以表示为,（10-53）,也可以表示为,（10-54）,二、空间矢量,根据式（10-1）、式（10-2），若将三相坐标系中感应电机的定、转子电压、电流、磁链均用空间矢量表示，则其定、转子电压方程可以写成如下形式的矢量方程,（10-55）,需要注意的是，电压、电流等时间量的空间矢量不同于电机稳态分析中的时间相量。但稳态时各时间量的综合空间矢量与它们的时间相量相对应，可以相互转换或代替。,（10-56）,三、坐标变换,三、坐标变换 1.三相静止坐标系与两相任意旋转坐标系的坐标变换,图10-5给出了三相静止坐标系A、B、C和两相任意旋转坐标系x、y。在图示时刻，x轴超前A轴角。,利用综合矢量进行坐标变换的原则是：变换前后所产生的综合矢量保持不变。这样，对于电流的变换来讲，从物理概念看可以使变换前后的合成磁动势保持确定的比例关系，通过适当选择两相系统与三相系统绕组的匝数比，可以保持变换前后合成磁动势不变。,三、坐标变换,按上述原则，两相系统中电流ix、iy形成的电流综合矢量i也就是三相系统中的等效电流iA、iB、iC的综合矢量，而在三相系统中电流综合矢量i在A、B、C轴的投影是相电流扣除零轴分量后的电流瞬时值iA、iB、iC，因为i=ix+iy，根据矢量运算法则，i在某相绕组轴线上的投影应等于其分矢量ix、iy在该轴上的投影的代数和，因此有,（10-57）,（图10-5）,三、坐标变换,考虑零轴分量，并写成矩阵形式，两相任意旋转坐标系到三相坐标系的变换关系为,（10-59）,其逆变换为,（10-58）,三、坐标变换,上述三相系统与两相系统的坐标变换常称为派克（Park）变换。在Park变换中，C3s/2r=C2r/3s-1C2r/3sT，因此不满足功率不变约束。式（10-58）和式（10-59）的坐标变换关系不限于三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换，也可用于三相旋转坐标系到某两相坐标系的变换，只要为相应时刻x轴与A轴的夹角即可。这一点也适用于下面讨论的其它坐标变换关系。,三、坐标变换,2.常用坐标系和坐标变换,1）两相静止坐标系0坐标系 若上述x、y坐标系在空间静止不动，且x轴与A轴重合，即=0，如图10-6所示，则为两相静止坐标系，常称为坐标系，考虑到零轴分量，也称为0坐标系。从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换称为三相-两相变换，简称3/2变换。由式（10-59），可得,（10-60）,三、坐标变换,令C3/2表示从三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换矩阵，则,相应地，从两相坐标系到三相坐标系的变换矩阵为,（10-61）,（10-62）,三、坐标变换,在实际应用中，上述坐标变换关系常可进一步简化。例如，在交流调速系统中，交流电机通常为中性点隔离的三相星型连接（Y接），有iA+iB+iC=0，则i0=0，因此可将零轴分量去掉。同时，由于三相电流中只有两相独立，三相系统中的电流可以只用iA、iB表达，而将C相电流用iC=-（iA+iB）代入。相应的坐标变换关系简化为,（10-63）,（10-64）,三、坐标变换,2）两相旋转坐标系dq0坐标系 若上述x、y坐标系在空间旋转，且其x轴为电机某转子绕组轴线，称为d轴，相应地y轴改称q轴，这样的两相坐标系称为dq坐标系，或dq0坐标系，其中“0”表示零轴分量。由式（10-58）和式（10-59），dq0坐标系与ABC坐标系之间的坐标变换关系为,（10-65）,（10-66）,三、坐标变换,式中，=dt+0，为t时刻d轴超前A轴的电角度；为转子的转速；0为t=0时刻d轴领先A轴的电角度。在交流电机分析与控制中，也常使dq0坐标系与电机的某旋转磁链（磁场）同步旋转或以电源基波角频率旋转，由于此时dq0坐标系的转速为同步速，故称为两相同步旋转坐标系。,三、坐标变换,3）坐标系与dq坐标系间的坐标变换 在交流电机控制中，常需在两相静止坐标系和两相旋转坐标系dq之间进行变换。两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换，称作两相-两相旋转变换或矢量旋转变换，简称旋转变换（常用VR表示）或2s/2r变换。利用综合矢量的概念，由图10-7易得,（10-67）,（10-68）,两相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵为,三、坐标变换,两相旋转坐标系到两相静止坐标系的变换为,（10-69）,（10-70）,相应的变换矩阵,三、坐标变换,3.满足功率不变约束的坐标变换 前面讨论的三相坐标系与两相坐标系之间的坐标变换（Park变换）不满足功率不变约束，变换前后功率不守恒。以ABC到dq0的变换为例，变换前的三相电压为uA、uB、uC，电流为iA、iB、iC，相应的三相瞬时功率为,（10-71）,变换后在dq0坐标系中的电压为ud、uq、u0，电流为id、iq、i0，功率为,（10-72）,三、坐标变换,根据式（10-65）的坐标变换关系，将ABC系统中的电压、电流用dq0坐标系中的量表达，代入式（10-71）并整理，得,（10-73）,显然，p3p2,（10-74）,为了使变换前后功率不变，可以作如下变量代换，令,三、坐标变换,代入式（10-73），则,（10-75）,考虑到ABC到dq0的变换关系式（10-66），id、iq、i0与iA、iB、iC的变换关系为,（10-76）,电压ud、uq、u0与uA、uB、uC的变换关系同上。,三、坐标变换,式（10-76）即为满足功率不变约束的坐标变换。将式（10-76）写成矩阵形式，并去掉上角标“”，得,（10-77）,满足功率不变约束的三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换矩阵为,（10-76a）,三、坐标变换,其逆变换,（10-79）,C2r/3s为满足功率不变约束的两相旋转坐标系到三相静止坐标系的变换矩阵,（10-78）,由式（10-79）和式（10-77）可知，C2r/3s=C3s/2r-1=C3s/2rT，是正交变换，满足功率不变约束条件。,三、坐标变换,令式（10-77）、式（10-79）中的=0，可得满足功率不变约束的三相静止坐标系与两相静止坐标系之间的变换矩阵,（10-81）,（10-80）,三、坐标变换,（10-82）,满足功率不变约束的正交变换的变换关系也可以由综合矢量导出，只是由式（10-74）可知，正交变换与Park变换相比，其d、q坐标轴中的两相电压、电流均增大了 倍，这意味着其综合矢量的长度应比Park变换中增大 倍，由式（10-48），与正交变换相对应的三相坐标系中综合矢量的系数应由2/3扩大 倍，变成，即对应于正交变换，三相坐标系中电流综合矢量应定义为,三、坐标变换,Park变换和满足功率不变约束的变换（正交变换）各有特色。Park变换的最大特点是，在零轴分量为零的条件下，某物理量（如电流）综合矢量在三相绕组轴线上的投影即为该量的瞬时值。而在正交变换中，由于综合矢量的长度扩大了 倍，故其在三相绕组轴线上的投影不等于该量的瞬时值，而是放大了 倍。目前，Park变换与正交变换应用都十分广泛，阅读有关文献时要注意区分，本教材后面的讨论中将采用正交变换。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,概述一、两相任意旋转坐标系中的数学模型 二、两相静止坐标系（坐标系）上的动态数学模型三、两相同步旋转坐标系上的动态数学模型四、两相坐标系上的状态方程,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型概述,前面建立的三相坐标系上的感应电机动态数学模型十分复杂，其中一个主要原因是三相绕组之间存在互感，使电感矩阵比较复杂。如果通过坐标变换，将其变换到两相坐标系上，由于坐标轴互相垂直，意味着等效两相绕组正交，两绕组间的互感为零，从而可以使方程得以简化。两相坐标系可以是静止的，也可以是旋转的，在本节讨论中，我们首先建立以任意转速旋转的两相坐标系中的数学模型，进而导出两相静止坐标系和两相同步旋转坐标系中感应电机的动态数学模型。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,一、两相任意旋转坐标系中的数学模型 在这里，两相任意旋转坐标系用dq（或dq0）表示。我们前面建立的三相坐标系上的数学模型中，定子边的量处于三相静止坐标系，而由于转子是三相旋转绕组，因此未加变换的三相转子变量是三相旋转坐标系中的量，为建立两相任意旋转坐标系上的数学模型，应把定子和转子的电压、电流、磁链都变换到dq0坐标系，变换后的定子各量用下角标“s”表示，转子各量用下角标“r”表示。,1.电压方程 采用满足功率不变约束的坐标变换，由式（10-76）和式（10-77）可得，定子电压、电流和磁链的变换关系分别为,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,将式（10-1）三相静止坐标系（ABC）上的电压方程写成矩阵形式为,（10-83）,（10-84）,（10-85）,将式（10-86）代入式（10-83），得,（10-86）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,由式（10-78）得,（10-87）,（10-88）,则,（10-89）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,由式（10-79），对C2r/3s各元素求导得,（10-90）,（10-91）,将式（10-89）、式（10-90）代入式（10-87），整理得,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,令d/dt=dqs，为dq0坐标系相对于定子的角速度，则,（10-92）,（10-93）,同理，变换后的转子电压方程为,式中，dqr为dq0坐标系相对于转子的角速度，设转子转速为，则,（10-94）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,2.磁链方程 将三相定子磁链A、B、C变换到dq0坐标系是三相静止坐标系到两相旋转坐标系的变换，设某时刻d轴领先A轴s角，则其变换关系如式（10-85）所示，其中,（10-95）,将转子磁链a、b、c变换到dq0坐标系的rd、rq、r0是从旋转的三相坐标系abc到dq0的变换，变换矩阵可以写作C3r/2r，C3r/2r在形式上与C3s/2r相同，只是角应为d轴与转子a轴的夹角r，即有,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,（10-97）,则总的磁链变换式为,（10-96）,（10-98）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,（10-99）,由式（10-15）得,（10-100）,注意，电感矩阵Lsr、Lrs中的角为转子a轴领先定子A轴的角度，因此有=s-r，而电流iA、iB、iC与isd、isq、is0的变换关系为,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,（10-101）,ia、ib、ic与ird、irq、ir0的坐标变换关系为,（10-102）,将式（10-99）（10-101）代入式（10-98），得,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,分块矩阵中的各元素如下,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,同理,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,（10-103）,则dq0坐标系上的磁链方程为,式中，Lm为dq坐标系中位于同一坐标轴上的定子与转子等效绕组间的互感；Ls为dq坐标系定子等效两相绕组的自感；Lr为dq坐标系转子等效两相绕组的自感。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,3.转矩方程 根据式（10-22a），得三相坐标系上的转矩方程为,（10-104）,零轴分量在化简过程中完全抵消了，即零轴分量不产生电磁转矩。,将式（10-100）和式（10-101）代入上式，并考虑到=s-r，经过化简，可得dq0坐标系上的转矩公式为,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,由电压方程（10-92）、（10-93）和磁链方程（10-103）可见，零轴分量是独立的，与dq轴分量之间无相互影响，也不产生电磁转矩，即其不参与机电能量转换，因此在两相坐标系中通常不考虑零轴分量。其实在许多应用中零轴分量为零，即使其不为零，由于它与d、q轴分量无相互影响，如果有必要可以单独列方程予以处理。若采用Park变换，所得的电压方程、磁链方程均与前述相同，转矩方程中应有一个3/2的系数。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,二、两相静止坐标系（坐标系）上的动态数学模型 两相静止坐标系上的数学模型是两相任意旋转坐标系的数学模型当转速为零时的特例。在两相任意旋转坐标系数学模型中，令dqs=0，相应地dqr=-，将下角标d、q改成、，并不计零轴分量，根据式（10-92）和式（10-93），可得坐标系上的电压方程为,（10-105）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,由式（10-103）得坐标系上的磁链方程为,（10-106）,或写成,（10-106a）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,把式（10-106）代入式（10-105），电压方程变为,（10-107）,由式（10-104），坐标系上的电磁转矩为,（10-108）,上述方程加上机械运动方程式便是坐标系上感应电机的动态数学模型。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,图10-9为变换到坐标系后的三相感应电机物理模型，原本静止的三相定子绕组A、B、C可等效为两相静止绕组s、s，原本旋转的三相转子绕组a、b、c，从产生磁场的角度也可以等效为空间静止的两相绕组r、r。值得注意的是，r、r绕组不同于真正的静止绕组，会产生速度电动势项，故称为伪静止绕组。伪静止绕组具有以下两个特点：一方面绕组中的电流产生在空间静止的磁场（磁动势）；另一方面除了因磁场变化在绕组中产生变压器电动势外，还会由于绕组导体旋转而在绕组中产生速度电动势。仔细回顾一下直流电机电枢绕组的电动势和磁动势，不难发现，直流电机的电枢绕组就是伪静止绕组，因此伪静止绕组是类似直流电机电枢绕组的带换向器的旋转绕组。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,三、两相同步旋转坐标系上的动态数学模型 在两相任意旋转坐标系上的数学模型中，令坐标系的转速dqs等于同步角速度1，相应地，dq坐标系相对于转子的转速dqr=1-=s，即转差角速度。在不考虑零轴分量的情况下，两相同步旋转坐标系上的动态方程如下：,电压方程为,（10-109）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,磁链方程为,（10-110）,或写成,（10-110a）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,将式（10-110）代入式（10-109），并写成矩阵形式，得到同步dq坐标系上的电路方程式为,（10-111）,转矩方程式为,（10-112）,上述方程加上机械运动方程式便是同步dq坐标系上感应电机的动态数学模型。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,注意，在两相同步旋转的dq坐标系中，等效的两相定、转子绕组轴线均固定在d、q轴上，与dq坐标系相对静止，是dq坐标系上的静止绕组。而实际电机的三相定、转子绕组相对于dq坐标系均有相对运动，即对于dq坐标系来讲都是旋转绕组，转速分别是-1和-s，故dq坐标系中的定、转子绕组均为伪静止绕组，电压方程中都含有速度电动势项。由以上分析可见，感应电机的动态数学模型经坐标变换变换到两相坐标系dq(或)后，原来是转角的函数的绕组电感全部变成了常量，而且由于dq轴（或轴）相互垂直，两轴线上的绕组间无互感，电感矩阵及相应的磁链方程大为简化，从而使电压方程和转矩公式得以简化。特别是在转速为恒值的情况下，电压方程变成了常系数线性微分方程，可以很方便地求解。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,四、两相坐标系上的状态方程 三相感应电机在三相坐标系上的状态方程是8阶方程，其中6阶电压方程、1阶运动方程和1阶转角方程。由前述两相坐标系中的动态方程可见，如果不计零序分量，两相坐标系上的电压方程为4阶，加上1阶运动方程，其状态方程降为5阶，由于电感矩阵与转角无关，转角方程可以不必列于联立求解的微分方程组。感应电机的状态方程可以建立在不同的两相坐标系上，而且状态变量也有不同的选取方法，除了转速作为必选的状态变量外，其余4个状态变量可以在两相定子电流、两相转子电流、两相定子磁链、两相转子磁链这4组变量中任意选取两组，以下仅给出两个例子。,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,1两相静止坐标系上以定、转子电流和转速为状态变量 的状态方程,将两相静止坐标系上的磁链方程式（10-106）代入式（10-105）的电压方程，并写成矩阵形式，有,（10-113）,式中,（10-114）,（10-115）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,则运动方程可以写为,（10-116）,不难证明，式（10-108）的转矩公式可以用电流向量i和旋转电感矩阵G表达，有,（10-117）,（10-118）,由式（10-113）和式（10-118），得到以定、转子电流和转速为状态变量的状态方程为,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,式中,（10-119）,或写成,（10-120）,（10-121）,（10-122）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,2两相任意旋转坐标系上以定子电流、转子磁链和转速为状态变量的状态方程,不计零序分量时，感应电机在两相任意旋转坐标系上的电压方程和磁链方程为,（10-123）,（10-124）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,为得到以定子电流isd、isq和转子磁链rd、rq表达的状态方程，须消去式（10-123）中的转子电流ird、irq和定子磁链sd、sq。由式（10-124）第3、4行可得,将上式代入式（10-124）第1、2行，可得,（10-125）,（10-126）,式中，为电机的漏磁系数,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,将式（10-125）代入式（10-104），可得用定子电流和转子磁链表达的转矩公式为,将式（10-125）和式（10-126）代入式（10-123），再将式（10-127）代入运动方程式（10-23），经整理后的状态方程为,（10-127）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,在式（10-128）中，若将dqs换成两相同步旋转坐标系的转速1，则上述方程就成为两相同步坐标系中的状态方程。,（10-128）,第三节 两相坐标系中感应电机的动态数学模型,在式（10-128）中，若将dqs=0，则两相任意旋转坐标系退化为两相静止坐标系，将各量的下标d、q换成、，则两相静止坐标系中的状态方程为,（10-129）,第四节 三相感应电动机起动过程的动态分析,在起动过程中，三相感应电动机的转速在短时间内大范围变化，不论在三相坐标系还是两相坐标系中其动态方程都是非线性的，一般须用数值法和计算机求解。用数值法求解感应电动机的起动性能时，可以采用三相坐标系中的状态方程，也可以采用两相坐标系中的状态方程。在本节中，作为例子给出了一个用MATLAB语言编写的基于三相坐标系状态方程的感应电动机起动过程动态计算程序。起动过程中定子A相电流iA（t）、转速和转矩随时间的变化曲线n（t）和Te（t）、起动过程中的转矩-转速曲线Te=f（n）如图10-10所示。,第四节 三相感应电动机起动过程的动态分析,由图10-10可见，在电机投入电网的最初阶段，转矩是振荡性的，相应地转速也随着波动，该振荡随着时间的推移逐步衰减。因此起动过程中的动态转矩-转速曲线与稳态T-s曲线存在明显不同。此外，通过进一步的仿真计算发现，对于大型感应电动机，在起动过程后期转子的转速可能会超过同步转速，经过一段衰减振荡才最后达到稳态运行点。对于实例中的2.2kW电机，图10-10的仿真结果是在假定电机为理想空载（负载转矩和旋转阻力系数都为零）的情况下得到的，因此在图10-10 b和d中也出现了转速超过同步速的情况，但振荡现象不明显。对于这种小型电机，只要略加负载，起动过程一般就不会出现转速超过同步速的振荡现象，读者可利用上述动态计算程序对此进行验证。,第五节 感应电动机的矢量控制,概述一、矢量控制的基本概念二、按转子磁场定向的感应电动机矢量控制原理三、转子磁链计算模型四、感应电动机矢量控制系统,第五节 感应电动机的矢量控制概述,感应电机的稳态分析中介绍了感应电动机的调速，感应电动机调速方法较多，变压、变极、变频以及绕线式感应电动机转子回路串电阻或串入附加电动势（串级调速或双馈调速）都可以调节电机的转速。但多年来的研究和实践表明，变频调速是感应电动机最理想的调速方法。基于感应电动机稳态模型的恒压频比控制或电压-频率协调控制，虽能在一定转速范围内实现高效率的平滑调速，从而满足一般生产机械对调速系统的要求，但由于电机内在的耦合效应，系统动态响应缓慢，对于需要高动态性能的应用场合，就不能满足要求。要实现高动态性能的调速系统或伺服系统，必须依据感应电机的动态数学模型来设计控制系统。在各种基于动态数学模型的交流调速方法中，目前应用最广泛的是矢量控制。,一、矢量控制的基本概念,一、矢量控制的基本概念 前面直流调速部分曾讲过，对动态过程中的转矩控制是决定动态性能的关键，转矩控制是运动控制的根本问题。采用电压-频率协调控制的感应电动机变频调速系统，由于内部存在复杂的耦合关系，无法对感应电机的动态转矩进行有效控制，因此就动态性能而言与直流调速系统相比存在明显差距。直流电动机的转矩控制 我们知道，在他励直流电动机中，电磁转矩,一、矢量控制的基本概念,式中，磁通由励磁电流if产生，若电刷置于几何中性线上，则电枢电流ia产生的电枢反应磁场与励磁电流产生的主磁场在空间相互垂直，当磁路为线性时，磁通和电枢电流ia可分别由励磁回路和电枢回路独立地进行控制，当保持磁通恒定时，通过对电枢电流ia的控制，就可以实现对动态转矩的控制，从而决定了他励直流电动机具有优良的动态性能。,感应电动机的转矩控制 而感应电动机的情况却要复杂得多，感应电动机的电磁转矩可用气隙合成磁场的磁通量m和转子电流的有功分量来表示,（10-130）,一、矢量控制的基本概念,可见，电磁转矩Te除了与m、I2有关之外，还与转子回路的功率因数角2有关，而且这几个量都与转子频率f2（=sf1）有关，是相互影响的。,此外，感应电动机的转子绕组通常是短路的，转子电流I2不能直接控制，而且感应电动机没有独立的励磁绕组，其气隙磁通m是由定子电流中的励磁分量产生的，而定子电流中的负载分量与转子电流I2相平衡，也就是说在感应电机中建立磁场的无功分量与产生转矩的有功分量都是由定子绕组提供的，两者纠缠在一起，且均与负载有关，存在强耦合，因此要在动态过程中准确地控制感应电动机的电磁转矩就显得十分困难。20世纪70年代初德国学者Blaschke等提出的矢量控制理论为解决这一问题提供了一套行之有效的方法。,一、矢量控制的基本概念,矢量控