大连理工通信原理ppt课件 第8章.ppt

1,通信原理,第8章差错控制编码,2,第8章差错控制编码,8.1 概述 差错控制编码即纠错编码，或信道编码。信道分类：从差错控制角度看随机信道：错码的出现是随机的 突发信道：错码是成串集中出现的混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 差错控制技术的种类 检错重发前向纠错 反馈校验检错删除,3,第8章差错控制编码,差错控制编码：常称为纠错编码监督码元：上述4种技术中除第3种外，都是在接收端识别有无错码。所以在发送端需要在信息码元序列中增加一些差错控制码元，它们称为监督码元。不同的编码方法，有不同的检错或纠错能力。多余度：就是指增加的监督码元多少。例如，若编码序列中平均每两个信息码元就添加一个监督码元，则这种编码的多余度为1/3。编码效率(简称码率)：设编码序列中信息码元数量为k，总码元数量为n，则比值k/n 就是码率。冗余度：监督码元数(n-k)和信息码元数 k 之比。理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提高传输可靠性。,4,第8章差错控制编码,分组码的码重和码距码重：把码组中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重。码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离，简称码距。码距又称汉明距离。例如，“000”晴，“011”云，“101”阴，“110”雨，4个码组之间，任意两个的距离均为2。最小码距：把某种编码中各个码组之间距离的最小值称为最小码距(d0)。例如，上面的编码的最小码距d0=2。,5,第8章差错控制编码,码距和检纠错能力的关系一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力为检出e个错码，要求最小码距 d0 e+1为纠正t个错码，要求d02t+1为纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码距,6,第8章差错控制编码,8.2 线性分组码基本概念代数码：建立在代数学基础上的编码。线性码：按照一组线性方程构成的代数码。在线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的。线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码。现以汉明码为例引入线性分组码的一般原理。,7,第8章差错控制编码,汉明码能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码汉明码的构造原理。在偶数监督码中，由于使用了一位监督位a0，它和信息位an-1 a1一起构成一个代数式：在接收端解码时，实际上就是在计算若S=0，就认为无错码；若S=1，就认为有错码。现将上式称为监督关系式，S称为校正子。由于校正子S只有两种取值，故它只能代表有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。,8,第8章差错控制编码,若监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似的监督关系式。由于两个校正子的可能值有4种组合：00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中1种组合表示无错，则其余3种组合就有可能用来指示一个错码的3种不同位置。同理，r个监督关系式能指示1位错码的(2r 1)个可能位置。一般来说，若码长为n，信息位数为k，则监督位数rnk。如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示1位错码的n种可能位置，则要求下面通过一个例子来说明如何具体构造这些监督关系式。,9,第8章差错控制编码,例：设分组码(n,k)中k=4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数 r 3。若取 r=3，则n=k+r=7。我们用a6 a5 a0表示这7个码元，用S1、S2和S3表示3个监督关系式中的校正子，则S1、S2和S3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所列：,10,第8章差错控制编码,由表中规定可见，仅当一位错码的位置在a2、a4、a5或a6时，校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系：同理，a1、a3、a5和a6构成偶数监督关系：以及a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系,11,第8章差错控制编码,在发送端编码时，信息位a6、a5、a4和a3的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督位a2、a1和a0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上3式中S1、S2和S3的值为0（表示编成的码组中应无错码）：上式经过移项运算，解出监督位给定信息位后，可以直接按上式算出监督位，结果见下表：,12,第8章差错控制编码,13,第8章差错控制编码,接收端收到每个码组后，先计算出S1、S2和S3，再查表判断错码情况。例如，若接收码组为0000011，按上述公式计算可得：S1=0，S2=1，S3=1。由于S1 S2 S3 等于011，故查表可知在a3位有1错码。按照上述方法构造的码称为汉明码。表中所列的(7,4)汉明码的最小码距d0=3。因此，这种码能够纠正1个错码或检测2个错码。由于码率k/n=(n-r)/n=1 r/n，故当n很大和r很小时，码率接近1。可见，汉明码是一种高效码。,14,第8章差错控制编码,线性分组码的一般原理线性分组码的构造H矩阵上面(7,4)汉明码的例子有现在将上面它改写为上式中已经将“”简写成“+”。,15,第8章差错控制编码,上式可以表示成如下矩阵形式：上式还可以简记为H AT=0T 或A HT=0,16,第8章差错控制编码,H AT=0T 或A HT=0式中 A=a6 a5 a4 a3 a2 a1 a00=000右上标“T”表示将矩阵转置。例如，HT是H的转置，即HT的第一行为H的第一列，HT的第二行为H的第二列等等。将H称为监督矩阵。只要监督矩阵H给定，编码时监督位和信息位的关系就完全确定了。,17,第8章差错控制编码,H矩阵的性质：1)H的行数就是监督关系式的数目，它等于监督位的数目r。H的每行中“1”的位置表示相应码元之间存在的监督关系。例如，H的第一行1110100表示监督位a2是由a6 a5 a4之和决定的。H矩阵可以分成两部分，例如 式中，P为r k阶矩阵，Ir为r r阶单位方阵。我们将具有P Ir形式的H矩阵称为典型阵。,18,第8章差错控制编码,2)由代数理论可知，H矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r个线性无关的监督关系式，从而也得不到 r个独立的监督位。若一矩阵能写成典型阵形式P Ir，则其各行一定是线性无关的。因为容易验证Ir的各行是线性无关的，故P Ir的各行也是线性无关的。G矩阵：上面汉明码例子中的监督位公式为也可以改写成矩阵形式：,19,第8章差错控制编码,或者写成式中，Q为一个k r阶矩阵，它为P的转置，即 Q=PT 上式表示，在信息位给定后，用信息位的行矩阵乘矩阵Q就产生出监督位。,20,第8章差错控制编码,我们将Q的左边加上1个k k阶单位方阵，就构成1个矩阵G G称为生成矩阵，因为由它可以产生整个码组，即有或者因此，如果找到了码的生成矩阵G，则编码的方法就完全确定了。具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位的位置不变，监督位附加于其后。这种形式的码称为系统码。,21,第8章差错控制编码,G矩阵的性质：1)G矩阵的各行是线性无关的。因为由上式可以看出，任一码组A都是G的各行的线性组合。G共有k行，若它们线性无关，则可以组合出2k种不同的码组A，它恰是有k位信息位的全部码组。若G的各行有线性相关的，则不可能由G生成2k种不同的码组了。2)实际上，G的各行本身就是一个码组。因此，如果已有k个线性无关的码组，则可以用其作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。,22,第8章差错控制编码,错码矩阵和错误图样 一般说来，A为一个n列的行矩阵。此矩阵的n个元素就是码组中的n个码元，所以发送的码组就是A。此码组在传输中可能由于干扰引入差错，故接收码组一般说来与A不一定相同。若设接收码组为一n列的行矩阵B，即则发送码组和接收码组之差为B A=E(模2)它就是传输中产生的错码行矩阵 式中,23,第8章差错控制编码,因此，若ei=0，表示该接收码元无错；若ei=1，则表示该接收码元有错。B A=E 可以改写成 B=A+E例如，若发送码组A=1000111，错码矩阵E=0000100，则接收码组B=1000011。错码矩阵有时也称为错误图样。,24,第8章差错控制编码,校正子S当接收码组有错时，E 0，将B当作A代入公式(A H T=0)后，该式不一定成立。在错码较多，已超过这种编码的检错能力时，B变为另一许用码组，则该式仍能成立。这样的错码是不可检测的。在未超过检错能力时，上式不成立，即其右端不等于0。假设这时该式的右端为S，即B H T=S将B=A+E代入上式，可得S=(A+E)H T=A H T+E H T由于A HT=0，所以S=E H T式中S称为校正子。它能用来指示错码的位置。S和错码E之间有确定的线性变换关系。若S和E之间一一对应，则S将能代表错码的位置。,25,第8章差错控制编码,线性分组码的性质封闭性：是指一种线性码中的任意两个码组之和仍为这种码中的一个码组。这就是说，若A1和A2是一种线性码中的两个许用码组，则(A1+A2)仍为其中的一个码组。这一性质的证明很简单。若A1和A2是两个码组，则有A1 HT=0,A2 HT=0将上两式相加，得出A1 HT+A2 HT=(A1+A2)HT=0所以(A1+A2)也是一个码组。由于线性码具有封闭性，所以两个码组(A1和A2)之间的距离（即对应位不同的数目）必定是另一个码组(A1+A2)的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）。,26,第8章差错控制编码,8.3 循环码8.3.1 循环码原理循环性：循环性是指任一码组循环一位（即将最右端的一个码元移至左端，或反之）以后，仍为该码中的一个码组。在下表中给出一种(7,3)循环码的全部码组。例如，表中的第2码组向右移一位即得到第5码组；第6码组向右移一位即得到第3码组。,27,第8章差错控制编码,一般说来，若(an-1 an-2 a0)是循环码的一个码组，则循环移位后的码组(an-2 an-3 a0 an-1)(an-3 an-4 an-1 an-2)(a0 an-1 a2 a1)也是该编码中的码组。,28,第8章差错控制编码,1.码多项式码组的多项式表示法把码组中各码元当作是一个多项式的系数，即把一个长度为n的码组表示成例如，上表中的任意一个码组可以表示为其中第7个码组可以表示为这种多项式中，x仅是码元位置的标记，例如上式表示第7码组中a6、a5、a2和a0为“1”，其他均为0。因此我们并不关心x的取值。,29,第8章差错控制编码,码多项式的按模运算在整数运算中，有模n运算。例如，在模2运算中，有1+1=2 0(模2)，1+2=3 1(模2)，2 3=6 0(模2)等等。一般说来，若一个整数m可以表示为式中，Q 整数，则在模 n 运算下，有m p(模n)即，在模 n 运算下，一个整数m等于它被 n 除得的余数。,30,第8章差错控制编码,在码多项式运算中也有类似的按模运算。若一任意多项式F(x)被一 n 次多项式N(x)除，得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x)，即则写为这时，码多项式系数仍按模2 运算，即系数只取 0 和1。例如，x3被(x3+1)除，得到余项1。所以有同理因为,应当注意，由于在模2运算中，用加法代替了减法，故余项不是x2 x+1，而是x2+x+1。,31,第8章差错控制编码,2.循环码的生成矩阵G由公式可知，有了生成矩阵G，就可以由k个信息位得出整个码组，而且生成矩阵G的每一行都是一个码组。例如，在此式中，若a6a5a4a3=1000，则码组A就等于G的第一行；若a6a5a4a3=0100，则码组A就等于G的第二行；等等。由于G是k行n列的矩阵，因此若能找到k个已知码组，就能构成矩阵G。如前所述，这k个已知码组必须是线性不相关的，否则给定的信息位与编出的码组就不是一一对应的。在循环码中，一个(n,k)码有2k个不同的码组。若用g(x)表示其中前(k-1)位皆为“0”的码组，则g(x)，x g(x)，x2 g(x)，xk-1 g(x)都是码组，而且这k个码组是线性无关的。因此它们可以用来构成此循环码的生成矩阵G。,32,第8章差错控制编码,因此，循环码的生成矩阵G可以写成 例：在上表所给出的(7,3)循环码中，n=7,k=3,n k=4。由此表可见，唯一的一个(n k)=4次码多项式代表的码组是第二码组0010111，与它相对应的码多项式（即生成多项式）g(x)=x4+x2+x+1。将此g(x)代入上式，得到或,33,第8章差错控制编码,由于上式不符合G=IkQ的形式，所以它不是典型阵。不过，将它作线性变换，不难化成典型阵。我们可以写出此循环码组，即上式表明，所有码多项式T(x)都可被g(x)整除，而且任意一个次数不大于(k 1)的多项式乘g(x)都是码多项式。需要说明一点，两个矩阵相乘的结果应该仍是一个矩阵。上式中两个矩阵相乘的乘积是只有一个元素的一阶矩阵，这个元素就是T(x)。为了简洁，式中直接将乘积写为此元素。,34,第8章差错控制编码,3.如何寻找任一(n,k)循环码的生成多项式 由上式可知，任一循环码多项式T(x)都是g(x)的倍式，故它可以写成T(x)=h(x)g(x)而生成多项式g(x)本身也是一个码组，即有 T(x)=g(x)由于码组T(x)是一个(n k)次多项式，故xk T(x)是一个n次多项式。由下式可知，xk T(x)在模(xn+1)运算下也是一个码组，故可以写成,35,第8章差错控制编码,上式左端分子和分母都是n次多项式，故商式Q(x)=1。因此，上式可以化成将T(x)和T(x)表示式代入上式，经过化简后得到上式表明，生成多项式g(x)应该是(xn+1)的一个因子。这一结论为我们寻找循环码的生成多项式指出了一条道路，即循环码的生成多项式应该是(xn+1)的一个(n k)次因式。例如，(x7+1)可以分解为为了求(7,3)循环码的生成多项式g(x)，需要从上式中找到一个(n k)=4次的因子。不难看出，这样的因子有两个，即,36,第8章差错控制编码,以上两式都可作为生成多项式。不过，选用的生成多项式不同，产生出的循环码码组也不同。,37,第8章差错控制编码,8.3.2 循环码的编解码方法1.循环码的编码方法编码原则在编码时，首先要根据给定的(n,k)值选定生成多项式g(x)，即从(xn+1)的因子中选一个(n-k)次多项式作为g(x)。由于所有码多项式T(x)都可以被g(x)整除。根据这条原则，就可以对给定的信息位进行编码：设m(x)为信息码多项式，其次数小于k。用xn-k乘m(x)，得到的xn-k m(x)的次数必定小于n。用g(x)除xn-k m(x)，得到余式r(x)，r(x)的次数必定小于g(x)的次数，即小于(n k)。将此余式r(x)加于信息位之后作为监督位，即将r(x)和xn-k m(x)相加，得到的多项式必定是一个码多项式。因为它必须能被g(x)整除，且商的次数不大于(k 1)。,38,第11章差错控制编码,编码步骤：用xn-k乘m(x)。这一运算实际上是在信息码后附加上(n k)个“0”。例如，信息码为110，它相当于m(x)=x2+x。当n k=7 3=4时，xn-k m(x)=x4(x2+x)=x6+x5，它相当于1100000。用g(x)除xn-k m(x)，得到商Q(x)和余式r(x)，即例如，若选定g(x)=x4+x2+x+1，则 上式相当于,39,第11章差错控制编码,编出的码组T(x)为T(x)=xn-k m(x)+r(x)在上例中，T(x)=1100000+101=1100101，它就是上表中的第7码组。,40,第8章差错控制编码,2.循环码的解码方法解码要求：检错和纠错。检错解码原理：由于任意一个码组多项式T(x)都应该能被生成多项式g(x)整除，所以在接收端可以将接收码组R(x)用原生成多项式g(x)去除。当传输中未发生错误时，接收码组与发送码组相同，即R(x)=T(x)，故接收码组R(x)必定能被g(x)整除；若码组在传输中发生错误，则R(x)T(x)，R(x)被g(x)除时可能除不尽而有余项，即有因此，就以余项是否为零来判别接收码组中有无错码。需要指出，有错码的接收码组也有可能被g(x)整除。这时的错码就不能检出了。这种错误称为不可检错误。不可检错误中的误码数必定超过了这种编码的检错能力。,41,第8章差错控制编码,纠错解码原理：为了能够纠错，要求每个可纠正的错误图样必须与一个特定余式有一一对应关系。因为只有存在上述一一对应的关系时，才可能从上述余式唯一地决定错误图样，从而纠正错码。因此，原则上纠错可按下述步骤进行：用生成多项式g(x)除接收码组R(x)，得出余式r(x)。按余式r(x)，用查表的方法或通过某种计算得到错误图样E(x)；例如，通过计算校正子S和查表，就可以确定错码的位置。从R(x)中减去E(x)，便得到已经纠正错码的原发送码组T(x)。通常，一种编码可以有几种纠错解码方法，上述解码方法称为捕错解码法。目前多采用软件运算实现上述编解码运算。,42,第8章差错控制编码,8.4 卷积码非分组码概念：卷积码是一种非分组码。通常它更适用于前向纠错，因为对于许多实际情况它的性能优于分组码，而且运算较简单。卷积码在编码时虽然也是把k个比特的信息段编成n个比特的码组，但是监督码元不仅和当前的k比特信息段有关，而且还同前面m=(N 1)个信息段有关。所以一个码组中的监督码元监督着N个信息段。通常将N称为编码约束度，并将nN称为编码约束长度。一般说来，对于卷积码，k 和 n 的值是比较小的整数。我们将卷积码记作(n,k,N)。码率则仍定义为k/n。,43,第8章差错控制编码,8.3.1 卷积码的基本原理编码器原理方框图,44,第8章差错控制编码,例：(n,k,N)=(3,1,3)卷积码编码器方框图设输入信息比特序列是bi-2 bi-1 bi bi+1，则当输入bi时，此编码器输出3比特ci di ei，输入和输出的关系如下：,45,第8章差错控制编码,在下图中用虚线示出了信息位bi的监督位和各信息位之间的约束关系。这里的编码约束长度nN等于9。,46,第8章差错控制编码,8.4.2 卷积码的代数表述上式表示卷积码也是一种线性码。一个线性码完全由一个监督矩阵H或生成矩阵G所确定。卷积码的几何表述,47,第8章差错控制编码,本章考点,