岩石力学岩体的本构关系与强度理论课件.pptx

第5章 岩体的本构关系与强度理论,5.1 弹性体的本构关系,1、空间问题,2、平面应力问题,3、平面应变问题,材料进入塑性后的特点：应力应变关系非线性、非一一对应性；应变与应力状态有关，还与变形历史有关。考虑变形历史，研究应力和应变增量的关系-增量理论。1、基本假定：应变偏量增量与应力偏量成正比 材料不可压缩 材料是理想刚塑性 材料满足Mises 屈服条件2、应变增量的Lode参数与形式指数Lode试验 Lode参数代表Mohr圆心的相对位置,5.2 塑性体本构关系,类似地,应力空间的概念 Haigh-Westgaard应力空间等效应力应力形式指数（应力状态特征角）在平面上，等效应力i与最大主应力投影方向1的夹角,、应力Lode参数与应变增量Lode参数的关系 对于一系列的应力和应变增量，可求出相应的Lode参数 试验得出结论、应力形式指数与应变增量形式指数的关系,3、Levy-Mises本构方程 因为0=0，所以eij=ij，ij=0ij+eij应变偏量的增量与应力偏量的关系 由假定，并参照Page57和Page21材料符合Mises准则，由假定,在非主应力的情况下 应变增量的主轴与应力增量的主轴是重合的 且ex=x，ey=y 上式即为Levy-Mises本构关系 讨论：已知三个正应力，可求出其正应力的偏量（Page 30)因而可求出应变偏量增量之间的比值，还不能求出其具体值 如果已知主轴方向应变偏量的增量，可以求相应方向应力偏量 若再给出平均应力0，则可求出三个主应力 适用条件：弹性变形可忽略的金属加工中。,4、Prandtl-Reuss本构方程 总应变等于弹性与塑性应变之和，其增量表示为 展开以后：Mises屈服条件变换形式,（）,将上式改写成如下形式 等式两边取微分 sx、sy、sz分别乘以（）式左三式 xy、yz、zx分别乘以（）式右三式,得出六式后相加,令上式=dw 于是可得Prandtl-Reuss本构方程,例题，Page103,5、Hencky-伊柳辛理论 应变增量成比例增长 Hencky提出，伊柳辛完善之 d1:d2:d3=c1:c2:c3 因而有 积分得 利用初始条件确定积分常数 当 1=0，则 2=3=0 所以 D1=D3=0 所以,应变强度表达式为（等效应变）增量形式 上式积分后得 根据初始条件确定积分常数D 1=2=3=0 时，i=0,因而 D=0 比例变形的结果：,各应力分量按比例加载（成比例变形时的必要条件）Prandtl-Reuss本构方程变为 积分后得 将 代入上式,因而得,令,所以：,这就是Hencky 本构方程，它包括了弹性变形与塑性变形,应变偏量与应力偏量成比例 主应力、主应变偏量关系 应变强度（参见公式（1-29）page 20）所以有,伊柳辛理论可以写成（弹塑性共有）弹性部分,塑性部分（总应变偏量与弹性应变偏量之差）,式中关键是等效应变与等效应力的比值,形变理论应满足的条件 加载应为单调增加，尽量不中断，更不能卸载 材料是不可压缩的 应力应变曲线具有幂化形式 小变形（弹性与塑性变形为同一量级）Davis-儒柯夫试验 试验材料铜材 拉力与内压比值k不同（同一试件k为常数）做出ii曲线 结论：类似单轴简单加载 E-超过弹性极限后的比例系数例题：14，page 113118,5.3 粘性体的本构关系,5.3.1 岩石的蠕变曲线及其特征一、流变的概念 岩石的流变性是指岩石应力应变关系随时间而变化的性质。,蠕变现象应力保持恒定，应变随时间而增大。松弛现象应变保持恒定，应力随时间而逐渐减小弹性后效加载或卸载，弹性应变滞后于应力的现象,二、岩石的蠕变性能,1、岩石的蠕变特性 通常用蠕变曲线（-t曲线）表示岩石的蠕变特性。,（1）稳定蠕变：岩石在较小的恒定力作用下，变形随时间增加到一定程度后就趋于稳定，不再随时间增加而变化，应变保持为一个常数。稳定蠕变一般不会导致岩体整体失稳。（2）非稳定蠕变：岩石承受的恒定荷载较大，当岩石应力超过某一临界值时，变形随时间增加而增大，其变形速率逐渐增大，最终导致岩体整体失稳破坏。（3）岩石的长期强度：岩石的蠕变形式取决于岩石应力大小，当应力小于某一临界值时，岩石产生稳定蠕变；当应力大于该值时，岩石产生非稳定蠕变。则将该临界应力称为岩石的长期强度。,2、岩石的典型蠕变曲线及其特征,典型的蠕变曲线可分为4个阶段：,(1)瞬时弹性变形阶段（OA）：,(2)一次蠕变阶段（AB）：（瞬态蠕变段）,(3)二次蠕变阶段（BC）：（等速或稳定蠕变段）,(4)三次蠕变阶段（CD）：（加速蠕变段）,蠕变变形总量：=0+1(t)+2(t)+3(t),式中：0-瞬时弹性应变；1(t)，2(t)，3(t)-与时间有关的一、二、三次蠕变v-粘塑性应变，Q-粘弹性应变。,3、岩石的蠕变曲线类型,类型1：稳定蠕变。曲线包含瞬时弹性变形、瞬态蠕变和稳定蠕变3个阶段（压应力10MPa，12.5MPa）类型2：典型蠕变。曲线包含4个阶段（压应力15MPa，18.1MPa）类型3：加速蠕变。曲线几乎无稳定蠕变阶段，应变率很高（压应力20.5MPa，25MPa）,5.3.2 岩石的流变模型,岩石的流变本构模型：用于描述岩石应力应变关系随时间变化的规律。它是通过试验理论应用证实而得到的。,本构模型分类：,经验公式模型：根据不同试验条件及不同岩石种类求得的数学表达式，通常采用幂函数、指数函数、对数函数的形式表达。组合模型：将岩石抽象成一系列简单元件（弹簧、阻尼器、摩擦块），将其组合来模拟岩石的流变特性而建立的本构方程。(属于物理模型，亦属于微分模型)积分模型：是在考虑施加的应力不是一个常数时的更一般的情况下，采用积分的形式表示应力应变时间关系的本构方程。,一、经验公式模型,1、幂函数型：,式中：A、n：经验常数，取决于应力水平、材料特性及温度条件。,2、对数型：,式中：e 为瞬时弹性应变；B，D取决于应力性质及水平,3、指数型：,式中：A为试验常数，f(t)是时间t的函数。,二、组合模型,（一）流变模型元件1、弹性介质及弹性元件（虎克体）：,弹性介质性质：具有瞬时变形性质 常数，则保持不变，故无应力松弛性质 常数，则也保持不变，故无蠕变性质 0（卸载），则0，无弹性后效。可见，、与时间t无关。,2、粘性介质及粘性元件（牛顿体）,加载瞬间，无变形即当t=0时,=0,=0,则 c=0,粘性介质性质：（1）当0时，说明在受应力 0作用，要产生相应的变形必须经过时间t，无瞬时变形，粘性元件具有蠕变性质；,（2）0（卸载），则常数，故无弹性后效，有永久变形。（3）常数，则0，粘性元件不受力，故无应力松弛性质。,2.3 岩石的流变性,3、塑性介质及塑性元件（圣维南体）,当:s，=0 s,可模拟刚塑性体的变形性质,牛顿体具有粘性流动的特点。塑性元件具有刚塑性体变形（塑性变形也称塑性流动）的特点。粘性流动：只要有微小的力就会发生流动。塑性流动：只有当应力达到或超过屈服极限s才会产生变形。粘弹性体：研究应力小于屈服极限时的应力、应变与时间的关系；粘弹塑性体：研究应力大于屈服极限时的应力、应变与时间的关系；,（二）、岩石的组合流变模型,1、弹塑性介质模型,当:s，,=s,保持不变，持续增大，。,2、马克斯威尔模型（Maxwell）,该模型由弹性元件和粘性元件串联而成，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。,设弹簧和粘性元件的应力、应变分别为1,1和 2,2，组合模型的总应力为和。,弹簧:,由(b):,粘性元件:,则 12，(a)1 2(b),Maxwell模型本构方程,马克斯威尔模型本构方程：,蠕变曲线：当保持不变，即 0常数，d/dt=0,代入上式得：,通解为：,初始条件：（加载瞬间）,得：c=0,蠕变方程：,2.3 岩石的流变性,马克斯威尔模型本构方程：,卸载曲线：当t=t1时卸载，弹性变形0立即恢复，则卸载曲线为：,这是不可恢复的塑性变形。,蠕变方程：,、松弛曲线：当保持不变，即0常数，d/dt=0,代入上式得：,通解为：,初始条件：,得：c=ln0,松弛方程：,马克斯威尔模型本构方程：,可见：马克斯威尔模型具有瞬时变形、蠕变和松弛的性质，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。,3、开尔文（Kelvin）模型,该模型由弹性元件和粘性元件并联而成，可模拟变形随时间增长而无限增大的力学介质。设弹簧和阻尼元件的应力、应变分别为1、1和2、2，组合模型的总应力为和。,弹簧:,由(a):,阻尼元件:,则 1+2，(a)1=2(b),Kelvin模型本构方程,(c),(d),开尔文模型本构方程：,、蠕变曲线：当保持不变，即 0常数，代入上式得：,通解为：,初始条件：加载瞬间，粘性元件不变形，即,得：,蠕变方程：,可见：当t=0时,=0，当t 时，00/E,即弹性变形(弹性后效）,(d),蠕变方程,凯尔文模型能模拟稳定蠕变，不能模拟瞬时弹性变形。,2.3 岩石的流变性,若在tt1 时卸载，0，由本构方程：,、卸载曲线方程,得：,通解为：,得卸载方程：,当卸载瞬间t=t1时,=t1，当t时，0,即卸载后，变形慢慢恢复到0（后效）,通解为：,初始条件：,得:,开尔文模型本构方程：,、松弛曲线：当保持不变，即0常数，d/dt=0,代入上式得：,可见，应力最终由弹簧承担后，应变就停止发展了。该模型反映了弹性后效现象和稳定蠕变性质。开尔文模型是一种粘弹性模型。,(三）模型识别与参数的确定,1、模型识别 模型识别即根据流变试验曲线确定用何种组合流变模型来模拟这种岩石的流变特征。蠕变曲线有瞬时弹性应变段模型中则应有弹性元件 蠕变曲线在瞬时弹性变形之后应变随时间发展模型中则应有粘性元件 如果随时间发展的应变能够恢复弹性元件与粘性元件并联组合 如果岩石具有应力松弛特征弹性元件与粘性元件串联组合 如果松弛是不完全松弛（应力减小至s）模型中应有塑性元件（宾汉模型）,2、模型参数的确定,模型参数的确定一般要通过数值计算进行，对于简单模型，可用试验数据直接确定模型参数。例：马克斯威尔模型有两个参数E 和。E可由瞬时弹性应变求出：,式中：o-蠕变试验所施加的常应力 o-是瞬时弹性应变。,马克斯威尔模型蠕变方程,在曲线上任取一点（t1 0),可求得粘性系数：,5.4 岩石的强度理论,强度理论:研究岩体破坏原因和破坏条件的理论。,强度准则:在外荷载作用下岩石发生破坏时，其应力（应变）所必须满足的条件。强度准则也称破坏准则或破坏判据。,一、一点的应力状态,1、应力符号规定（1）正应力以压应力为正，拉应力为负；（2）剪应力以使物体产生逆时针转为正，反之为负；（3）角度以x轴正向沿逆时针方向转动所形成的夹角为正，反之为负。2、一点应力状态,6个应力分量：x,y,z,xy,yz,zx,5.4 岩石的强度理论,3、平面问题的简化,在实际工程中，可根据不同的受力状态，将三维问题简化为平面问题。（1）平面应力问题；（2）平面应变问题。,4、基本应力公式 以平面应力问题为例，如图，任意角度截面的应力计算公式如下：,5.4 岩石的强度理论,最大最小主应力：,最大主应力与 x轴的夹角可按下式求得：,任一斜面上的正应力和剪应力用主应力表示为：,莫尔应力圆的方程：,5.4 岩石的强度理论,二、最大拉应变理论,基本观点：无论在什么应力状态下，只要岩石的最大拉伸应变达到一定的极限应变t时，岩石就会发生拉伸断裂破坏,式中：t 单轴拉伸破坏时的极限应变；E岩石的弹性模量；t单轴抗拉强度。,强度条件为：,5.4 岩石的强度理论,讨论：,1、在单轴拉伸条件下：岩石发生拉伸断裂破坏，其强度条件为：,2、在单轴压缩条件下：岩石发生沿纵向拉伸断裂破坏，其强度条件为：,即：,5.4 岩石的强度理论,3、在三轴压缩条件下：3方向的应变为,如果3(1+2),则为拉应变，其强度条件为,而：,故，强度条件又可表示为：,在常规三轴条件下（3 2）强度条件为：,5.4 岩石的强度理论,三、库伦（Coulomb)准则,基本观点：材料破坏主要是剪切破坏，当材料某一斜面上的剪应力达到或超过该破坏面上的粘结力和摩擦阻力之和，便会沿该斜面产生剪切滑移破坏。1773年库伦提出（“摩擦”准则）,式中：f 材料剪切面上抗剪强度；C材料的粘结力；剪切面上的正应力。讨论：库仑准则的应用局限性,5.4 岩石的强度理论,四、莫尔（Mohr）强度准则,基本观点：材料在复杂应力状态下，某一斜面上的剪应力达到一极限值，造成材料沿该斜面产生剪切滑移破坏，且破坏面平行于中间主应力2作用方向。,莫尔准则的强度曲线是一系列极限应力莫尔圆的公切线。莫尔准则强度曲线，分为直线型强度曲线和曲线型强度曲线。曲线型强度曲线又分为二次抛物线、双曲线和摆线型等。,此理论由莫尔（Mohr）于1910年提出，材料的破坏是剪切破坏，其理论是建立在试验数据的统计分析基础之上。,5.4 岩石的强度理论,5.4 岩石的强度理论,1、直线型包络线,强度曲线为直线型 极限莫尔应力圆与直线的关系,2、二次抛物线型包络线,设二次抛物线方程 如图可知,5.4 岩石的强度理论,适用泥岩、页岩泥灰岩等较软岩石,确定待定系数n 当为单轴压缩问题时，3=0，1=c 则上式变为 利用求根公式求解：1-为包络线渐进线的倾角,5.4 岩石的强度理论,3、双曲线型包络线,适用：砂岩、灰岩、花岗岩等坚硬或较坚硬岩石,五、库仑-莫尔强度准则,莫尔直线型极限应力圆包络线，极为库仑强度曲线,1.破坏面上剪应力与正应力的关系 破坏面上的剪应力f 是该面上正应力的函数，即：f f()直线方程：,5.4 岩石的强度理论,莫尔强度包络线的意义：包络线上任意一点坐标都代表岩石沿某一面剪切破坏所需的剪应力和正应力。,莫尔强度包络线的应用：将应力圆与强度曲线放在同一个坐标系中，若莫尔应力圆在包络线之内，则岩石不破坏；若莫尔应力圆与强度曲线相切，则岩石处于极限平衡状态；若莫尔应力圆与强度曲线相交，则岩石肯定破坏。,5.4 岩石的强度理论,2、莫尔库仑强度理论,f=f()所表达的是一条曲线，该曲线的型式假设为直线型。直线型与库伦准则表达式相同，因此也称为库伦莫尔强度理论。,用主应力表示：,上式也称为极限平衡方程。莫尔库仑强度理论不适合剪切面上正应力为拉应力的情况。,5.4 岩石的强度理论,莫尔库仑强度理论另一种表示形式,如图的几何关系，有：,其中：,5.4 岩石的强度理论,六、格里菲斯强度理论（Griffith的脆性断裂理论）,1921年格里菲斯在研究脆性材料的基础上，提出了评价脆性材料的强度理论。该理论大约在上世纪70年代末80年代初引入到岩石力学研究领域。,5.4 岩石的强度理论,（1）在脆性材料内部存在着许多杂乱无章的扁平微小张开裂纹。在外力作用下，这些裂纹尖端附近产生很大的拉应力集中，导致新裂纹产生，原有裂纹扩展、贯通，从而使材料产生宏观破坏。,1、格里菲斯强度理论的基本思想：,5.4 岩石的强度理论,（2）裂纹将沿着与最大拉应力作用方向相垂直的方向扩展。,式中：新裂纹长轴与原裂纹 长轴的夹角；原裂纹长轴与最大主 应力的夹角。,5.4 岩石的强度理论,2、格里菲斯强度判据,根据椭圆孔应力状态的解析解，得出了格里菲斯的强度判据：,（1）,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,（2）,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,如果应力点（1,3)落在强度曲线上或曲线左边，则岩石发生破坏，否则不破坏。,5.4 岩石的强度理论,讨论：,（1）单轴拉伸应力状态下,1=0,3 0,满足1+33 0,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,（2）双向拉伸应力状态下,10,30,满足1+33 0,5.4 岩石的强度理论,（3）单轴压缩应力状态下,10,3=0,满足1+33 0,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,破裂条件为：,危险裂纹方位角：,（4）双向压缩应力状态下,=/6,10,3 0,满足1+33 0,0/4,5.4 岩石的强度理论,3、修正的格里菲斯强度判据,1962年，麦克.克林脱克等人认为，当应力y达到某一临界值时，裂纹便闭合，在裂纹表面产生法向应力和摩擦力，影响新裂纹的发生和发展。这种摩擦力恰恰是于是格里菲斯断裂理论没有考虑到的。因此对原始的格里菲斯理论进行了修正。,修正的格里菲斯准则为：,式中f为裂纹面间的摩擦系数。,5.4 岩石的强度理论,六、岩石的屈服准则,屈服准则是判断某一点的应力是否进入塑性状态的判断准则。,1、屈列斯卡（Tresca）准则,基本观点：当最大剪应达到某一数值时，岩石开始屈服，进入塑性状态。该准则是Tresca于1864年提出的。屈列斯卡准则在金属材料中应用很广。其表达式为,或：,式中：K为与岩石性质有关的常数。可由单向应力状态试验求得。,5.4 岩石的强度理论,在一般情况下，即1，2，3大小无法确定排序，则下列表示的最大剪应力的六个条件中任何一个成立时，岩石就开始屈服,或写成：,式中：K通过单轴试验确定，或 Tresca准则不考虑中间主应力的影响。应力空间表示形式为第一挂限等倾六棱柱面,5.4 岩石的强度理论,2、米赛斯（Mises）屈服准则,或：,应力空间表示：圆柱面 Mises准则考虑了中间主应力的影响。,1,2,3,基本观点：当应力强度达到某一数值时，岩石开始屈服，进入塑性状态。其表达式为,5.4 岩石的强度理论,七、德鲁克普拉格（Drucker-Prager）屈服准则,德鲁克普拉格（Drucker-Prager）屈服准则是德鲁克普拉格于1952年提出的，在Mohr-Coulomb准则和Mises准则基础上的扩展和推广而得:,式中：,、K-为仅与岩石内摩擦角和粘结力c有关的试验常数。,为应力第一不变量；,为应力偏量第二不变量；,5.4 岩石的强度理论,德鲁克普拉格（Drucker-Prager）屈服准则考虑了中间主应力的影响，又考虑了静水压力（平均应力m）的作用，克服了Mohr-Coulomb准则的主要弱点，可解释岩土材料在静水压力下也能屈服和破坏的现象。该准则已在国内外岩土力学与工程的数值计算分析中获得广泛的应用。,5.4 岩石的强度理论,5.4 岩石的强度理论,