电路第五版ppt课件 第八章相量法.ppt

第八章 相量法,复数F 可用复平面上的有向线段来表示。该有向线段的长度|F|称为复数F的模，该有向线段与实轴正方向的夹角q 称为复数F的辐角。,8-1 复数,F=a+jb,复数F的实部a及虚部b与模及辐角q 的关系为：,1.复数的表示形式,(1)代数形式 A=a+jb(2)指数形式,(3)三角函数形式,(4)极坐标形式,A=|A|(cosq+jsinq)a=|A|cosq，b=|A|sinq,A=|A|e jq,其中e jq=cosq+jsinq,例：把复数F=6+j8化为三角函数式、指数式和极坐标式。,三角函数式：,解：,指数式：,极坐标式：,2.复数的运算（1）相等：代数式：实部相等，虚部相等极坐标式：模相等，辐角相等（2）加、减：实部相加减，虚部相加减如果是其他形式表示的复数，应先化成代数式（3）乘法：模相乘，辐角相加如果是其他形式表示的复数，应先化成极坐标式（4）除法：模相除，辐角相减如果是其他形式表示的复数，应先化成极坐标式,1.A1=3+j4,A2=2+j，求 A=A1+A2，并化成极坐标式。,2.A1=6+j8，A2=4-j3，求 A=A1/A2并化成代数式。,【例】,2023年1月22日星期日,7,3.旋转因子ejq,旋转因子 ejq=1q是一个模等于1，辐角为q的复数。任意一个复数A=|A|ej乘以ejq，等于把A逆时针旋转q角度，而模|A|保持不变。,都是旋转因子,Aj=jA，等于把 A逆时针旋转90o。,=-jA，等于把 A,顺时针旋转90。,e jp=-1,A(-1)=-A，等于把 A旋转180o。,8-2 正弦量,电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称正弦量。研究正弦电路的意义是正弦交流电有很多优点，使它应用广泛。例如：,可以根据需要，利用变压器方便地把正弦电压升高 或降低；电机、变压器等电气设备，在正弦交流电下具有较 好的性能；正弦量对时间的导数、积分、几个同频率正弦量的 加减，其结果仍是同频率的正弦量，这不仅使电路 的分析计算变得简单，而且其结果还可以推广到非 正弦周期电流电路中。,2023年1月22日星期日,9,正弦量的时域表达式有两种形式,i=Imcos(wt+fi)i=Imsin(wt+fi)也称为瞬时值表达式分析时不可混用，以免发生相位错误。今后采用的形式以教材为准：i=Imcos(wt+fi)u=Umcos(wt+fu),设正弦交流电流：,幅值、角频率、初相角成为正弦量的三要素。,1.正弦量的三要素（以电流为例）,i=Imcos(wt+fi),相位角,瞬时值正弦量任意瞬间的值（用i、u、e表示）幅值 瞬时值之中的最大值（用Im、Um、Em表示）,2、幅值和有效值,在放大器参数中有时用峰-峰值表达。,峰-峰值2Im,i=Imcos(wt+fi),2023年1月22日星期日,12,有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。,T,1,0,T,i2 dt,通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定：,I2RT=,0,T,i2R dt,把 i=Imcos(wt+fi)代入上式计算可以得到：,正弦量的有效值与振幅之间的关系：,Im=,2,I,同理可得：,若一交流电压有效值为,U=220V，,则其最大值为Um311V。,2023年1月22日星期日,13,工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。区分电流、电压的瞬时值，幅值和有效值的符 号：i、u；Im、Um；I、U。,需要注意的是,另外注意：IM(Imax)指最大有效值。,2023年1月22日星期日,14,3.角频率w、频率f、周期T,w：指正弦量单位时间内变化的电角度，单位rad/s。,f：正弦量每秒钟变化的次数，单位是Hz。,w、f、T 之间的关系,w=2pf,f=,T,1,在工程中，常用频率区分电路：如工频、音频、中频、高频、微波电路等。,反映正弦量变化快慢的参数。,i=Imcos(wt+fi),wT=2p,T：正弦量变化一次所需要的时间，单位s。,小常识,*音频信号频率：20HZ20kHZ*有线通讯频率：300-5000 Hz*无线通讯频率：30 kHz-3104 MHz*电网频率：中国 50 Hz（工频）美国、日本 60 Hz,为什么将工频定为50HZ?,人眼对光的感觉是有惯性的（视觉暂留现象）。如果用5HZ的交流电来照明，那么白炽灯泡将是一灭一暗地闪烁，给人一种错乱的感觉。也就是说，5HZ的交流电其变化时间已经大于人眼的惯性时间。如果把频率提高到2030HZ时，人眼就不会感觉到灯泡的闪烁了。从这一点上来说，30HZ是一个合适的下限频率。频率的上限也并非越高越好，太高了也会引起麻烦。比如用2000HZ，一切电机中的铁损将增加401600倍，输电线将对电话线产生感应噪声，使通话受到干扰。1900年，英国当地规定的电力系统中发电机的最高转速是3000r/min，对应的频率就是50HZ。50HZ是一个整齐的数字，便于记忆、运算。后来，随着科技的发展，采用的频率有升高的倾向。如美国根据欧洲的经验采用了60HZ。倘若现在允许重新选择频率的话，也许人们要选择70HZ或80HZ了。,2023年1月22日星期日,17,4.初相角fi,注意同一正弦量，计时起点 不同，初相位不同。,常取主值：|fi|180o,对任一正弦量，初相可以任意指定。但对多个同频率正弦量，应相对于同一个计时起点确定各自的相位。,fi 反映正弦量的计时起点，定义为从靠近原点的最大值到原点的距离用角度来表示。,i=Imcos(wt+fi),若正最大值发生在计时起点左侧，则初相位为正，右侧为负。,t=0时，正弦量的相位角(wt+fi)=fi,则其相位差为：,设：i=Imcos(wt+fi),u=Umcos(wt+fu),5.相位差两个同频率正弦量的相位之差。,j=(wt+fi)-(wt+fu),=fi-fu,表明：相位差与时间无关。,一般取主值：|j|180,(1)j 0，称 i 超前 u，表明 i 比 u 先达到最大值；,(2)j 0，称 i 滞后 u，表明 u 比 i 先达到最大值；,在同一个周期内两波形与横坐标轴的两个交点之间的坐标差值即为两者的相位差，先到达最大值的为超前波。,u超前 i,j=0，u与i同相,j=180o，u与i反相,特殊相位关系,(2)不同频率的正弦量之间的相位比较无意义。,注意：两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计 时的选择起点无关。,例：计算下列两正弦量的相位差。,解,不能比较相位差,注意：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。,2023年1月22日星期日,22,8-3 相量法的基础,在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复，通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化。,相量表示法的实质是用复数表示正弦量，是求解正弦电路稳态响应的有效工具。,（1）问题的提出,两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算：,1.相量,i3,同频率的正弦量相加仍得到同频率的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值（或最大值）。因此采用,结论：,由数学知识可知：任意一个正弦函数都有唯一的复数与其对应。,（2）正弦量的相量表示,可用复数表示正弦量,相量表示法的实质：用复数表示正弦量,注意：相量包含了两个要素：U、；正弦函数包含了三要素：U、w。,相量,在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量，则响应也都是与激励同频率的正弦量。在分析过程中，考虑的主要问题是：求幅值或有效值，初相或相位差。,正弦量与相量的关系是一种数学变换关系,不是相等的关系！,如：u=Umcos(wt+f),最大值的相量,两者之间的关系为,今后如无特别说明，均指有效值相量。,有效值的相量,在复平面上用向量表示相量的图,相量在复平面上的表示图为相量图。其中有向线段的长度为其有效值（或最大值），线段与横轴之间的夹角为其初相位。相量图中一般把与实轴方向相同的相量为参考相量，其辐角为零。,为使相量图中各相量间的关系更清楚，坐标轴往往不必画出，参考相量仍然画在图中。,注意：只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上,2.相量图,解:(1)相量式,(2)相量图,例1:将 u1、u2 用相量表示,提示,计算相量的相位角时，要注意所在象限。,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,2023年1月22日星期日,31,3.相量的性质,(1)线性性质,k1 i1 k2 i2,若 i1=Im1 cos(wt+fi1),i2=Im2 cos(wt+fi2),则 i=i1+i2,.Im,=,.Im1,.Im2,+,.Im1=Im1,fi1,.Im2=Im2,fi2,相量也具有比例性质：,由叠加性质和比例性质可知,这是叠加性质,k i1,.Im1,k,(k1,.I1 k2,.I2),2023年1月22日星期日,32,(2)微分性质,设 i=Imcos(wt+fi),di,dt,=-wImsin(wt+fi),.Im=Im,fi,正弦量的微分是一个同频正弦量，时域内的一次,其结果：模是原来的w倍，相位比原相量超前90。,微分，对应于相量域内乘以jw。,=wImcos(wt+fi+90),2023年1月22日星期日,33,(3)积分性质,积分，对应于相量域内除以jw（或乘以-jw）。,正弦量的积分是一个同频正弦量，时域内的一次,设 i=Imcos(wt+fi),idt=,w,Im,sin(wt+fi),则,其结果是模变为(Im/w)，相位比原相量滞后90o。,2023年1月22日星期日,34,例,解：,jw,.I1m,=3140,cos(314t+150o),jw,.I2m,=,所以,=0.07,cos(314t+120o),=4440.6 cos(314t+150o),=0.1 cos(314t+120o),2023年1月22日星期日,35,求i1+i2,所以,则,例,用相量运算：,把时域问题变为复数问题；,把微积分方程的运算变为复数方程运算；,可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。,相量法的优点,8-4 电路定律的相量形式,设元件两端的电压和电流均采用关联参考方向，电压、电流的瞬时表达式分别为：,则,VCR、KCL和KVL,（1）时域关系：,（2）有效值的关系：,则,8.4.1 三种基本元件的VCR,1.电阻元件,（4）相量的关系：,（3）相位的关系：,电压电流同相!,.UR,.UR,.IR,fu=fi,相量图,（1）时域关系：,则,2.电感元件,（2）有效值的关系：,（3）相位的关系：,电压超前于电流90!,（4）相量的关系：,电压U 一定时，wL越大电流I越小，可见它对电流起阻碍作用,定义为感抗。感抗XL与电感L、频率f 成正比。,令,直流电 0，XL0，电感对直流电相当于短路。,单位为。,B L=1/wL，称为感纳，单位为 S。,3.电容元件,（1）时域关系：,则,（2）有效值的关系：,（3）相位的关系：,（4）相量的关系：,容抗|XC|与电容C，频率成反比；,令XC=1/w C，称为容抗，单位为。,B C=w C，称为容纳，单位为 S。,直流电 f0，|XC|，电容对直流相当于开路。电容具有隔直通交的作用。,2023年1月22日星期日,43,电感元件,由微分性质,UL=L(jw)IL,.,.,电容元件,微分性质,IC=C(jw UC),.,.,.UC,jwC,1,.IC,=,分析方法2：,微分性质,单一参数正弦交流电路的基本关系时域：有效值：相量：,2023年1月22日星期日,45,8.4.2 受控源的相量表示,控制系数、g、r 和 都是常数，因此，根据相量的比例性质，可以直接用与正弦量对应的相量表示。,用相量表示的CCCS,用瞬时值表示的CCCS,2023年1月22日星期日,46,8.4.3.基尔霍夫定律的相量形式,同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL和 KVL可用相应的相量形式表示：,i(t)=0,u(t)=0,线性性质,.I=0,.U=0,表明：流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足KVL。,2023年1月22日星期日,47,例：试判断下列表达式的正、误。,1.u=wLi,U=wLI,2.i=5coswt=5,0o A,3.,.Im=jwCUm,.,4.L=,.UL,.IL,L=,U,I,=,Um,Im,5.,.UC,.IC,=jwC,=,1,jwC,.UL=jwLIL,6.,7.u=C,di,dt,u=L,di,dt,2023年1月22日星期日,48,求电源电流i(t)。,0,u(t)=120,cos(5t)V，,解：电压源电压的相量为：,U,.,=120,V,wC,1,=,50.02,1,=10W,wL=54,=20W,=,R,=,120,15,=8 A,=,-j,=,wC,1,-j10,120,=j12 A,=,jwL,=,j20,120,=-j6 A,=,+,+,=8+j12-j6 A,容抗,感抗,则,已知电源电压,2023年1月22日星期日,49,37,=8+j6,=10,A,i(t)=10,cos(5t+37)A,37,相量图如下：,解：设,例：已知电流表A1、A2的读数均为10A，求A读数。,U,.,则,=,=,=,包含R,不包含R,2023年1月22日星期日,51,本章结束,