No3内积空间正规矩阵(下)资料课件.ppt

高等代数与矩阵分析,重庆邮电大学 数理学院鲜思东e-mail:xiansd,第三章 内积空间、正规矩阵与Hermite矩阵,3 酉变换、正交变换,4 幂等矩阵、正交投影,7 Hermite变换、正规变换,2 标准正交基、Schmidt方法,1 欧式空间、酉空间,8 Hermite矩阵、Hermite二次齐式,9 正定二次齐式、正定Hermite矩阵,5 对称与反对称变换,6 Schur引理、正规矩阵,10 Hermite矩阵偶在复相合下的标准形,11 Rayleigh商,例 1 设 是欧式空间 的一个子空间，那么 在 上的正交投影变换 就是一个对称变换。,5、对称和反对称矩阵,定义1 设 是欧式空间 上一个线性变换，如果对任意的，都有,证明 任取 设,称 为 的一个对称变换。,于是有,由正交投影的定义，则,定义2 设 是欧式空间 上的一个线性变换，如果对任意 都有,称 为 的一个反对称变换。,定理 3 欧式空间的对称变换是可对角化的线性变换。,定理 1 设 是欧式空间 上一个对称变换，如果 是 的不变子空间，则 也是 的不变子空间。,定理 2欧式空间 上的线性变换 是对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。,定理 4 设 是欧式空间 上一个反对称变换，如果 是 的不变子空间，则 也是 的不变子空间。,定理 5欧式空间 上的线性变换 是反对称变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵是反对称矩阵。,在 这个标准基下对应的矩阵为,因此 既是正交变换,又是对称变换,称其为镜面反射.,例 2 在 中，设 为过直角坐标系原点的平面 的单位法向量，变换 是,可以验证：对任意，任意实数 有,将 扩展为 的一个标准基，有,6、Schur引理与正规矩阵,从纯代数角度看，如果去掉乘积为单位矩阵的限制，两矩阵是可交换矩阵。联想到正交矩阵的逆即为其转置，因此如果再限定两矩阵互为转置，即要求成立，情况又如何？,两方阵 互逆的条件是成立关系式,显然对称矩阵 和反对称矩阵 都满足要求，正交矩阵当然也满足这个要求。因此具有性质 的矩阵就“一统江湖”，具有了统一性，我们称之为正规矩阵。,对称矩阵最主要的性质是可以对角化，尤其是可以正交对角化，推广到正规矩阵后这个性质是否还能保留呢？为此，我们先给出下面的引理。,定义1 设，若存在 使得,则说 酉相似（或正交相似）于。,一、Schur 引理,100多年前(1909年)给出的Schur 引理是矩阵理论中的重要定理，是很多其他重要结论的基础。在矩阵计算中也具有相当重要的地位。,并称 为方阵 的Schur分解。,定理 1(Schur 引理)任何复方阵 必酉相似于一个上三角阵。即存在酉矩阵，使,证明：用数学归纳法。的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑 的阶数为 时的情况。取 阶矩阵 的一个特征值，对应的单位特征向量为，构造以 为第一列的 阶酉矩阵，,因为 构成 的一个标准正交基，故,，因此,其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在 阶酉矩阵 满足,(上三角矩阵),令那么,其中等号成立的充要条件是 酉相似于对角矩阵。,证明 由Schur引理，存在，使得,定理 2(Schur 不等式)设 为 的特征值，则,其中,结论成立！,故,即,又,试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.,例1:已知矩阵,解:首先求矩阵 的特征值,所以 为矩阵 的三重特征值.当 时,有单位特征向量,再解与其内积为零的方程,求得一个单位解向量,再解与 内积为零的方程组,又求得一个单位解向量,计算可得,取,再求矩阵 的特征值,所以 为矩阵 的二重特征值.当 时,有单位特征向量,令,求得一个单位解向量,再解与其内积为零的方程,取,计算可得,令,则,于是有,矩阵 即为所求的酉矩阵.,二、正规矩阵,定义 2 方阵 是正规的，当且仅当,引理 2 满足 的三角阵 必是对角阵。,设,如果 同样满足,那么称矩阵 为一个实正规矩阵.,引理 1 设 为正规矩阵，则与 酉相似的矩阵均是正规矩阵。,证明,对上三角阵，比较等式,两边乘积矩阵在第 行第 列位置上的元素，并注意到，因此对，有,当 时，有,可知,对 施行归纳法，可得，证毕。,例 2 判断下列矩阵是不是正规矩阵：,（1）实对称矩阵（）；,（2）实反对称矩阵（）；,（3）正交矩阵（）；,（4）酉矩阵（）；,（5）Hermite 矩阵（）；,（6）反Hermite 矩阵（）；,（7）形如 的矩阵。,H-阵,反H-阵,正交矩阵,酉矩阵,对角矩阵都是正规矩阵.,定理 3 方阵 是正规的，当且仅当 与对角矩阵酉相似，并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值。,证明：必要性。如果 是正规矩阵，那么存在酉矩阵 及对角阵 使得，即,因此,充分性。若有，显然可验证,称之为正规矩阵的结构定理。,推论 3:正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交.,推论 2:阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量.,推论 1:设 是正规矩阵，是 的特征值，对应的特征向量是，则 是 的特征值，其对应的特征向量是.,解:先计算矩阵的特征值,求正交矩阵 使得 为对角矩阵.,例 1:设,其特征值为,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,现在将 单位化并正交化,得到两个标准正交向量,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,将这三个标准正交向量组成矩阵,则矩阵 即为所求正交矩阵且有,例 2:设,求酉矩阵 使得 为对角矩阵.,解:先计算矩阵的特征值,对于特征值 解线性方程组,其特征值为,求得其一个基础解系,现在将 单位化,得到一个单位向量,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,将这三个标准正交向量组成矩阵,则矩阵 即为所求酉矩阵且有,定理4:设 是正规矩阵,则,(1)是H-阵的充要条件是 的特征值为实数.,(3)是酉矩阵的充要条件是 的特征值的模长为1.,(2)是反H-阵的充要条件是 的特征值实部为零.,注意:正规矩阵绝不仅此三类.,例 3:设 是一个反H-阵,证明:是酉矩阵.,证明:根据酉矩阵的定义,由于 是反H-阵,所以 这样,于是可得,这说明 为酉矩阵.,例 4:设 是一个 阶H-阵且存在自然数 使得,证明:.,证明:由于 是正规矩阵,所以存在一个酉矩阵 使得,于是可得,这样,从而,即,例 5 设 为正规矩阵，且，则,因为 是正规矩阵，所以存在酉矩阵，使得,再由，得,因此，即，故,从而，故,定理 5 设 为正规矩阵，则 可以同时酉对角化的充要条件是 可以同时酉对角化的含义是存在一个 阶酉矩阵 使得,结论 设 为Hermite(实对称)矩阵，且 则存在酉矩阵 使得,课后思考,1、实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵？,2、实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵？,3、实正规矩阵正交相似于什么样的“简单”矩阵？,7、Hermite变换与正规变换,单从变换的角度我们很难把Hermite变换(对称变换)与正规变换联系起来，但从Hermite矩阵(对称矩阵)的定义，或者从Hermite矩阵(对称矩阵)都可对角化上却能找到两者的关联，这似乎可以作为数学的“奇异美”的一个例证。正规变换可以说是对称变换、正交变换等的推广和抽象，即只关心永恒的主题-“对角化”的问题。这又一次体现出现代数学高度的抽象和统一。,推广到酉空间，相应的矩阵称为Hermite矩阵，满足关系式,既然矩阵与变换一一对应，那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢？,我们知道，实对称矩阵 满足关系式,设 在酉空间 的一组标准正交基 下的矩阵表示为 且。,任取，设,则,定义1 设 是酉空间（或欧氏空间）上的线性变换，称 为 上的 Hermite 变换（自伴变换），如果对任意，都有,一、Hermite变换（自伴变换）,定理 1 酉空间（或欧氏空间）上的线性变换 是 Hermite 变换（自伴变换）的充要条件是 在 的任意一组标准正交基下的矩阵 满足,所以,从而,证明：必要性。设 在 的一组标准正交基 下的矩阵表示为。,充分性显然。,定义2 设 是酉空间 上的线性变换，如果对任意，都有并称 为 的一个反Hermite变换。,定理 2 酉空间 上的Hermite 变换 的特征值是实数。,定理 3 酉空间 上的线性变换 是反Hermite 变换的充要条件是 在 的任意一组标准正交基下的矩阵 满足,例1(Cayley变换)方阵 是实反对称矩阵，那么 是非奇异的，并且Cayley变换矩阵,证明：因为，所以对任意的，有,因此。对于,由于，从而方程组只有零解，所以 是非奇异的。,由于,所以,从而可推出,是正交矩阵。,定义3 设 是酉(欧氏)空间 上的线性变换，如果存在 上一个线性变换，使得称 有一个伴随变换。,定理 4 设 是一个酉(欧氏)空间，是 上一个标准正交基，是 上的线性变换，且 在上述基对应的矩阵为，那么 的伴随变换 在该基下的矩阵表示 为,另外,伴随矩阵的一些重要性质。,定理5:设 是 维酉(欧氏)空间,和 都是 上的线性变换，为一个(实)复数，则,定理6:设 是 维酉(欧氏)空间,是 上的一个线性变换，如果 是 的 不变子空间，那么 也是 的不变子空间。,定义4设 是酉(欧氏)空间，是 上的线性变换，如果满足,二、正规变换(Normal Transformation),称为 是正规变换。,定理7:设 是 维酉(欧氏)空间,是 上的一个线性变换，是正交变换的充要条件是 在 的任意一个标准正交基下的矩阵式正规矩阵。,定理8 正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似的。,证明：设正规变换 在 的两组标准正交基 和 下的矩阵表示分别为，并设,显然过渡矩阵 是酉矩阵（请试试自己证明一下）,因为,所以，结论成立。,根据定理8，正规变换在任一标准正交基下的矩阵表示必定酉相似于对角阵。,上一节有:正规矩阵一定酉相似于一个对角矩阵.,定理10:酉空间 上的一个线性变换 是正交变换，当且仅当在 中存在一个标准正交基，使得 在该基下对应的矩阵为对角矩阵。,定理9:设 是酉空间 的一个正规变换。则存在 的一个标准正交基，使得 在该基下对应的矩阵为对角矩阵。即酉空间上的正规变换是可以对角化的线性变换。,例 2:设 为一个幂等H-阵,则存在酉矩阵 使得,证明:由于 为一个H-阵,所以存在酉矩阵 使得,又由于 为一个幂等H-阵,从而,或,将1放在一起,将0放在一起,那么可找到一个酉矩阵 使得,这里 为矩阵 的秩.,8、Hermite矩阵及Hermite二次齐式,Hermite矩阵的基本性质,一、Hermite矩阵及实对称矩阵的性质,引理:设,则,(1)都是H-阵.,(2)是反H-阵.,(3)如果 是H-阵,那么 也是H-阵,为任意正整数.,(4)如果 是可逆的H-阵,那么 也是可逆的H-阵.,(5)如果 是H-阵(反H-阵),那么 是反H-矩阵(H-阵),这里 为虚数单位.,(6)如果 都是H-阵,那么 也是H-阵,这里 均为实数.,(7)如果 都是H-阵,那么 也是H-阵的充分必要条件是,定理2:设,则(1)是H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数.(2)是H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为H-阵.,定理1：,定理3:设,则 是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得,H-阵的结构定理,其中,此定理经常叙述为:H-阵酉相似于实对角矩阵.,推论:实对称阵正交相似于实对角矩阵.,定理 4 设，则 是实对称矩阵的充要条件是存在，使得,其中 是实数。,定理5 设 是秩为 的 阶Hermite矩阵，则存在，满足,其中 是实数。,二、Hermite二次型、实二次齐式,其对应的矩阵，显然是Hermite 矩阵。,定义1 Hermite二次型或复二次型指的是复系数二次齐次复多项式,称 是 Hermite 二次齐式。,若做可逆线性变换 则,显然，且,定理 6 对于Hermite二次型存在酉变换，将二次型化为标准型,其中 是 的特征值。,注意：任何一个实二次齐次多项式都可以写成实二次型。但是一个复二次齐次多项式不一定是一个 Hermite二次型。,定理7（惯性定理）对于Hermite二次齐式,存在可逆的线性变换,将二次型化成规范型,其中 是 的秩。,解:,例1:写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.,9、正定二次齐式和正定Hermite矩阵,实数域内经常处理的矩阵是对称正定矩阵，关于它有许多优美的结论。将数域推广到复数域，考察相应的结论，这就是本节的主题。,定义1 设 是酉空间（或欧氏空间）上的Hermite 变换（或对称变换），称 为 上的 正定变换（非负定变换），如果对任意，都有并称 在 的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正定Hermite 矩阵或正定对称矩阵(非负定Hermite 矩阵或非负定对称矩阵)。,定义2 Hermite二次型 称为正定的，如果对任意，恒有；当且仅当 时。其对应的矩阵显然是正定Hermite 矩阵。,定义3 Hermite二次型 称为非负定的，如果对任意，恒有。其对应的矩阵显然是非负定Hermite 矩阵。,引理1 若 是正线上三角阵，且是酉矩阵，则 是单位阵。,引理2 Hermite二次型 的正定性(负定性、半正定性、半负定性)经满秩线性变换 下保持不变。,定理1对Hermite二次型，下列命题是等价的：（1）是正定的；（2）的特征值全是正数；（3）存在 阶可逆矩阵，使得；（4）存在 阶可逆矩阵，使得；（5）存在 阶可逆Hermite矩阵，使得,(6)存在正线上三角矩阵 使得,且此分解是唯一的.,证明：可证,以及,定理2(霍尔维茨(Hurwitz)定理)阶Hermite矩阵 为正定Hermite矩阵的充要条件是矩阵 的各阶顺序主子式皆为正数，即这里,推论 阶Hermite矩阵 为负定Hermite矩阵的充要条件是,例 1:设 是一个正定的H-阵,且又是酉矩阵,则,证明:由于 是一个正定H-阵,所以必存在酉矩阵 使得,由于 又是酉矩阵,所以,这样必有,从而,例 2:设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:与 的特征值实部为零.,证明:设 为矩阵的任意一个特征值,那么有.由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得,将其代入上面的特征多项式有,这说明 也是矩阵 的特征值.另一方面注意矩阵 为H-反阵,从而 实部为零.同样可以证明另一问.,例 3:设 是一个正定的H-阵,是一个反H-阵,证明:是可逆矩阵.,证明:由于 是一个正定H-阵,所以存在可逆矩阵 使得,另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵,而矩阵 为H-反阵,由上面的例题结论可知,这表明 是可逆的.于是,定理3对 阶Hermite矩阵，下列命题是等价的：（1）是非负定的；（2）的特征值全是非负的；（3）存在 阶可逆矩阵，使得 这里 为 的秩；（4）存在秩为 的 阶矩阵 使得；（5）存在 阶Hermite矩阵，使得,证明:设 为 的全部特征值,由于 是半正定的,所以.于是有,例 4:设 是一个半正定的H-阵且 证明:,定理4:设 是正定(半正定)Hermite矩阵,那么存在唯一的正定(半正定)Hermite矩阵 使得，且对任何一个与 可交换的矩阵 必和 可以交换(即若,则).,定义4 给定实二次齐式 称为正定的，如果对任意，恒有；当且仅当 时。其对应的矩阵显然是正定 矩阵。,定义5 给定实二次齐式 称为非负定的，如果对任意，恒有。其对应的矩阵显然是非负定矩阵。,定理6对 阶 实对称矩阵，下列命题是等价的：（1）半正定的；（2）的特征值全是非负的；（3）存在 阶可逆矩阵，使得 这里 为 的秩；（4）存在秩为 的 阶矩阵 使得；（5）对任何 阶可逆矩阵，使得 半正定的,定理7:设 是正定(半正定)实对 称矩阵,那么存在唯一的正定(半正定)实对称矩阵 使得，且对任何一个与 可交换的矩阵 必和 可以交换(即若,则).,例 5:设 都是 阶正定H-阵，则 的根全为正实数。,证明：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵 使得,另一方面注意到 是一个正定H-阵，从而有,例 6(Schur补：思考题)阶方阵 有如下分块则 是正定Hermite矩阵的充要条件是 和 的Schur补 都是正定Hermite矩阵。,证明：利用即可,例 7(广义特征值问题的同时合同对角化)对于广义特征值问题，如果 均为Hermite矩阵，并且 还是正定矩阵，那么存在可逆矩阵，使得,这里 是原广义特征值问题的特征值。,证明：由于 是Hermite正定矩阵，所以有,再根据 是Hermite矩阵，所以有酉相似,令，则有,因此,最后根据，得,这说明 是 的特征值，因此也是广义特征值 的特征值。,定理1 设 均为 阶Hermite-阵,且 又是正定的，证明必存在 使得,10、Hermite矩阵偶在复合同（复相合）下的标准形,与,同时成立，其中 是与 无关的实数。,证明：由于 是正定H-阵，所以存在 使得,又由于 也是H-阵，那么存在 使得,其中 是H-阵 的 个实特征值。,如果记，则有,下面证明 个实特征值 与 无关。令，那么 是特征方程,的特征根。又由于,因此 是方程 的根。它完全是由 决定的与 无关。,由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：,定理2：对于给定的两个二次型其中 是正定的，则存在非退化的线性替换可以将 同时化成标准形,其中 是方程 的根，而且全为实数。定义1：设 均为 阶Hermite-阵,且又是正定的，求 使得方程有非零解的充分必要条件是,关于 的 次代数方程方程成立。我们称此方程是 相对于 的特征方程。它的根 称为 相对于 的 广义特征值。将 代入到方程中所得非零解向量 称为与 相对应的广义特征向量。广义特征值与广义特征向量的性质;,定理3：上述定义的广义特征值与特征向量：（1）有 个广义特征值；（2）有 个线性无关的广义特征向量，即（3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足,其中 为Kronecker符号。,定义2 称满足 的广义特征向量为特征主向量，以这 个特征主向量为列向量构成的矩阵 是满秩的，称为 的相对于 的主矩阵。,定理4 设 为 Hermite-阵，且 为正定的，则存在行列式等于1的矩阵，使,同时成立。,定义1 设，称实数,定理1 Hermite-阵 的Rayleigh商具有如下的性质：,11、Rayleigh商,为 Hermite-阵的Rayleigh商。,证明：由于 是正定H-阵，所以存在 使得,又由于 也是H-阵，那么存在 使得,其中 是H-阵 的 个实特征值。,如果记，则有,下面证明 个实特征值 与 无关。令，那么 是特征方程,的特征根。又由于,因此 是方程 的根。它完全是由 决定的与 无关。,由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：,定理3：设 则,定理2：设 是Hermite阵 的分布属于特征值 的特征向量，是子空间 的正交补子空间，则,或极大-极小原理,定理4：设 是 维复空间中任意 维子空间，则有极小-极大原理,定理5 设 为 Hermite-阵，分别表示矩阵 的特征值，且特征值从小到大递增排列，则对每一个，有,人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。,