随机信号分析课件.ppt

1/108,随机信号分析,2/116,第2章 随机信号,3/116,2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号,目 录,4/116,2.1 定义与基本特性,2.1.1 概念与定义1.典型例子,（1）贝努里实验:其样本空间只有两个样本点，即只有两个可能结果:A 和。在掷币实验中，贝努里随机变量 可以表示为:,5/116,有概率若重复在t=n(n=1,2,)时刻上，独立进行相,同的掷币实验,构成一随机变量序列,6/116,则有 其概率,7/116,所有随机变量序列的集合就是随机信号。,每一个随机变量序列称为一个样本，也叫一个实现。,8/116,（2）时间连续的随机现象 观察电阻上的噪声电压，可能有不同的波形。每一个波形称为样本函数，也叫一个实现。,所有波形的集合就是随机信号。,9/116,2.随机信号的定义定义:设随机实验的样本空间，对于空间 的每一个样本，总有一个时间函数 与之对应,对于空间的所有样 本，可有一族时间函数 与之 对应，这族时间函数称为随机信号。,定义:设 是随机实验E的样本空间，若对于每 个样本点,都有唯一的实数 与之对应,且对于任意实数，都有确定 的概率与之对应，则称 为随机变量。,10/116,3.随机信号的表征(数学模型)（1）在任意给定时刻，随机信号是一个随机变量,随机信号可视为许多随机变量的集合；,X(t,1),X(t,2),X(t,3),X(t,4),X(t1,),X(t2,),X(tn,),X(t,),t,11/116,n,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,12/116,（2）随机信号可视为所有样本函数的集合；,X(t,1),X(t,2),X(t,3),X(t,4),X(t,),t,13/116,n,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,n,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,14/116,（3）当时刻 t 与样本 都固定时，随机信号是 一个实数，称之为状态；,X(t,1),X(t,2),X(t,3),X(t,4),X(t,),t,t1,n,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,15/116,（4）当时刻 t 与样本 都发生变化时，就构成随 机信号的完整概念。,16/116,4.随机信号的分类及举例,（1）时间离散、取值离散 D.R.Seq.,例：贝努里r.s.,17/116,例：一脉冲信号发生器传送的信号,（2）时间连续、取值离散 D.R.P.,18/116,（3）时间连续、取值连续 C.R.P.例：正弦型信号,19/116,（4）时间离散、取值连续 C.R.Seq.例：每隔单位时间对噪声电压抽样,20/116,2.1.2 基本概率特性1.例子,21/116,22/116,23/116,2.一阶（维）概率分布和密度函数,一阶概率分布函数定义：,一阶概率密度函数定义：,24/116,t,x,fX(x;t),25/116,2,1,26/116,联合密度函数：,联合分布函数：,离散型二维随机向量的概率特性,27/116,28/116,3.二阶（维）概率分布和密度函数,二阶概率分布函数定义：,二阶概率密度函数定义：,4.分析随机过程本质上就是分析相应的随机变量,29/116,2.1.3基本数字特征,任取t时，随机变量X(t)的统计平均，定义为,1.随机信号的均值,30/116,对R.Seq.:,31/116,例：求随机过程正弦波 的数学期望，方差及自相关函数。式中，为常数，是区间0，上均匀分布的随机变量。,解：由题可知：,（1）,同理,32/116,（2）,可知,33/116,（3）,34/116,2.随机信号的自相关函数 任取 时，两个随机变量 的相 关矩，定义为,C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。,35/116,自相关函数的性质：（1）相关的概念表征了随机信号在两时刻之间 的关联程度；（2）同一时刻之间的相关性大于等于不同时刻 之间的相关性；（3）实际中的大多数随机信号，当两观察时刻 越远，相应随机变量的相关性通常越弱；（4）自相关函数具有功率的量纲。,36/116,3.随机信号的协方差函数与方差函数(1)协方差函数 任取 时，两个随机变量 的联合中心矩，定义为,C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。,37/116,当 时，协方差函数退化为方差函数,(2)方差函数,C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理写出。,38/116,X(t)的均方差（或标准差）函数为,39/116,4.相关系数 类似于随机变量的相关系数，定义为,同样，有关系式：,当 时，,40/116,2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号,目 录,41/116,2.2 典型信号举例,2.2.1 随机正弦信号,电路与系统中，几乎总要产生、发送与接收正弦振荡信号，它本质上都是随机的。,部分或全部是随机变量。,42/116,43/116,随机相位信号（随相信号）：,讨论随相信号X(t)的基本特性：,1.均值,44/116,2.自相关函数,45/116,46/116,都服从一维高斯分布：,4.一阶概率密度函数,47/116,2.2.2 伯努利随机序列,48/116,n,X（n,n）,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,X（9，）,n,X（n,1）,0,1,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,数字通信中，串行传输的二进制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的数学模型之一。,49/116,1.均值2.自相关函数,讨论伯努利随机序列X(n)的基本特性：,50/116,3.一阶概率密度函数,51/116,2.2.3 半随机二进制传输信号,52/116,t,t,t,53/116,54/116,均值,，,讨论半随机二进制传输信号 X(t)的基本特性：,55/116,2.自相关函数令 若位于同一时隙，有，,，,若位于不同时隙，有,合并两种情况，有,则,则,56/116,当，有,57/116,3.一阶密度函数,58/116,随机信号还可以分为：可预测随机信号（或称确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都可以由过去的观测值确定，即样本函数有确定的形式。不可预测随机信号（或称不确定的随机信号）：信号的任意一个样本函数的未来值都不能由过去的观测值确定，即样本函数没有确定的形式。,59/116,2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号,目 录,60/116,2.3 一般特性与基本运算,1.n维概率分布与密度函数 n个随机变量 的n维联合概 率分布函数为：,2.3.1 n阶概率特性,61/116,则称 为其n维概率密度函数。,如果存在，使,2.n维特征函数,任取 与,62/116,1.随机信号的nm维联合概率分布和密度函数 两个不同r.s.X(t)与Y(t)之间的联合概率特性。对随机信号X(t)任取 时，获得n个随机变量;,2.3.2 联合特性,对随机信号Y(t)任取 时，获得m个随机变量。,63/116,X(t),t,sm,Y(t),t,64/116,定义nm维联合概率分布函数为:定义nm维联合概率密度函数为:,65/116,2.随机信号的互相关函数与互协方差函数 两个不同随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性,互相关函数定义为:,互协方差函数定义为:,66/116,互相关系数定义为:,67/116,68/116,3.两个随机信号正交、线性无关与统计独立,(1)正交:对于任意时刻,都有 则称X(t)与Y(t)正交。,(2)线性无关:对于任意时刻,都有,则称X(t)与Y(t)线性无关。,69/116,（3）统计独立:对于X(t)和Y(t)的任一组随机 变量,都有,则称X(t)与Y(t)彼此统计独立。,两个随机信号的正交、线性无关与统计独立三者关系与两个随机变量间的完全相同。,70/116,统计独立性，线性无关性和正交性的关系 1.两个随机信号统计独立，它们必然是线性无关的；,2.两个随机信号线性无关，不一定互相独立；3.在两个随机信号中任一均值为零时，线性无关 性与正交性是等价的；4.在两个随机信号的互相关和互协方差同时不为零 时，它们不是线性无关的，也不是相互正交的。,71/116,(a)一般情况下,72/116,当 和 均为高斯随机信号时:,统计独立性和线性无关性是等价的；,(b)高斯随机信号,进一步，且有一个均值为零时:独立性、线性无关性和正交性三者是等价的。,(c)高斯随机信号，且 有一个均值为零,73/116,若X(t)与Y(t)正交，则,若X(t)与Y(t)无关，则,解:,74/116,2.3.3 相关函数与协方差函数的性质,性质1：随机信号X(t)的自相关函数等满足（1）对称性,（2）均方值为非负实数,（3）方差为非负实数,（4）,75/116,（2）,（3）,对信号进行中心化与归一化处理，则有,性质2：随机信号X(t)与Y(t)的联合矩特性满足（1）对称性,76/116,77/116,78/116,2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号,目 录,79/116,2.4 多维高斯分布与高斯信号,2.4.1 多维高斯分布,一维高斯分布,记为,1.一维与二维高斯分布,80/116,一维高斯分布的特征函数为,81/116,二维高斯分布,记为,82/116,二维高斯分布的特征函数为,83/116,2.4.3 高斯随机信号1.定义,84/116,2.高斯随机信号的概率特性与数字特征,均值函数：,自相关函数：,协方差函数：,方差函数：,记为,85/116,概率密度函数：,特征函数：,一阶,86/116,（2）经过线性变换(或线性系统)后仍然是高 斯信号；,（3）它是独立信号的充要条件是,3.高斯随机信号的性质,87/116,2.1 定义与基本特性2.2 典型信号举例2.3 一般特性与基本运算2.4 多维高斯分布与高斯信号2.5 独立信号,目 录,88/116,2.5 独立信号,1.定义 指它自身的任意随机变量之间彼此统计独立。2.概率特性 其n维概率分布(或密度、特征)函数满足：,89/116,自相关函数：,协方差函数：,自相关系数：,3.数字特征,均值函数：,方差函数：,