典型时间函数拉普拉斯变换资料课件.ppt

典型时间函数拉普拉斯变换,拉普拉斯变换 系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。,2.数学模型与传递函数,频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。,复数和复变函数 复数的概念 复数 s=+j（有一个实部 和一个虚部，和 均为实数）两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。一个复数为零：当且仅当它的实部和虚部同时为零。,2.2 拉普拉斯变换,称为虚数单位,复数的表示法 对于复数 s=+j 复平面：以 为横坐标(实轴)、为纵坐标(虚轴)所构成的平面称为复平面或s平面。复数 s=+j 可在复平面s中用点(,)表示：一个复数对应于复平面上的一个点。,2.2.1 复数和复变函数,复数的向量表示法 复数 s=+j 可以用从原点指向点(,)的向量表示。向量的长度称为复数的模：,2.2.1 复数和复变函数,向量与 轴的夹角 称为复数s的复角：,复数的三角函数表示法与指数表示法 根据复平面的图示可得：=r cos，=r sin 复数的三角函数表示法：s=r(cos+j sin),2.2.1 复数和复变函数,欧拉公式：,复数的指数表示法：,复变函数、极点与零点的概念 以复数s=+j为自变量构成的函数G(s)称为复变函数：G(s)=u+jv式中：u、v 分别为复变函数的实部和虚部。,2.2.1 复数和复变函数,当s=-zi时，G(s)=0，则si=-zi称为G(s)的 零点；,通常，在线性控制系统中，复变函数G(s)是复数s的单值函数。即：对应于s的一个给定值，G(s)就有一个唯一确定的值与之相对应。,当复变函数表示成,(b)当s=-pj时，G(s)，则sj=-pj称为G(s)的 极点。,例：当s=+j时，求复变函数G(s)=s2+1的实部u和虚部v。,2.2.1 复数和复变函数,复变函数的实部,复变函数的虚部,解：G(s)s2+1(+j)2+1 2+j(2)-2+1(2-2+1)+j(2),拉普拉斯变换的定义 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量s的乘积，将时间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。,2.2 拉普拉斯变换,复变量,原函数,象函数,拉氏变换符号,拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数 F(s)。,设有时间函数 f(t)，当 t 0 时，f(t)0；在 t0时定义函数 f(t)的拉普拉斯变换为：,拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：当t0时，f(t)分段连续，只有有限个间断点；当t 时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即,2.2.2 拉普拉斯变换的定义,在复平面上，对于Res a的所有复数s(Res表示s的实部)都使积分式绝对收敛，故Res a是拉普拉斯变换的定义域，a称为收敛坐标。,式中：M、a为实常数。,典型时间函数的拉普拉斯变换(1)单位阶跃函数 单位阶跃函数定义：,2.2 拉普拉斯变换,(2)单位脉冲函数 单位脉冲函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,且：,(3)单位速度函数（单位斜坡函数）单位速度函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,(4)指数函数 指数函数表达式：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,式中：a是常数。,(5)正弦信号函数 正弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，正弦函数表达为：,(6)余弦信号函数 余弦信号函数定义：,2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,由欧拉公式，余弦函数表达为：,拉普拉斯变换简表(待续),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续1),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续2),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续3),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续4),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换简表(续5),2.2.3 典型时间函数的拉普拉斯变换,