二次函数（上下左右平移）课件.ppt

二次函数的图像及性质,二次函数y=ax2+k图象和性质,1、二次函数 y=2x、的图象与二次函数 y=x 的图象,a0,课前复习:,a0,1二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，函数y2x2当x_时，y有最_值，其最_值是_。,课前复习:,二次函数y=ax2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点坐标是原点（0，0）,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,二次函数的图像,例2.在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 1的图像,解:先列表,然后描点画 图,得到y=x21,y=x21的图像.,(1)抛物线y=x2+1,y=x21的开口方向、对称轴、顶点各是什么?(2)抛物线y=x2+1,y=x21与抛物线y=x2有什么关系?,讨论,抛物线y=x2+1:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,抛物线y=x21:,开口向上,顶点为(0,1).,对称轴是y轴,y=x2+1,y=x21,二次函数的图像,抛物线y=x2+1,y=x21与抛物线y=x2的关系:,y=x2+1,抛物线y=x2,抛物线 y=x21,向上平移1个单位,把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢?,抛物线y=x2,向下平移1个单位,思考,(1)得到抛物线y=2x2+6,(2)得到抛物线y=2x22.4,y=x21,y=x2,抛物线 y=x2+1,归纳,一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:,(1)当a0时,开口向上;,当a0时,开口向下;,(2)对称轴是y轴;,(3)顶点是(0,k).,抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.,(k0,向上平移;k0向下平移.),二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,二、通过以上的学习,相信你一定能回答下面的问题,3)二次函数y=ax2+1的图象向下平移2个单位后经过点M（3，4），则a=.,4.已知抛物线y=2x21上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1x20，则y1 y2(填“”或“”,（1）抛物线y=2x2+3的顶点坐标是,对称轴是，在_ 侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x=_ 时，函数y的值最大，最大值是,它是由抛物线y=2x2线怎样平移得到的_.,练习,（2）抛物线 y=x-5 的顶点坐标是_，对称轴是_,在对称轴的左侧，y随着x的；在对称轴的右侧，y随着x的，当x=_时，函数y的值最_，最小值是.,1、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=ax2+c经过点（-3，2）（0，-1）,求该抛物线线的解析式。,（2）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。,（3）对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3，且经过（1，2）的点的解析式，,做一做：,2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（）,二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,小结,第二课,二次函数y=ax2与y=ax2+c的图象有什么关系？,二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象当c 0 时 向上平移c个单位得到.当c 0 时 向下平移-c个单位得到.,函数,y=ax2+c,y=ax2,开口方向,a0时,向上,a0时,向下,对称轴,y轴,y轴,顶点坐标,（0,0）,（0,c）,a0时,向上,a0时,向下,上加下减,课前复习,1、完成下表,函数y=3(x-1)的图像是什么?它与y=3x的图像有什么关系？,比较y=3x和y=3(x-1)的值,它们之间有什么关系?,y=3(x-1)的值比y=3x的值落后,想一想,在下列平面直角坐标系中，做出y=（3x-1）的图像,2、观察图象,回答问题,(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?,把y=3x的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)的图像,一起探索,图象是轴对称图形对称轴是平行于y轴的直线:x=1.,顶点坐标是点(1,0).,(2)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么共同点？其对称轴和顶点坐标分别是什么?,合作交流,合作交流,猜一猜,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图象,会在什么位置?,列表看一看,我能行,y=3(x-1)的值比y=3x的值落后，y=3(x+1)的值比y=3x的值提前。,画图看一看,把y=3x的图像沿轴向右平移1个单位就得到y=3(x-1)的图像,把y=3x的图像沿轴向左平移1个单位就得到y=3(x+1)的图像,猜一猜,函数y=-3(x-1),y=-3(x+1)2和y=-3x的图象的位置和形状.,理由是：它们分别和y=3x,y=3(x-1),y=3(x+1)互为相反数,二次函数y=a(x-h)2的性质,抛物线,顶点坐标,对称轴,开口方向,y随x变化规律,最值,y=a(x-h)2(a0),y=a(x-h)2(a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,向上,向下,当x=h时,最小值为0.,当x=h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,归纳与总结,二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的关系,二次函数y=a(x-h)2的图象可以看作是抛物线y=ax2先沿着x轴向右平移后得到的当h 0 时 向右平移h个单位得到.,左加右减,在同一坐标系中作出函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象,它们之间有何关系.？,1、完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它们之间有何关系?,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的图象和抛物线y=3x,y=3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1上平移2个单位后得到的,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,-2).,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.,想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.,顶点分别是(1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下,当x=1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).,y,X=1,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,合理推测,函数y=3(x-1)+1的图像有什么特点？,函数y=-3(x+1)+1的图像呢？,图像是,抛物线,顶点是,（1.1）,对称轴,直线x=1,开口方向,向上,理由是,y=3(x-1)+1的图像可以看成是y=3(x-1)平移得到的,1.,2.,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,(2)都是轴对称图形.,(3)都有最(大或小)值.,(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小.,(2)对称轴不同:分别是直线x=-h和y轴.,3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以由y=ax的图象平移得到。,(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).,只是位置不同,(1)顶点不同:分别是(-h,k)和(0,0).,(3)最值不同:分别是k和0.,x轴,|h|,对称轴,先 沿 整体向左(右)平移 个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,知识小结,相同点:,不同点:,1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _ 移 个单位.2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为_.3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（-m,n）_（在，不在）y=ax2+a的图象上.4.若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_,例题讲解,下,1,y=-3x2-2,在,0.5,例：画出函数 的图像,x,y=-1/2(x+1)2,.,.,.,.,.,.,0,-3,-2,-1,2,3,1,y=-1/2(x-1)2,-2,-0.5,0,-0.5,-2,-4.5,-4.5,-2,-0.5,0,-0.5,-2,x=-1,x=1,想一想：三条抛物线有什么关系？,答：形状相同，位置不同。三个图象之间通过沿x轴平移可重合。,小 结,向上,向上,向下,向下,Y轴,X=-h,Y轴,X=h,（0，0）,（h，0）,（0，0）,（-h，0）,26二次函数y=a(x+m)2+k的图像,y=ax2,y=a(x-h)2,y=ax2+c,y=ax2,c0,c0,上移,下移,左 加,右 减,说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。,顶点x轴上:(h,0),顶点y轴上:(0,c),问题:顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？,1把二次函数y=6(x+3)2的图像，沿y 轴向下平移2个单位，向左平移个单位，得到_的图像.2把二次函数_的图像，沿x 轴向右平移2个单位，沿y 轴向下平移3个单位，得到y=6(x-3)2+5的图像.3把二次函数y=6(x-3)2+5的图像，沿x 轴_平移_个单位，再沿y 轴向_平移_个单位，图像过原点.,自测：,例题,例3.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、,解:列表,描点、连线,-5.5,-3,-1.5,-1,-1.5,-3,-5.5,直线x=1,抛物线 的开口方向、对称轴、顶点?,抛物线 的开口向下,对称轴是直线x=1,顶点是(1,1).,向左平移1个单位,向下平移1个单位,向左平移1个单位,向下平移1个单位,平移方法1:,平移方法2:,二次函数图像平移,x=1,(2)抛物线 与 有什么关系?,归纳,一般地,抛物线y=a(xh)2k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x h)2k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.,向左(右)平移|h|个单位,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2,y=a(xh)2,y=a(xh)2+k,y=ax2,y=a(xh)2+k,向上(下)平移|k|个单位,y=ax2+k,向左(右)平移|h|个单位,平移方法:,抛物线y=a(xh)2+k有如下特点:,(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向上;,(2)对称轴是直线x=h;,(3)顶点是(h,k).,练习,向上,(1,2),向下,向下,(3,7),(2,6),向上,直线x=3,直线x=1,直线x=3,直线x=2,(3,5),y=3(x1)22,y=4(x3)27,y=5(2x)26,1.完成下列表格:,2.请回答抛物线y=4(x3)27由抛物线y=4x2怎样平移得到?,3.抛物线y=4(x3)27能够由抛物线y=4x2平移得到吗?,y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,上下平移,左右平移,上下平移,左右平移,结论:抛物线 y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同。,各种形式的二次函数的关系,如何平移：,1.函数y=x2-1的图象，可由y=x2的图象向平 _ 移 个单位.2.把函数y=3x2+2的图象沿x轴对折，得到的图 象的函数解析式为_.3.已知（m,n)在y=ax2+a的图象上，（-m,n）_（在，不在）y=ax2+a的图象上.4.若y=x2+（2k-1）的顶点位于x轴上方，则K_,例题讲解,下,1,y=-3x2-2,在,0.5,1.一次函数y=ax+b与y=ax2-b在同一坐标系中的大致图象是（）,思维与拓展,y,x,0,x,0,x,0,x,x,y,y,y,B.,A.,C.,D.,B,2.函数y=ax2+a与y=（a0)在同一坐标系中 的大致图象是（）,思维与拓展,y,A.,C.,D.,D.,思维与拓展,.,3.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为,y=2(x+1)2-8,4.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.,逆向思考,由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.,练习,y=2（x+3）2-2,画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？,y=2（x-3）2+3,y=2（x-2）2-1,y=3（x+1）2+1,练习1,在平面直角坐标系xoy中画出 二次函数y=(x6)2+3的图像；此图象与x轴、y轴交点坐标各是多少？根据图像，说出x取哪些值，函数值y=0？y0？y0？,例题2,已知抛物线，将这条抛物线平移，当它的顶点移到点M（2，4）的位置时，所得新抛物线的表达式是什么？,练习2 与二次函数y=2(x+3)21的图像形状相同，方向相反，且过点（-2，0）,(-3,-10)的是函数_的图像.,例3,抛物线y=x2+mx-n的对称轴为x=3，且过点（0，4）求m、n的值练习3抛物线 向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值,拓展：求解析式,1、已知二次函数的图像的对称轴是直线x=4，在y轴上的截距为6，且过点（2，0）求它的解析式。2、在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像与一次函数y=kx+m的图像交于点（3，13），若一次函数的图像在y轴上截距是1，当x=1时二次函数的最小值是5，求这两个函数的解析式。,3、已知二次函数的图像经过点（1，9）和（2，4）且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数。4、如图所示的抛物线是把y=-x2经过平移而得到的，这时抛物线经过原点O和X轴正方向上一点A，顶点为P，当OPA=90时，求抛物线的顶点P的坐标及解析式,5、已知A为抛物线 的顶点，B为抛物线与y轴的交点。C为X轴上一点，设线段BC，AC，AB的长度分别为a，b，c当a+c=2b时求经过B、C两点直线的解析式。,例题,C(3,0),B(1，3),例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?,A,解:如图建立直角坐标系,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.,因此可设这段抛物线对应的函数是,这段抛物线经过点(3,0),0=a(31)23,解得:,因此抛物线的解析式为:,y=a(x1)23(0 x3),当x=0时,y=2.25,答:水管长应为2.25m.,