2020人教版数学八年级上册第十三章轴对称单元全套ppt课件.pptx

,人教版八年级年级数学上册优质课件,教育部审定教材,RJ数学,第十三章 轴对称,目 录,使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。,13.1.1 轴对称,13.1.2 线段的垂直平分线的性质,13.2 画轴对称图形,13.3.1 等腰三角形,13.3.2 等边三角形,13.4 课题学习 最短路径问题,13.1 轴对称13.1.1 轴对称,对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的享受！,1.了解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念，了解轴对称图形与两个图形关于某直线对称的区别和联系.,2.能识别简单的轴对称图形及其对称轴（直线），能找出两个图形关于某直线对称的对称点.,3.了解线段垂直平分线的定义.,4.掌握图形轴对称的性质.,如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？,轴对称图形的定义,【思考】你能举出一些轴对称图形的例子吗？,如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称,下面这些图形是不是轴对称图形？,是,是,是,不是,1.下面四幅图中是轴对称图形的有几个？,共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合,观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？,轴对称的定义,A,C,B,【思考】你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？,把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点,两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称,你能结合具体的图形说明轴对称图形和轴对称的区别和联系吗？,两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合,一,两,互相重合,对称轴，轴对称图形可能不止一条对称轴，轴对称只有一条,对称,轴对称图形,比较归纳,2.下面这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？,1 条,2 条,4 条,无数条,你能说明其中的道理吗？,如图，ABC 和ABC关于直线MN 对称，点A，B，C分别是点A，B，C 的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN 有什么关系？,垂直平分线的定义,【思考】上面的问题说明“如果ABC 和ABC关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直于线段AA，BB和CC，并且直线MN 还平分线段AA，BB和CC”如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”其他条件不变，上述结论还成立吗？,经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段,结论：直线l 垂直于线段AA，BB，直线l平分线段AA，BB（或直线l 是线段AA，BB的垂直平分线）,【思考】下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？,轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,3.下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴,是，一条,是，一条,是，一条,不是,是，四条,4.下列图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点,是,不是,是,1.下列图形具有两条对称轴的是（）A等边三角形 B平行四边形 C矩形 D正方形,C,B,1.被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（）A B C D,2.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A1条 B3条C5条 D无数条,C,C,3.下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由.,答：这个图形是_（写出序号即可），理由是_.,只有它不是轴对称图形,1.下面的图形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？画画看.,2.英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？,解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是轴对称图形.,3.你能列举出三个是轴对称图形的几何图形吗？,解：正方形、长方形、圆.（答案不唯一）,小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是_.,10：21,轴对称,轴对称图形,两个图形成轴对称,垂直平分线,区别,联系,对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质,第一课时,第二课时,第一课时,线段的垂直平分线的性质,某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？,A,B,C,实际问题1,A,B,L,实际问题2,在成渝高速公路L的同侧，有两个化工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？,成 渝 高 速 公 路,3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理.,1.理解线段垂直平分线的性质和判定,2.能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题,你能用不同的方法验证这一结论吗？,如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3 到点A 与点B 的距离之间的数量关系.,相等,线段的垂直平分线的性质定理,猜想：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”,猜想与证明,用符号语言表示为：CA=CB，lAB，PA=PB,证明：lAB，PCA=PCB 又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PB,线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,1.如图，在ABC中，BC=8，AB 的垂直平分线交BC于D，AC 的垂直平分线交BC 与E，则ADE 的周长等于_,8,解：ADBC，BD=DC，AD 是BC 的垂直平分线，AB=AC 点C 在AE 的垂直平分线上，AC=CE,2.如图，ADBC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？,AB=AC=CE AB=CE，BD=DC，AB+BD=CD+CE 即AB+BD=DE,反过来，如果PA=PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？,点P 在线段AB 的垂直平分线上,已知：如图，PA=PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上,线段的垂直平分线的判定定理,证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，垂足为C则PCA=PCB=90在RtPCA 和RtPCB 中，PA=PB，PC=PC，RtPCA RtPCB（HL）AC=BC又 PCAB，点P 在线段AB 的垂直平分线上,用数学符号表示为：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上,到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？,在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合,l,试一试：,例1 如图，已知：在ABC中，ABAC，O是ABC内一点，且OBOC，求证：AOBC.,证明：OBOC，点O在BC的垂直平分线上，又ABAC，点A在BC的垂直平分线上，即A，O均在BC的垂直平分线上，AOBC,线段垂直平分线的判定定理的应用,3.如图，已知在ABC中，ON是AB的垂直平分线，并且OA=OC求证：点O在 BC的垂直平分线上.,点O在BC的垂直平分线上.（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）,A,B,C,O,N,证明：连结OB.,ON是AB的垂直平分线（已知）,OA=OB（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）,OA=OC（已知）,OB=OC（等量代换）,如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？,C,A,B,D,K,F,E,过直线外一点作已知直线的垂线,作法：,（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.,（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点 D和E.,（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长 为半径作弧，两弧相交于点F.,（4）作直线CF.,直线CF就是所求作的垂线.,（1）为什么任意取一点K，使点K与点C 在直线两旁？,（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？,（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？,4.如图，求作点P，使PAPB，且点P到MON两边的距离相等,解：(1)作MON的角平分线；(2)作线段AB的垂直平分线与MON的平分线交于点P，那么，点P即为所求作的点.,1.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，B=60，C=25，则BAD为（）A50B70C75D80,2.如图，在ABC中，AF平分BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，B=70，FAE=19，则C=度,B,24,1如图，在ABC中，ABAC20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若DBC的周长为35 cm，则BC的长为()A5 cm B10 cmC15 cm D17.5 cm,C,2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D不能确定,C,C,3如图，CD是AB的垂直平分线，若AC1.6 cm，BD2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 cm.,7.8,4.如图，在ABC中，D为BC上一点，且BCBDAD，则点D在线段 _ 的垂直平分线上,AC,解析：BC=BD+AD，又BC=BD+DC，AD=DC.点D在线段AC的垂直平分线上.,1.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？,答：ABC 三边垂直平分线的交点上.,2.如图，已知E为AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.,证明：E在AOB的平分线上，EDOB于D.ECOA于C，EDEC在RtEDO和RtECO中，EDEC，OEOERtEDORtECO（HL）ODOCO，E都在CD的垂直平分线上，OE垂直平分CD.,如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长,解：DE垂直平分BC，DBDC.ACADDC14 cm，ACADBD14 cm.即ACAB14 cm.设ABx cm，ACy cm.根据题意，得 解得AB长为8 cm，AC长为6 cm.,线段的垂直平分线,性质,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.,判定,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.,集合定义,线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合.,关系,第二课时,作线段的垂直平分线,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,公路,3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题,1.能用尺规作已知线段的垂直平分线,2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据,线段垂直平分线的画法,有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？,通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称图形.,不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？,问题1：,问题2：,如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？,分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.,作法：,（1）分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.,（2）作直线CD.CD即为所求.,特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.,如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？,A,B,分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点即可.,例1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.,利用线段的垂直平分线的性质作图,解：(1)如图所示：,(2)在AMP和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN，AMPPNB(SSS)，MAPNPB.,P,1.如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线,D,例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹),利用作图解决实际问题,方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.,解：如图所示：,2.电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.,解：如图所示，两条高速公路相交的角的角平分线和AB的垂直平分线的交点P1与P2点.,作轴对称图形的对称轴,下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？,A,B,作法：（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴,l,用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴,方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.,例3 如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.,解：延长BC、BC交于点P，延长AC，AC交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.,作轴对称图形的对称轴,l,P,Q,方法总结：过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴.如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.,3.作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？,如图，在ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E若AE=3cm，ABD的周长为13cm，则ABC的周长为（）A16cmB19cmC22cmD25cm,B,1.尺规作图要求：、过直线外一点作这条直线的垂线；、作线段的垂直平分线；、过直线上一点作这条直线的垂线；、作角的平分线如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A，B，C，D，,D,2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作ACP、BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求下列说法正确的是（）A甲、乙都正确 B甲、乙都错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确,D,3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出对称轴,4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.,如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.,B,C,学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.,A,如图，在43的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴,线段的垂直平分线的有关作图,尺规作图,作对称轴的常见方法,属于基本作图之一，必须熟熟练掌握.,(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线.,13.2 画轴对称图形,第一课时,第二课时,第一课时,画轴对称图形,我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.,3.通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感.,1.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形.,2.掌握作轴对称图形的方法.,轴对称变换的应用,在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论.,（1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？,（2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP 是什么关系？,成轴对称,直线l垂直平分线段PP,做一做,由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.,例1 将一张正方形纸片按如图，图所示的方向对折，然后沿图中的虚线剪裁得到图，将图的纸片展开铺平，得到的图案是（）,B,利用轴对称识别图形变化,1.下面是四位同学作的ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（）,B,例2 如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若EFB50，则CFD的度数为（）,A20 B30 C40 D50,C,利用轴对称求角或线段的值,方法点拨：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等,2如图，小红把一张含30角的直角三角形纸片ABC沿较短边的垂直平分线翻折，则BOC,60,作轴对称图形,如何画一个点的轴对称图形？,画出点A关于直线l的对称点A.,l,A,A,O,作法：,（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.,（2）在垂线上截取OAOA.,点A就是点A关于直线l的对称点.,问题1：,如何画一条线段的对称图形？,已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.,问题2：,(图1),(图2),(图3),(B),【思考】如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？,例3 如图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形.,分析：ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.,作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，A就是点A关于直线l的对称点.,（3）连接AB，BC，CA，得到 ABC即为所求.,（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B，C.,O,作轴对称图形的方法：,几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.,例4 在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的DEF.,(F),(D),E,(E),F,D,(F),D,E,(D),(E),F,利用轴对称作图,作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来,3.如何画线段AB关于直线l 的对称线段AB?,A,B,A,作法：1.过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截OA=O A，点A就是点A关于直线l的对称点；2.类似地，作出点B关于直线l的对称点B；3.连接AB.,线段A B 即为所求.,A,B,O,如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A6cm B4cmC3cm D2cm,D,1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A过已知点作一条直线与已知直线相交 B过已知点作一条直线与已知直线垂直 C过已知点作一条直线与已知直线平行 D不确定,B,2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B，D点处，若得AOB=70，则BOG的度数为_.,55,3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.,如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.,B,A,C,D,E,F,G,H,l,如图，画ABC关于直线m的对称图形.,m,A,B,C,画轴对称图形,作图原理,作图方法,对称轴是对称点连接的线段的垂直平分线.,(1)找特殊点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4)依次连线.,第二课时,坐标中的轴对称,一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确地告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？,猜一猜,如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？,1.理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律,2.掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法,平面直角坐标系中的轴对称,已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?,A,A,M,N,A就是点A关于直线MN的对称点.,O,（2）延长AO至A,使OA=AO.,（1）过点A作AOMN，垂足为点O.,问题1：,如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?,A(2,3),A(2,3),问题2：,在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.,C(3,4),C(3,4),B(4,2),B(4,2),(x,y),关于 x 轴对称,(,),x,y,做一做:,关于x轴对称的点的坐标的特点是:,横坐标相等,纵坐标互为相反数.（简称：横同纵反）,1.点P(5,6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a,5)与点N(2,b)关于x轴对称，则a=_,b=_.,(5,6),2,5,练一练,如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?,A(2,3),A(2,3),问题3：,在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.,C(3,4),C(3,4),B(4,2),B(4,2),(x,y),关于 y轴对称,(,),x,y,做一做:,关于y轴对称的点的坐标的特点是:,横坐标互为相反数,纵坐标相等.（简称：横反纵同）,1.点P(5,6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a,5)与点N(2,b)关于y轴对称，则a=_,b=_.,(5,6),2,5,练一练,例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(5,1),B(2,1),C(2,5),D(5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.,O,在平面直角坐标系内作轴对称图形,对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.(一找二描三连）,1.平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若ABC与ABC关于x轴对称，画出ABC，并写出A、B、C的坐标.,解：如图所示：,A(0,4),B(2,4),C(3,1),A(0,4),B(2,4),C(3,1),例2 已知点A(2ab，5a)，B(2b1，ab)(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4ab)2016的值,解：(1)点A、B关于x轴对称，2ab2b1，5aab0，解得a8，b5；(2)A、B关于y轴对称，2ab2b10，5aab，解得a1，b3，(4ab)20161.,利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的值,2.已知点A(2a3b，2)和点B(8，3a2b)关于x轴对称，则ab 3.若M(a，)与N(4，b)关于y轴对称，则a，b的值分别为，MN,2,8,例3 已知点P(a1，2a1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围,解：依题意得P点在第四象限，,解得,即a的取值范围是,利用轴对称在平面直角坐标系内求字母的取值范围,方法总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解,5.如图，在平面直角坐标系中，PQR是ABC经过某种变换后得到图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系，在这种变换下，如果ABC内任意一点M(a，b)，那么它的对应点N的坐标为,4.已知点M(1a，2a2)，若点M关于x轴的对称点在第三象限，则a的取值范围是,a1,(a，b),1.如图，点A的坐标（1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（2，1）,A,2.在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（）A（4，1）B（1，4）C（4，1）D（1，4）,A,1.平面直角坐标系内的点A（1，2）与点B（1，2）关于（）Ay轴对称 Bx轴对称 C原点对称 D直线y=x对称,2.若点A（1+m，1n）与点B（3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（）A5 B3 C3 D1,D,B,3.在平面直角坐标系中，将点A（1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B的坐标为（）A（3，2）B（2，2）C（2，2）D（2，2）,B,4.如图，在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A（1，2）B（2，2）C（3，2）D（4，2）,C,5.已知点P(2a+b,3a)与点P（8,b+2).若点P与点P关于x轴对称，则a=_，b=_.若点P与点P关于y轴对称，则a=_，b=_.,2,4,6,20,6.若|a2|+(b5)2=0，则点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为_.,(2,5),1.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，5),B(4，1),C(1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形.,y,解：点A(3,5),B(4,1),C(1,3)关于y轴的对称点分别为A(3,5),B(4,1),C(1,3).依次连接AB,BC,CA,就得到ABC关于y轴对称的ABC.,2.已知点A（2a+b，4），B（3，a2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？,解：点A（2a+b，4），B（3，a2b）关于x轴对称，2a+b=3，a2b=4，解得a=2，b=1 点C（2，1）在第四象限,在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（1，1）、（3，1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，求B的对应点B的坐标.,解：正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(1，1)、(3，1)，根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(3+2，1)，即(1，1)，第2次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(1，1)，第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)，第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n3，1)，当n为偶数时为(2n3，1)，把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，则点B的对应点B的坐标是(11，1),用坐标表示轴对称,关于坐标轴对称的点的坐标特征,在坐标系中作已知图形的对称图形,关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同.,关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确画出对称点的位置.,13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形,第一课时,第二课时,第一课时,等腰三角形的性质,看到下面三角形了吗，它有何特点呢？,底边,我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.,1.探索并掌握等腰三角形的两个性质,2.会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题.,等腰三角形的性质,把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？,A,B,C,AB=AC,等腰三角形,【思考】ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,A,C,D,B,折痕所在的直线是它的对称轴.,等腰三角形是轴对称图形.,把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.,A,C,B,D,AB与AC,BD与CD,AD与AD,B 与C,BAD 与CAD,ADB 与ADC,【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.,【思考】如何构造两个全等的三角形？,猜想:等腰三角形的两个底角相等.,如何证明两个角相等呢？,可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证.,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD.,AB=AC(已知)，,BD=CD(已作)，,AD=AD(公共边)，,BAD CAD(SSS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,在BAD和CAD中,方法一：作底边上的中线.,还有其他的证法吗？,已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.,D,证明：,作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.,AB=AC(已知),BAD=CAD(已作),AD=AD(公共边),BAD CAD(SAS).,B=C(全等三角形的对应角相等).,方法二：作顶角的平分线,在BAD和CAD中,由BAD CAD，除了可以得到B=C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？,解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180，ADB=ADC=90，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线.,D,【想一想】,性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).,如图,在ABC中,AB=AC(已知),B=C(等边对等角).,性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.,即：等腰三角形,顶角平分线,底边上的高线,底边上的中线,具备其中一条,另外两条成立,AB=AC,1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）,AB=AC,BD=CD(已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）,AB=AC,ADBC(已知)，BD=CD,1=2（等腰三角形三线合一）,数学语言：如图,在ABC中,画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？,不重合,【思考】为什么不一样？,（1）等腰三角形的顶角一定是锐角.（2）等腰三角形的底角可能是锐角，也可能是直角、钝角.（3）钝角三角形不可能是等腰三角形.（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（5）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（6）等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.,（）,（）,（）,（）,（）,1.明辨是非.,（）,例1 如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.,分析：（1）找出图中所有相等的角；,（2）指出图中有几个等腰三角形？,A=ABD,C=BDC=ABC；,ABC,ABD,BCD.,等腰三角形性质的应用,（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？,BDC=A+ABD=2 A=2 ABD,ABC=BDC=2 A,C=BDC=2 A.,（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来.,A+ABC+C=180，x+2x+2x=180,解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC，A=ABD.设A=x，则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x.于是在ABC中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180.解得x=36.所以，在ABC中，A=36，ABC=C=72.,在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.,2.如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.,解：AB=AD=DC B=ADB，C=DAC.设 C=x，则 DAC=x，B=ADB=C+DAC=2x，在ABC中，根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180，解得x=38.5.C=x=38.5，B=2x=77.,例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40C65或80 D50或80,A,等腰三角形的分类讨论问题,方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论,3.等腰三角形一个底角为75,它的另外两个角为_；4.等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为_；5.等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_.,75,30,70,40或55,55,35,35,例3 已知点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)如图，若ADAE，求证：BDCE；(2)如图，若BDCE，F为DE的中点，求证：AFBC.,利用等腰三角形的性质证明线段间的关系,证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDCE；(2)BDCE，F为DE的中点，BDDFCEEF，BFCF.ABAC，AFBC.,图,图,G,在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线,6.如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EFAB，垂足为F.(1)若BAD25，求C的度数；(2)求证：EFED.,(1)解：ABAC，AD是BC边上的中线，BADCAD，BAC2BAD50.ABAC，CABC(180 BAC)(180 50)65.(2)证明：ABAC，AD是BC边上的中线，EDBC，又BG平分ABC，EFAB，EFED.,1.等腰三角形的一个底角为50，则它的顶角的度数为_,80,2.如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A20B35C40D70,B,2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC，若1=70，则BAC的大小为（）A40 B30 C70 D50,A,1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角分别是（）A30，