固体电子输运理论课件.pptx

7.1 外场下Bloch电子运动的半经典模型 7.2 Boltzmann方程 7.3 外场和碰撞作用 7.4 驰豫时间的统计理论 7.5 电-声子相互作用 7.6 金属电导率 电阻率 7.8 磁输运性质 霍尔效应 磁电阻效应 7.9 热输运性质 热电效应 热导率 热电势,对外电场、磁场采用经典方式处理,对晶格周期场采用能带论量子力学方式处理,模型,每个电子具有确定的位置 r、波矢 k 和能带指标n,建立模型描述r、k 和n 随时间的变化规律,能带指标,电子的速度,波矢随时间的变化,(1)电子总呆在同一能带中(2)忽略不同带间的跃迁,7.1 Bloch电子运动的半经典模型,对晶格周期场的量子力学处理全部概括在 函数中,能带结构,输运性质,能带结构,同基于理论得到的能带结构进行比较从而验证能带结构的理论基础的正确与否,提供了从能带结构推断出电子输运性质的理论基础,基于输运性质的测量结果,推断出电子的能带结构,7.2 Boltzmann方程,对固体中电子输运性质的了解，除载流子受到的散射或碰撞外，需要知道外场作用下载流子的运动规律以及外场和碰撞同时作用对载流子输运性质的影响。,外场下载流子运动规律可基于半经典模型,现在要解决的是如何考虑碰撞以及碰撞和外场同时作用对载流子运动规律的影响？,引入分布函数，并将这些影响归结到对分布函数的影响,对于单位体积样品，t时刻、第n个能带中，在（r,k）处 相空间体积内的电子数为：,每一个电子对电流密度的贡献为,所以总电流密度为,碰撞以及碰撞和外场同时作用对 f 的影响？,在热平衡情况下，即温度均匀且没有外场作用，电子系统的分布函数为费米分布函数,与位置无关。,有外场/温度不均匀时，电子将偏离热平衡，相应的分布函数,如何随时间变化呢？,t 时刻（r,k）处的电子,由于碰撞的存在，dt 时间内从（r-dr,k-dk）处出发的电子并不都能到达（r,k）处，另一方面，t 时刻（r,k）处的电子也并非都来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子，因此有：,若将因碰撞引起的 f 变化写成 则有,必来自t-dt 时刻（r-dr,k-dk）处漂移来的电子,若没有碰撞，则有,玻尔兹曼方程,对于稳态,Boltzmann方程,决定于体系的能带结构,与外场有关,因此，Boltzmann方程将能带结构、外场作用以及碰撞作用通过引入分布函数而相联系，成为研究固体电子输运性质的理论基础,7.3 外场和碰撞作用,(1)温度场,温度梯度的存在引起不均匀的分布函数,通常假定非平衡的稳态分布相对于平衡分布偏离甚少,(2)电场,忽略掉温度梯度对f1的影响,(1)温度场,(2)电场,(3)磁场,(3)磁场,玻尔兹曼方程最复杂的是碰撞项的处理，为了方便，可以做一些简化。,假设没有外场，也没有温度梯度，那么如果电子的分布函数偏离了平衡值，系统必须以碰撞机制来恢复平衡态的分布。,(4)碰撞,方程的解：,该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。,一般可以用弛豫时间 来描述这个恢复过程：,温度场、电场、磁场及碰撞作用同时存在下的Boltzmann方程,温度场,电场,磁场,碰撞,7.4 固体电阻率,在没有温度场、磁场的情况下，仅有电场时的Boltzmann方程为,泰勒定理：,因此，该式相当于上述泰勒展开式的一级近似,借助分布函数电流密度可表示为,同时注意到,7.4.1 直流电导率,说明：在电场作用下，分布函数相当于平衡分布函数沿着外场相反的方向刚性移动了,或者说，在k空间中，外加电场引起费米球刚性平移了,注意到,知道了分布函数就可以很方便的求出电流密度，只需对分布函数在相空间求积分：,两个等能面之间的距离为dk面元为ds,体积元为,由于：,而：,考虑K空间的两个等能面,由于 只在费米面附近才不为零，即,所以积分只需考虑在费米面附近进行,考虑一个立方体晶体，外场方向沿着Ox方向，电流沿着Ox,所以立方体晶体的电导率,利用对称性,以及关系,利用,得到,得到,和在自由电子气模型中得到的结果形式上相同，不同之处有两点，一是电子的质量为有效质量，二是驰豫时间为费米面上电子的驰豫时间。,剩余电阻率,声子散射有关的电阻率,电子电子相互作用有关的电阻率,磁散射有关的电阻率,导体,在多种散射机制存在下，总的散射几率是：,总散射驰豫时间,电阻率源于传导电子的散射，固体因缺陷、杂质、晶格振动、库仑作用等，往往存在着多种散射机制,Pi代表第i 种机制单位时间内的散射几率,意味着总电阻率是不同散射机制引起的电阻率之和,杂质、缺陷等散射电子声子相互作用电子电子相互作用磁散射,导体电阻率至少包含四个部分,马西森(Matthiessen)定则,当温度不为零时，离子实会在平衡位置附近发生小的振动，使得电子势变成,晶体中共有化运动的电子是在和晶格具有相同周期的势场中运动：,对理想完整的晶体，绝对零度时离子实处在严格周期排列的位置,在这样的周期场中运动的电子，其状态是由确定能量和确定波矢的Bloch波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变化。,明显地，周期势场因晶格振动而被破坏，附加的偏离周期性势场,7.4.2 电-声子相互作用,可看作为微扰，它使得电子从一个稳定态跃迁到另一稳定态，即出现散射,假设偏离很小，则有,为简单起见，只考虑简单格子，此时仅有声学支,将波矢q、频率的简正模引起的原子位移写成实数形式,为振动方向上的单位矢量,这是量子力学中典型的含时周期性微扰问题,在这样的微扰下，电子从k态跃迁到k态的几率为,函数保证了跃迁过程中能量是守恒的，即,离子实偏离平衡位置的运动组成晶体中的格波，格波的能量是量子化的。,格波的量子称为声子,因此晶格振动对电子的散射实际上就是声子对电子的散射。,晶格运动对电子的散射过程相当于电子通过吸收（+）或发射声子（-），从一个稳定态跃迁到另一稳定态的过程。,散射矩阵元,由于晶格平移对称性，求和部分仅仅当波矢之和为倒格矢方不为零，由此给出晶格动量守恒关系，即,能量守恒关系,动量守恒关系,正常过程或N过程,此时,说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k的过程能量和动量均是守恒的。,倒逆过程或U过程,说明电子在初态k吸收（+）或发射（-）一个波矢为q的声子跃迁到末态k的过程能量是守恒的，但动量并不守恒。,7.4.3 驰豫时间,碰撞项,该方程说明：由于碰撞作用，系统将以时间常数 弛豫回到平衡分布。,另外一方面，碰撞项也可以表示为：,代表单位时间内因碰撞进入（r，k）处相空间单位体积中的电子数,代表单位时间内因碰撞离开（r，k）处相空间单位体积中的电子数,若电子从k态跃迁到k态的几率为wk,k，计及泡利不相容原理，则有,同理有,因此,在外加电场下,对球形费米面,如取电场方向为k方向，则有,为k和k之间的夹角,写成积分形式,7.4.4 声子散射有关的电阻率随温度的变化,故电阻率不仅与跃迁几率有关，还涉及（1-cos）的权重因子,很明显小角度的散射对产生电阻几乎没有贡献，起重要作用的则是大角度散射，它使电子沿电场方向的速度有大的改变。,由前面得分析看到，电子和格波的一个简正模（即一个声子）相互作用导致电子从k态到k态的跃迁，其跃迁几率正比于该格波振幅的平方,对 所描述的格波模晶格中每个原子的振动动能,对时间平均后得到,N个原子总的振动动能为,可见，振幅的平方与相应格波模的能量相联系，用声子语言，则是比例于相应的声子数,频率为的格波的声子数,按德拜模型，总的声子数为,高温,低温,同时，高温下涉及的声子波矢较大，(1-cos)与温度几乎无关，因此，电阻率正比于温度，即,另外一方面，低温下涉及的声子波矢小，需要考虑(1-cos)因子的影响,布洛赫-格林艾森T5定律,更一般情况下电子受声子的散射引起的电阻率为：,A为材料有关的常数，M原子质量，D为德拜温度,意味着高温时，因电声子相互作用引起的电阻率随温度降低而线性减小,意味着低温时，因电声子相互作用引起的电阻率按T5关系随温度降低而减少,称为布洛赫-格林艾森公式,7.4.5 极化子(polarons)有关的电阻率,电声子相互作用最通常的效应表现在电阻率对温度的依赖关系上，电子被声子所散射，温度越高，存在的声子就越多，散射也就愈加频繁，因此，电阻率随温度升高而增加。,电声子相互作用一个更为微妙的效应是在金属和绝缘体中由于电子依附离子实而随之运动，使得电子有效质量增大。,电子以及与之相伴随的晶格应变场的组合统称为极化子,电声子相互作用,极化子的形成,以离子晶体为例说明一个极化子的形成过程,KCl形成弹性点阵,由于K离子带正电，如果传导电子出现在K离子附近,意味着，在弹性点阵情况下，K或Cl离子会因为同传导电子之间的库仑力作用而发生位移，即所谓的晶格应变,同样由于Cl离子带负电，当传导电子经过时，传导电子和Cl离子之间的库仑排斥力作用使得Cl离子远离传导电子,则传导电子和K离子之间的库仑吸引力作用，使得K离子向传导电子靠近,电子加上与之联系的应变场称为一个极化子,离子的位移增大了电子的有效惯性，因此也就增大了它的有效质量，从而使得传导电子的运动速度变缓。,在极端情况下，传导电子自陷于应变场中，或者说传导电子被因晶格畸变而产生的应变场所捕获，成为束缚态电子。,现在所关心的是，电子如何从一个束缚态过渡到另一个束缚态,极化子有关的电阻率,高温下，传导电子借助于热激活机理可以从一个束缚态过渡到另一个束缚态,高温,无外场时势能曲线,传导电子越过势垒向左和向右的几率势一样的,传导电子右端势垒高度由原来的E0下降至,而传导左端势垒高度增至,外场的作用使势垒不再对称,因此，传导越过势垒向右的净几率为,而电阻率,在弱场或高温下,低温,低温下传导电子借助隧穿机理而缓慢地通过晶体,三十年多前，基于极化子隧穿机理提出极化子输运理论,按照该理论，低温（kT2tp）下电阻率,I.G.Lang and Yu.A Firsov,Sov.Phys.JEPT 16,1301(1963),其中tP是极化子跳跃积分，a为晶格常数，为驰豫率,光学声子模的平均频率，A为常数，取决于裸带宽和电声子耦合强度,低温下只有低频模式才对电阻率有贡献，而高频模式可忽略不考虑，因此，,其中s为软光学模式的平均频率，C为正比于极化子有效质量的常数,7.4.6 电子-电子相互吸引作用的简单模型,1950年弗烈里希(Frolich)指出：电子-声子相互作用能把两个电子耦合在一起，这种耦合就好像两个电子之间有相互作用一样,为了明确其物理图像，弗烈里希给出如下一个物理模型,当第一个电子通过晶格时，电子与离子点阵的库仑作用使晶格畸变,当第二个电子通过畸变的晶格时，受到畸变场作用，畸变场吸引这第二个电子,如果我们忘记第一个电子对晶格造成畸变的过程，而只看最后结果，将是第一个电子吸引第二个电子,7.5 磁场中电子的运动,磁场中电子运动的基本方程,1、自由电子的准经典运动,自由电子的能量,回转频率,可见 k空间电子在 面上做圆周运动,实空间电子的运动,对时间求导,可见在(x,y)平面做匀速圆周运动,回转频率,2、自由电子情况的量子理论,无磁场时自由电子哈密顿算符,为整数,N个电子基态从能量最低k=0态开始，按能量由低到高依次填充，最后得到一个费米球。,电子的本征能量,磁场中电子的动量包含两部分,运动动量,势动量（场动量）,因此磁场中电子的哈密顿算符,外加磁场，假设磁场沿z轴，,则可取矢势,因此，磁场中运动的电子满足的薛定鄂方程为,令,代入得到应满足的方程,令,显然，这是简谐振子的薛定鄂方程,谐振子波函数,谐振子的能量,而电子波函数,电子的能量,电子波函数,电子的能量,这些量子化的能级称为朗道能级,表明：沿磁场方向（z方向）电子保持自由运动，相应的动能为,在垂直磁场的(x,y)平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量 变成,在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按,这样在k空间中，许可态的代表点将简并到Landua管上，其截面为Landau环，如图。,3、晶体中电子的情况,晶体中电子在磁场中的运动时，其哈密顿算符,处理思路：将周期性势场的影响概括为有效质量的变化 有效质量近似方法,哈密顿量,采用有效质量近似后，晶体中的电子可视为“自由电子”，正是此电子的质量是有效质量m*,回转频率,磁场下晶体中电子的波函数,能量本征值,在垂直于磁场方向上，无磁场时的动能按,4、回旋共振,晶体中电子在磁场中运动，采用有效质量近似后，电子做螺旋运动，回转频率,在垂直于磁场的方向施加一个交变电场，当,电子将吸收交变电场的能量,电子发生共振吸收，称为回旋共振,电子吸收电场的能量，电子实现了从一个朗道能级跃迁到更高能量的朗道能级上，通过测量回旋共振频率，可以确定电子的有效质量,半导体材料中能带底和能带顶附近，电子的有效质量不同，具有不同的回旋共振频率,7.6 磁输运性质,7.6.1 Boltzmann方程及解,一般情况下Boltzmann方程,若没有温度梯度，只有磁场和电场作用，则,类似于在电场下的讨论，我们得到电场和磁场同时存在时的电流密度为,若写成形式,则有,7.6.2 Hall电阻与欧姆电阻,假定磁场沿z轴，电流在垂直于z轴的平面上，如图。,与磁场无关！,正比于磁场,7.6.3 磁电阻效应,磁场引起的电阻变化，称之为磁电阻效应,从推导中看到，,与磁场无关的量，意味着,之所以得出磁电阻为零的结论，主要是因为：,费米面为球形对电流贡献的电子来自于同一能带中只有费米面附近、速度等于费米速度的电子才参与导电，它们感受到同样的洛伦玆力，虽然这种洛伦玆力作用下电子轨道会发生偏转，但恰好为霍尔场的作用所抵消，结果相当于磁场并不存在。,费米面并非严格球形,实际情况是所有的金属均表现出不为零的磁电阻效应,参与导电的电子并非仅仅来自单一能带,因此电子速度、有效质量与方向和能量有关，仅部分电子的运动满足洛伦玆力与霍尔场力的平衡，其余电子的轨迹发生了变化。,假设参与导电的电子来自两个各向同性的能带,这样就有两组不同有效质量和不同速度的载流子,总电流,Ji、i和Di分别为第i带的电流密度、电导率和D矢量,由于这一原因，磁电阻测量常常成为研究费米面形状的最有效实验手段,考虑磁场沿z轴 电场在xy平面,令Jy=0，则从第二式可得到Hall电场Ey,将Ey代入第一式则得到Jx 与Ex的关系：,磁场下的电导率,则有,任意场强时公式很复杂，现在考虑低磁场情况。所谓低场是相对而言的，即满足：,磁电导,低场下,磁电阻,所以在两带模型下我们得到磁电阻为,在两带模型中，参与对输运贡献的电子来源于两个不同的各向同性的能带，在这种情况下，我们得到,意味着磁场引起电阻的增大，其起因是由于洛伦玆力的存在引起电子的运动轨迹发生了变化,为了和通常讲到的与自旋有关的磁电阻效应进行区别，通常称洛伦玆力有关的磁电阻效应为正常磁电阻效应。,由于,由于MR仅为的函数，而,由科勒定则看到，相同的磁场下，零场下电阻率越小，则磁电阻越明显，而金属电阻随温度降低而变小，因此，研究这一磁电阻行为的实验最好是在低温下进行。,而,因此MR仅仅是 的函数，即,Kohlers rule,F函数的行为仅依赖于材料的本性,7.7 热输运性质,7.7.1 热电效应,一般情况下Boltzmann方程,若不加磁场该项不考虑,温度梯度引起分布不均匀,现在考虑除电场外还存在温度梯度的情况,然后我们很容易得到与温度梯度有关的部分，即上述方程中的第一项为,上述方程第二项可写为,将上面提到的两部分代入到Bolzmann方程并经过整理后，我们得到在电场和温度梯度存在时的Boltzmann方程为,由此可得f1,可计算出电流密度,仅有温度梯度时，也可产生电流，这一效应称为热电效应,代入,电场作用下产生电流,温度场作用下也可产生电流(热电效应),温度梯度更重要的作用是产生热流，处在k态的电子所携带的热量为，因而，热流密度为,将前面得到的 f1代入有,输运系数,系数为张量，对最简单情况，即假设样品具有立方结构，利用,系数则成为标量,电流密度,热流密度,1)n=0,2)n=1,3)n=2,可见，三个输运系数都通过电导率相联系,7.7.2 热导率,温度梯度 的存在，可在金属样品中产生热流。,实验上，测量热导率时样品处于开路，无电流通过，因此，J=0,源于：在开路样品中，温度梯度引起电荷流动，在样品端部积聚建立起电场。,在热流计算中应计入这一电场,热流正比于温度梯度，其比例系数即为材料的热导率，即,热导率,7.7.3 热电势,相应的电场强度与温度梯度成正比，即,比例系数 称为材料的绝对热电势，简称为热电势,可见，决定热电势的是金属电导率在费米能附近随能量的变化,式中()、v()分别为能量为的电子的弛豫时间和电子速度，dS为能量为的等能面（面积为A）上的面元。,表示在等能面上的平均,如果弛豫时间对能量的依赖不重要，则由,3项中最难估算的是()项,对其它金属，如Cu、Ag等，导电电子的行为在某些方面相当接近于自由电子，尽管热电势在温度较高时是正比于温度的线性行为，但符号为正，说明问题并不如此简单。,看到，热电势是负的，其数值正比于温度。这正是图中K、Na金属在约150K以上的行为。,7.7.4 热电势的测量,对热电势的测量，通常采用如图所示的由A、B两种材料构成的回路,由于温差引起的电势差在T0(如室温)下测量，则有,B材料常用铜线，已知SB时，就可得到SA,