电磁场与电磁波第四章课件.ppt

一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,平面镜像法,镜像电荷,电位函数,因z=0时，,q,有效区域,q,2.线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。,电位函数,原问题,当z=0时，,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2),只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,球面镜像法,1.点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径为a 的接地导体球外，距球心为d。,P,q,a,r,R,d,导体球电位为零,点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d(d a)。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。与镜像电荷q 应位于导体球壳外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到,|q|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量,球壳内的电位,感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为,导体球面的内表面上上的总感应电荷为,可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。,2.点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d。,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即,球外任意点的电位为,q,P,a,q,r,R,R,d,d,q,一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,圆柱面镜像法,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为 的无限长线电荷位于半径为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,1.线电荷对接地导体圆柱面的镜像,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,所以有,设镜像电荷的线密度为，且距圆柱的轴线为，则由 和 共同产生的电位函数,由于上式对任意的都成立，因此，将上式对 求导，可以得到,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷为,导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。,例 有一接地导体球壳，内外半径分别为a1和a2，在球壳内外各 有一点电荷q1和q2，与球心距离分别为d1和d2，如图所示。求：球壳外、球壳中和球壳内的电位分布。,球壳外：边界为r=a2的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳外区域任一点电位为,解：,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,球壳内：边界为r=a1的导体球面，边界条件为根据球面镜像原理，镜像电荷 的位置和大小分别为球壳内区域任一点电位为,球壳中：球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。,用镜像法解题时，一定要注意待求区域及其边界条件，对边界以外的情况不予考虑。,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,2.带有等量异号电荷的平行长直导体圆柱间的镜像,设想将两导体圆柱面上的电荷用两根平行的线电荷等效，线电荷密度分别为 和，其位置如图所示。,其等位面是许多圆柱面，若让其中两个等位面分别与两圆柱面重合，即满足两导体柱面为等位面的边界条件。根据惟一性定理，待求区域中的场就由这两个等效线电荷产生。,两电轴在空间产生的电位为等位面方程为,通常把这两个等效的线电荷称为电轴，该方法也称为电轴法,一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,平面介质镜像法（电介质）,特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,问题：如图 1 所示，介电常数分别为 和 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q，距分界平面为h。,分析方法：计算电介质 1 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图2所示。,介质1中的电位为,计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为,可得到,说明：对位于无限大表面介质分界面附近、且平行于分界面的无限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。,问题：如图1所示，磁导率分别为 和 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h。,分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图2所示。,平面介质镜像法（磁介质）,因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为,在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为 的均匀介质，如图3所示。,相应的磁场可由 求得。,可得到,故,利用矢量磁位满足的边界条件,作业：4-3，4-4，4-5,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量法解题的基本思路：,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,根据给定的边界形状，选择适当的坐标系，正确写出该坐标系下拉普拉斯的表达式，及给定的边界条件。经变量分离将偏微分方程化简为常微分方程，并给出常微分方程的通解，其中含有待定常数。利用给定的边界条件，确定通解中的待定常数，获得满足边界条件的特解。,一、边值问题的分类,二、唯一性定理,三、镜像法,电磁场与电磁波,第四章 静态场的解,四、分离变量法,直角坐标系中分离变量法,本征方程的求解(1)当 时,本征函数,本征方程,本征值,(2)当 时，设,或,由,本征方程为：,则：,直角坐标系中分离变量法,(3)当 时，设,由,本征方程为：,或,则：,直角坐标系中分离变量法,应用叠加定理，可将三种解叠加组成拉普拉斯方程的通解,三种解的特点：第一种解中，X(x)和Y(y)为常数或线性函数，说明它们最多只有一个零点；第二种解中，X(x)为三角函数，有多个零点，Y(y)为双曲函数，最多只有一个零点；第三种解中，X(x)为双曲函数，最多有一个零点，而Y(y)为三角函数，有多个零点。,直角坐标系中分离变量法,解:选直角坐标系，电位函数满足二维拉普拉斯方程 边界条件：,例：一接地金属槽如图所示，其侧壁和底壁电位均为零，顶盖与侧壁绝缘，其电位为U0，求槽内电位分布。,直角坐标系中分离变量法,设，代入式(1)中得:,根据边界条件(2)与(3)可知，函数X(x)沿x方向有两个零点，因此X(x)应为三角函数形式，又因为X(0)=0，所以X(x)应选取正弦函数，即,由边界条件(3)得：,直角坐标系中分离变量法,对应的Y(y)函数为双曲函数，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式为,此时，电位可表示为由边界条件(5)知 其中：,直角坐标系中分离变量法,对上式两边同乘以，再对x从0到a进行积分，即,直角坐标系中分离变量法,满足边界条件的特解为：,直角坐标系中分离变量法,例:一矩形区域边界条件如图所示，求区域内的电位分布。,解:从图可见，在 x=0 和 x=a 的两个边界上出现非零情况，将原问题分解为如图所示两种边界条件情况。令,直角坐标系中分离变量法,(1)求：,类似于“例5”求解过程，形式为：,由非零边界条件确定,则：,直角坐标系中分离变量法,可见，当m3时，当m3时：,(2)求：,其解为：,由非零边界条件得,则：,直角坐标系中分离变量法,三维拉普拉斯方程,根据本征值的不同取值，可以得到类似于二维情况的解的形式。,直角坐标系中分离变量法,