矢性函数的导数与微分解读课件.ppt

1.2矢性函数的导数与微分,1、矢性函数的导数,时，,则,叫做矢性函数的增量。,记作,设有起点在原点的矢性函数，,性变量在其定义域内从变到,对应的矢量分别为,当数,在时，,则称此极限为矢性函数在点处的导数（简,矢性函数的导数,内有定义，,定义设矢性函数在点的某个邻域,并设也在此邻域内，,其极限存在，,称导矢），记作或，,即,且函数在点可导，,即,若由下列坐标式给出：,则有,求矢性函数的导数,转化为求三个数性函数的导数,求导矢,解：,例1已知圆柱螺旋线的矢量方程为,例.设,试证明：,证：,证毕,引入圆函数，,其导矢为,为一单位矢量，,故其矢端曲线为一单位圆，,因此又叫圆函数；,也为单位矢量，,同样的，,其矢端曲线也是一单位圆。,圆柱螺旋线的方程可写成,如图，为的矢端曲线,当时，,当时，,、导矢的几何意义,是在的割线上的一个,矢量。,系指向对应值增大的一方；,但此时指向对应减少的一方,从而仍指向对应值增大的一方。,其指向与一致,其指向与相反,在时，由于割线绕点转动，,当其不为零时，是在点处的切线上，,以点的切线为其极限位置，,矢量，,此时，在割线上的,且,其极限位置也在它的切线上，,即导矢,方向恒指向对应增大的一方。,且其,导矢在几何上，为一矢端曲线的切向量,指向对应增大的一方,（）微分的概念与几何意义,设有矢性函数，称,为矢性函数在处的微分。,由于微分是导矢与增量,当时，与的方向一致；,当时，与的方向相反。,其指向：,3、矢性函数的微分,的乘积，,则它是一个矢量，,而且与,导矢一样，,也在点处与,的矢端曲线相切。,微分的坐标表示式,或,例.设,求：及,解：,（2）的几何意义,如果将矢性函数看作其,这里，,其模,终点的矢径函数,则（2.5）式可写为,符号的取法：以点M为界,另一方面，,则在上任一点处，弧长的微分是,当ds位于s增大一方时，取正号；,当ds位于s减小一方时，取负号。,（规定了正方向）上，,作为计算弧长的起点，,并以之正向作为增大的方向，,若在有向曲线,取定一点,由此知,即矢性函数的微分的模，,得,结合导矢的几何意义知：,例10 例4，例5,微分的绝对值。,等于（其矢端曲线）弧,从而由,端曲线的）弧长的导数在几何上为一切线方,向单位矢量，,方向恒指向增大的一方。,矢性函数对（其矢,、矢性函数的导数公式,（k为常数）,设矢性函数及数性函数,在的某个范围内可导，,该范围内成立,则下列公式在,特例：,证明方法与微积分中数性函数的公式类似,复合函数求导公式：若，则,两端对求导（左端用公式（）的特例），得,证明：必要性,若，则有,即常数，所以常数,例.矢性函数的模不变的充要条件是,设常数.则有常数,充分性,证毕.,此例可简单地叙述,如，例中的圆函数，有,定长矢量与其导矢互相垂直,例.导矢的物理意义,设质点在空间运动，,这个函数的矢端曲线就是质点的运动轨迹.,如图,的函数关系为,为了说明的物理意义，,式中的几何意义是：,时位于点处，,，其间在上所经过的路程为，,的矢径为路程的函数，,数，,而成为时间的一个复合函数。,导公式有,假设质点在时刻,经过一段时间后到达点,这样，点,而又是时间的函,从而可以将看作是通过中间变量,由复合函数的求,在点处的一个切向单位,矢量，,指向增大的一方。,因此它表示在点处,质点运动的方向，,现以表之。,而式中的是路程对时间的变化率。所以它表示在点处质点运动的速度大小，如以表之，则,若定义二阶导矢，则为质点运动的加速度矢量。,由此可见，导矢表示质点运动的速度大小和方向，因而它就是质点运动的速度矢量即,例.一质点以常角速度在圆周上运,其中为速度的模。,证明：,由于,所以,其中为角速度的模，已知其为常数,加速度,证毕.,动，证明其加速度为,