空间向量及其运算课件.pptx

,.空间向量及其运算,.空间向量及其加减运算,第一课时,平面向量运算,（1）向量的加法:平行四边形法则,三角形法则（2）向量的减法,1、相关概念:向量,模,零向量,单位向量,相等（反）向量,共线向量,复习,请你根据下列提示复习平面向量相关知识,+,+,(3)实数与向量的积的运算律：,3.平面向量坐标运算,（4）向量的数量积,已知非零向量,它们的夹角是,则数量 cos 叫做与的数量积(或内积)记作,即有=cos,=+,(2)设=(,)，b=(,)则+=,一个质量分布均匀的正三角形钢板，重量为500N,在它的三个顶点处同时受力，每个力与它相邻的三角形两边之间的夹角都是60度，且大小均为200N，问钢板将如何运动？,500N,从建筑物上找向量的影子,在空间里既有大小又有方向的量叫做空间向量。向量的大小叫向量的模,什么是空间向量？,问题,问题,空间向量怎样表示？什么是向量的模？,空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模,零向量：长度为的向量叫零向量,单位向量：长度为的向量叫零向量,相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量,相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相反向量,问题,阅读教材P85内容，怎样定义空间向量的加法与减法？,空间向量,可以平移到同一平面内，其加减法与平面向量的加减法一样.,+,+,O,A,B,C,空间向量加法交换律：,空间向量的加法是否满足交换律？,问题,+,O,A,B,C,O,A,B,C,(空间向量),空间向量的加法是否满足结合律？,=,+,+,+,+(+),+,+(+),问题,如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，分别标出+，+表示的向量，从中你能体会向量加法运算的交换律与结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？(课本P85探究),课堂练习,课本、,.空间向量的数乘运算,第二、三课时,问题,什么是空间向量的数乘？,实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘.当时，与向量方向相同；当时，与向量方向相反;的长度是的长度的 倍.,(),(),问题,空间向量的数乘仍满足分配律与结合律吗?,分配律:+=+结合律：=,问题,什么是共线向量(平行向量)？,如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫共线向量或平行向量,对于空间任意两个向量与,如果=,与有什么位置关系?反过来,与有什么位置关系时,=?,类似于平面向量共线的充要条件：对于空间向量,(),/的充要条件是存在实数,使=.,问题,什么是直线的方向向量？,与直线平行的向量叫直线的方向向量,问题,类似于平面上点在直线上的充要条件，想一想空间中点在直线上的充要条件是什么？,为经过已知点且平行于非零向量的直线，对于空间中任意一点，点在直线上的充要条件是：存在实数，使=+(是直线的方向向量),问题,空间中三点、共线的充要条件是什么？,空间中三点、共线的充要条件是:存在实数，使=+,问题,什么是共面向量？,平行于同一平面(或在同一平面内)的向量叫共面向量,问题,空间中任意两个向量是否是共面向量？任意三个向量共面的充要条件是什么呢？,对空间任意两个不共线的向量,，如果=+，那么向量与向量,有什么位置关系？反过来，向量与向量,有什么位置关系时，=+？,如果两个向量,不共线,那么向量与,共线的充要条件是:存在惟一的有序实数对(,),使=+,问题,空间一点位于平面内的充要条件是什么？,空间一点位于平面内的充要条件是:存在有序实数对(,),使=+；或对空间任意一点，有=+,问题,利用向量如何判定三点共线？,三点、共线的充要条件是:存在实数、，使=+(+=),问题,利用空间一点位于平面内的充要条件可得点P与点A、B、C共面,已知空间任意一点和不共线的三点，满足向量关系式=+(其中+=)的点与点、是否共面？,四点,，共面的充要条件是:空间任意一点，存在实数,使=+(其中+=),知识点1,向量的概念,例1,给出下列命题:若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;若空间向量,满足=,则=;在正方体 中,有=;若空间向量,满足=,=,则=;空间中任意两个单位向量必相等.其中真命题的个数为（）.(点金训练P57例1),知识点2,向量的加减运算和数乘运算,例2,如图，在平行六面体 中，分所成的比为:,分 所成的比为：，设=，=，=，试将表示成,的关系式.(点金训练P58例),知识点3,共线向量和共面向量,例3,设四面体的三条棱=，=，=,求四面体其它各棱以及面面上的向量和，其中为的中点，是的重心.(点金训练P59例),变式,已知,三点共线,为空间任意一点,=+,求+的值.(点金训练P59例的变式),例4,已知平行四边形,过平面外一点作射线,在四条射线上分别取点,并且使=,求证:(1),四点共面;(2)平面/平面,变式,已知,为空间中的9个点(如图),并且=,=，=，求证:(),四点共面,四点共面.()/()=,课堂练习,课本、,.空间向量的数量积运算(),第四课时,问题,什么是空间向量的夹角？,已知两个非零向量,，在空间任取一点，作=，=，则叫向量,的夹角，记作：,范围：,=,如果=，那么向量与互相垂直,记作:,问题,什么是向量的数量积？,已知两个非零向量,则 cos 叫做与的数量积,记作:即=cos,零向量与任何向量的数量积为零.,问题,类比平面向量,你能说出的几何意义吗？,问题,空间向量的数量积还满足平面向量的数量积的运算律吗？,=()=(交换律)+=+(分配律),问题,对于三个均不为的数,若=,则=.对于向量,由=,能得到=吗？如果不能,请举出反例.,不能，如：非零向量,满足,时，=,对于三个均不为的数,若=,则=(或=).对于向量,由=,能不能写成=(或=)吗？也即是说，向量有除法吗？,问题,不能，向量没有除法,问题,对于三个均不为的数,若=(),对于向量,=(）成立吗？向量的数量积满足结合律吗？,不成立，即向量不可以连乘，向量的数量积不满足结合律.例如:任取三个不共线的向量,是一个数与向量作数乘,是一个数与向量作数乘,而,不在同一方向上,所以 与 不等.,知识点1,利用空间向量的数量积证明垂直,例1,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.,三垂线定理,已知:如图,分别是平面的垂线,是在平面内的射影,且,求证:(课本P91例2),在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射影垂直.,三垂线定理的逆定理,问题,你可以几何方法证明吗？,例2,如图,是平面内的两条相交直线,如果,求证:,直线与平面垂直的判定定理,课堂练习,课本 练习、,.空间向量的数量积运算(),第五课时,知识点1,利用空间向量的数量积证明垂直,例3,已知空间四边形中,=,且=,分别是,的中点,是的中点,求证:(点金训练P63例1),知识点2,求长度(或距离),例4,已知线段在平面内,线段,线段,且与所成的角是,如果=,=,求C、D间的距离(点金训练P63例2),例5,已知平行四边形中，=，=，=,平面,并且PA=6,求的长(点金训练例的变式),知识点3,利用空间向量求空间角,例6,如图,在空间四边形中,=,=,=,=,=,=,求与夹角的余弦值.,变式,在棱长为的正方体 中，求 与所成角的余弦值.,作业,点金训练 习题,第六课时.空间向量的 正交分解及其坐标表示(),问题,平面向量的任意一个向量都可以用两个不共线的向量,来表示(平面向量的基本定理:存在一对实数,使=+),对于空间向量是否也有类似的结论呢？,设是空间三个两两垂直的向量,，且有公共顶点.对于任意一个向量,=+=+故=+,如果,是空间三个两两垂直的向量，那么对于空间中任一向量，存在一个有序实数组,，使得=+称,为向量在,轴上的分向量.,在空间中，如果用任意三个不共面的向量,代替两两垂直的向量,，你能得出类似的结论吗？,空间向量的基本定理,如果三个向量,不共面，那么对于空间中任一向量，存在有序实数组,，使得=+,问题,构成空间的基底应具备什么条件？,三个向量不共面,叫空间的一个基底，,都叫基向量,问题,阅读教材P90-91的内容，什么叫正交基底？什么是空间向量的坐标？,设,是公共起点的三个两两垂直的单位向量(称为正交基底),以,是公共起点为坐标原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向建立直角坐标系,对于任意一个向量,一组定存在有序实数,使=+把,称为向量在单位正交基底,下的坐标，记作：=(,),知识点1,空间向量基本定理及其应用,例1,如图,分别是四面体的边,的中点,是的三等分点.用向量,表示和.(课本例),作业,课本练习、,第七课时.空间向量的 正交分解及其坐标表示(),知识点1,空间向量基本定理及其应用,例,设=+,=+,=+,且,是空间的一个基底,给出下列向量组,其中可以作为空间的基底的向量组有.个.个.个.个(点金训练例),变式,下列命题中，正确的是().空间中的任何一个向量都可以用其他三个向量表示.若,是空间的一组基底,则+,+,+构成空间向量的另一组基底.为直角三角形的充要条件是=.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.(点金训练例的变式),例,已知正方体 中,点E是上底面 的中心,求下列各式中,的值(1)=+(2)=+(点金训练例),变式,已知长方体 中,点、分别是上底面 和 的中心,求下列各式中,的值(1)=+(2)=+(3)=+(点金训练例的变式),知识点2,单位正交基底与空间直角坐标系,已知 是棱长为的正方体中,点、分别是、的中点,建立空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标及向量，的坐标(点金训练例),例,变式,已知垂直于正方形所在平面，、分别，是的中点，并且=，求，的坐标.(点金训练例的变式),例,知识点3,空间向量的坐标表示,已知,且向量与向量关于坐标平面对称.向量与向量关于轴对称.求向量和.(点金训练例),作业,点金训练 习题,第八课时.空间向量运算的坐标表示,问题,空间向量的坐标表示如何表示？,空间向量=(,.),问题,你能类比平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示，推导一下空间向量的向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示吗？,设=,=,则+=+,+,+=,=,=,问题,你能类比平面向量运算的坐标表示，推导一下空间向量的向量平行、垂直条件的坐标表示吗？空间向量的模长、向量的夹角、两点间的距离如何计算？,/=,=,=+=cos=+,已知(,),(,),，则，两点间的距离=()+()+(),知识点1,向量运算的坐标表示,例1,(,),(1)与=(,)向量共线且满足方程=的向量是_,()设=(,),求同时满足下列条件的向量:=;在平面上,例,已知(,),(,),求点的坐标，使=()=(),知识点2,利用向量的坐标证明平行与垂直,例,已知正方体 中，、分别是、的中点,求证：(课本例),知识点3,利用向量的坐标运算求夹角与距离,例,已知棱长为的正方体 中，、分别是、的中点,在棱上，且=，为 的中点，应用空间向量法解下列问题：(1)判断与 的位置关系(2)求与 所成角的余弦值(3)求的长(点金训练例),练习,课本练习、,