九年级数学下册28.1 《锐角三角函数》课件.ppt

,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第1课时 正弦函数,新课标人教版九年级数学下册,1.理解并掌握锐角正弦的定义，知道当直角三角形 的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变).(重点)2.能根据正弦概念正确进行计算.(重点、难点),为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚(A)为 30，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？,情境引入,导入新课,讲授新课,从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？,A,B,C,35m,?,合作探究,如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=35 m，求AB.,根据“在直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”.即可得 AB=2BC=70(m).也就是说，需要准备 70 m 长的水管.,在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.,归纳：,RtABC 中，如果C=90，A=45，那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？,因为A=45，则AC=BC，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2.,思考：,所以,因此,在直角三角形中，如果一个锐角等于45，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于.,归纳：,任意画 RtABC 和 RtABC，使得CC90，AA，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？,A,B,C,A,B,C,因为CC90，AA，所以RtABC RtABC.所以,这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，A 的对边与斜边的比也是一个固定值,如图，在 RtABC 中，C90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作 sin A 即,例如，当A30时，我们有,当A45时，我们有,归纳：,例1 如图，在 RtABC 中，C=90，求 sinA 和sinB 的值.,典例精析,解：如图，在 RtABC 中，由勾股定理得,因此,如图，在RtABC中，由勾股定理得,因此,sinA=(),sinA=(),1.判断对错,练一练,sinB=(),sinA=0.6 m(),sinB=0.8 m(),2.在 RtABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值()A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定,C,例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 的正弦值.,解：如图，设点 A(3，0)，连接 PA.,A(0，3),在RtAPO中，由勾股定理得,因此,方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.,如图，已知点 P 的坐标是(a，b)，则 sin 等于(),A.B.C.D.,练一练,D,例3 如图，在 RtABC 中，C=90，BC=3，求 sinB 及 RtABC 的面积.,提示：已知 sinA 及A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长.然后再利用勾股定理，求出 BC 的长度，进而求出 sinB 及 RtABC 的面积.,解：,AB=3BC=33=9.,在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，AB=c，则,BC=ck，,AC=ch.,在 RtABC 中，C=90，sinA=k，sinB=h，BC=a，则,AB=,AC=,归纳：,1.在RtABC中，C=90，sinA=，BC=6，则 AB 的长为(),D,A.4 B.6 C.8 D.10,2.在ABC中，C=90，如果 sinA=，AB=6，那么BC=_.,2,练一练,例4 在 ABC 中，C=90，AC=24cm，sinA=，求这个三角形的周长,解：设BC=7x，则AB=25x，在 RtABC中，由勾 股定理得,即 24x=24cm，解得 x=1 cm.,故 BC=7x=7 cm，AB=25x=25 cm.,所以 ABC 的周长为 AB+BC+AC=7+24+25=56(cm).,方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般需结合方程思想和勾股定理，解决问题.,当堂练习,1.在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值()A.扩大 2 倍 B.不变 C.缩小 D.无法确定,B,2.如图，sinA的值为(),A.B.C.D.,C,3.在 RtABC 中，C=90，若 sinA=，则 A=，B=.,45,45,4.如图，在正方形网格中有 ABC，则 sinABC 的值为.,解析：AB，BC，AC，AB2 BC2AC2，ACB90，sinABC,5.如图，点 D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在 A 上，BD是 A 的一条弦，则 sinOBD=_.,解析：连接 CD，可得出 OBD=OCD，根据点 D(0，3)，C(4，0)，得 OD=3，OC=4，由勾股定理得出 CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sinOCD 即可,A,C,B,D,6.如图，在 ABC 中，AB=BC=5，sinA=，求 ABC 的面积.,D,解：作BDAC于点D，sinA=，,又 ABC 为等腰，BDAC，AC=2AD=6，SABC=ACBD2=12.,7.如图，在 ABC 中，ACB=90，CDAB.(1)sinB 可以由哪两条线段之比表示?,解：A=A，ADC=ACB=90，ACD ABC，ACD=B，,(2)若 AC=5，CD=3，求 sinB 的值.,解：由题(1)知,课堂小结,正弦函数,正弦函数的概念,正弦函数的应用,已知边长求正弦值,已知正弦值求边长,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第2课时 余弦函数和正切函数,新课标人教版九年级数学下册,1.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函 数的概念.(重点)2.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.(重点、难 点),导入新课,问题引入,如图，在 RtABC 中，C90，当锐角 A 确定时，A的对边与斜边的比就随之确定.,此时，其他边之间的比是否也确定了呢？,讲授新课,合作探究,如图，ABC 和 DEF 都是直角三角形，其中A=D，C=F=90，则成立吗？为什么？,我们来试着证明前面的问题：,从而 sinB=sinE，,因此,在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关,如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即,归纳：,斜边,邻边,从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有 cos=sin(90)从而有 sin=cos(90),练一练,1.在 RtABC 中，C90，AB13，AC12，则cosA.,2.求 cos30，cos60，cos45的值,解：cos30=sin(9030)=sin60=；,cos60=sin(9060)=sin30=,cos45=sin(9045)=sin45=,合作探究,如图，ABC 和 DEF 都是直角三角形，其中A=D，C=F=90，则成立吗？为什么？,RtABC RtDEF.,即 BC DF=AC EF，,由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关,如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 A 的正切，记作 tanA，即,归纳：,A的正弦、余弦、正切都是A 的三角函数.,如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？,想一想：,1.如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为(3，4)，则 tan POQ=_.,练一练,2.如图，ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=_.,例1 如图，在 RtABC 中，C=90，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.,解：由勾股定理得,因此,典例精析,1.在RtABC中，C=90，AC=12，AB=13.sinA=_，cosA=_，tanA=_，sinB=_，cosB=_，tanB=_.,练一练,2.在RtABC中，C90，AC=2，BC=3.sinA=_，cosA=_，tanA=_，sinB=_，cosB=_，tanB=_.,例2 如图，在 RtABC中，C=90，BC=6，sinA=，求 cosA、tanB 的值,解：,又,解：,如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，tanA=，求sinA，cosB 的值,练一练,1.如图，在 RtABC 中，斜边 AB 的长为 m，A=35，则直角边 BC 的长是(),A.,B.,C.,D.,A,当堂练习,2.随着锐角 的增大，cos 的值()A.增大 B.减小 C.不变 D.不确定,B,3.已知 A，B 为锐角，(1)若A=B，则 cosA cosB；(2)若 tanA=tanB，则A B.(3)若 tanA tanB=1，则 A 与 B 的关系为：.,=,=,4.tan30=，tan60=.,A+B=90,5.sin70，cos70，tan70的大小关系是()A.tan70cos70sin70 B.cos70tan70sin70 C.sin70cos70tan70 D.cos70sin70tan70,解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin701，cos701，tan701.又cos70sin20，正弦值随着角的增大而增大，sin70cos70sin20.故选D.,D,6.如图，在 RtABC 中，C=90，cosA=，求 sinA、tanA 的值,解：,设 AC=15k，则 AB=17k.,7.如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D.若 AD=6，CD=8.求 tanB 的值.,解:ACB ADC=90，,B+A=90，ACD+A=90，,B=ACD，,tanB=tanACD=,8.如图，在ABC中，AB=AC=4，BC=6.求cosB 及 tanB 的值.,解：过点 A 作 ADBC 于 D.,AB=AC，,BD=CD=3，,在 RtABD 中,tanB=,D,提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形.,课堂小结,余弦函数和正切函数,在直角三角形中，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做角 A 的余弦,A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关,在直角三角形中，锐角 A 的对边与邻边的比叫做角 A 的正切,余弦,正切,性质,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第3课时 特殊角的三角函数值,新课标人教版九年级数学下册,1.运用三角函数的知识，自主探索，推导出30、45、60角的三角函数值.(重点)2.熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加 以运用.(难点),导入新课,复习引入,sin A=,cos A=,tan A=,1.对于sin与tan，角度越大，函数值越；对于cos，角度越大，函数值越.,2.互余的两角之间的三角函数关系：若A+B=90，则sinA cosB，cosA sinB，tanA tanB=.,大,小,=,=,1,讲授新课,两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值,30,60,45,45,合作探究,设30所对的直角边长为a，那么斜边长为2a，,另一条直角边长=,设两条直角边长为 a，则斜边长=,30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：,归纳：,1,例1 求下列各式的值：,提示：cos260表示(cos60)2，即(cos60)(cos60).,解：cos260+sin260,典例精析,(1)cos260+sin260；,(2),解：,练一练,计算：(1)sin30+cos45；,解：原式=,(2)sin230+cos230tan45.,解：原式=,解：在图中，,例2(1)如图，在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求 A 的度数；,A=45.,解：在图中，,=60.,tan=，,(2)如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO=OB，求 的度数.,求满足下列条件的锐角.,练一练,(1)2sin=0；(2)tan1=0.,解：(1)sin=，,=60.,(2)tan=1，=45.,例3 已知 ABC 中的 A 与 B 满足(1tanA)2|sinB|0，试判断 ABC 的形状,解：(1tanA)2|sinB|0，,tanA1，sinB A45，B60，C180456075，ABC 是锐角三角形,练一练,解：|tanB|(2 sinA)2 0，,tanB，sinA B60，A60.,1.已知：|tanB|(2 sinA)2 0，求A，B的度数.,2.已知 为锐角，且 tan 是方程 x2+2x 3=0 的一 个根，求 2 sin2+cos2 tan(+15)的值,解：解方程 x2+2x 3=0，得 x1=1，x2=3.tan 0，tan=1，=45.2 sin2+cos2 tan(+15)=2 sin245+cos245 tan60,当堂练习,1.tan(+20)1，锐角 的度数应是()A40 B30 C20 D10,D,A.cosA=B.cosA=C.tanA=1 D.tanA=,2.已知 sinA=，则下列正确的是(),B,3.在 ABC 中，若，则C=.,120,4.如图，以 O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OA 交于点 B，再以 B 为圆心，BO 长为半径画弧，两弧交于点 C，画射线 OC，则 sinAOC 的值为 _.,5.求下列各式的值：(1)12 sin30cos30；(2)3tan30tan45+2sin60；(3)；(4),答案：(1),(2),(3)2,(4),6.若规定 sin(-)=sincos cossin，求 sin15 的值.,解：由题意得 sin15=sin(4530)=sin45cos30 cos45sin30,7.如图，在ABC中，A=30，求 AB的长度.,D,解：过点 C 作 CDAB 于点 D.,A=30，,D,AB=AD+BD=3+2=5.,课堂小结,30、45、60角的三角函数值,通过三角函数值求角度,特殊角的三角函数值,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,28.1 锐角三角函数,第二十八章 锐角三角函数,第4课时 用计算器求锐角三角函数值及锐角,新课标人教版九年级数学下册,1.会使用科学计算器求锐角的三角函数值.(重点)2.会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角 的大小.(重点)3.熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题.(难点),导入新课,复习引入,1,填写下表：,通过前面的学习，我们知道当锐角 A 是 30、45、60等特殊角时，可以求得这些特殊角的锐角三角函数值；如果锐角 A 不是这些特殊角，怎样得到它的锐角三角函数值呢？,讲授新课,例1(1)用计算器求sin18的值；,第二步：输入角度值18；,屏幕显示结果 sin18=0.309 016 994.,典例精析,(2)用计算器求 tan3036 的值；,解：方法：,第二步：输入角度值30.6(因为3036=30.6)；,屏幕显示答案：0.591 398 351.,屏幕显示答案：0.591 398 351.,方法：,(3)已知 sinA=0.501 8，用计算器求 A 的度数.,第二步：然后输入函数值0.501 8；,屏幕显示答案：30.119 158 67(按实际需要进行精确).,解：,练一练,1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)：(1)sin47；(2)sin1230；(3)cos2518；(4)sin18cos55tan59.,答案：(1)0.7314,(2)0.2164,(3)0.9041,(4)0.7817,2.已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A，B的度数(结果精确到0.1)：(1)sinA0.7，sinB0.01；(2)cosA0.15，cosB0.8；(3)tanA2.4，tanB0.5.,答案：(1)A 44.4；B 0.6.(2)A 81.4；B 36.9.(3)A 67.4；B 26.6.,例2 通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：sin30_2sin15cos15；sin36_2sin18cos18；sin45_2sin22.5cos22.5；sin60_2sin30cos30；sin80_2sin40cos40.猜想：已知045，则sin2_2sincos.,=,=,=,=,=,=,(2)如图，在ABC中，ABAC1，BAC2，请利用面积方法验证(1)中的结论,证明：SABC=AB sin2 AC=sin2，SABC=2ABsin ACcos=sin cos，sin22sincos.,sin20=，cos20=，sin220=，cos220=；sin35=，cos35=，sin235=，cos235=；猜想：已知090，则 sin2+cos2=.,0.3420,0.5735,0.9397,0.1170,0.8830,0.8192,0.3290,0.6710,练一练,(1)利用计算器求值，并提出你的猜想：,1,(2)如图，在 RtABC 中，C=90，请验证你在(1)中的结论.,证明：在 RtABC中，a2+b2=c2，,1.用计算器求sin243718的值，以下按键顺序正确 的是()A B C D,A,当堂练习,sin,2,4,3,7,8,1,=,sin,2,4,3,7,8,1,=,2nd F,sin,2,4,8,1,=,sin,2,4,3,7,8,1,=,2nd F,2.下列式子中，不成立的是()Asin35=cos55 Bsin30+sin45=sin75 C cos30=sin60 Dsin260+cos260=1,B,(1)sin40(精确到0.0001)；(2)sin1530(精确到 0.0001)；(3)若sin=0.5225，则(精确到 0.1)；(4)若sin=0.8090，则(精确到 0.1).,0.6428,0.2672,31.5,3.利用计算器求值：,54.0,4.已知：sin232+cos2=1，则锐角=.,32,5.用计算器比较大小：20sin87_ tan87.,6.在 RtABC 中，C=90，BAC=4224，A 的平分线 AT=14.7cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001).,解：AT 平分BAC，且BAC=4224，CAT=BAC=2112.在 RtACT 中 cosCAT=，AC=AT cosCAT=14.7cos2112 13.705(cm).,课堂小结,用计算器求锐角三角函数值及锐角,用计算器求锐角的三角函数值或角的度数注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同,利用计算器探索锐三角函数的新知,