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矩阵分析,第一节 线性空间,一：线性空间的定义与例子,定义 设 是一个非空的集合，是一个数域，在集和 中定义两种代数运算,一种是加法运算,用 来表示;另一种是数乘运算,用 来表示,并且这两种运算满足下列八条运算律：,第一章 线性空间和线性映射,（1）加法交换律,（2）加法结合律,（3）零元素 在 中存在一个元素，使得对于任意的 都有,（4）负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得,（5）,（6）,（7）,（8）,称这样的 为数域 上的线性空间。,例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。,例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。,例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间,例 4 表示实数域 上的全体无限序列组成的的集合。即,在 中定义加法与数乘：则 为实数域 上的一个线性空间。,例 6 在 中满足Cauchy条件的无限序列组成的子集合也构成 上的线性空间。Cauchy条件是：使得对于 都有,定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关 部分无关；部分相关 整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；（5）如果向量组（I）可以由向量组（II）线性表出，那么向量组（I）的秩 向量组（II）的秩；（6）等价的向量组秩相同。,二：线性空间的基本概念及其性质,例 1 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例 2 实数域 上的线性空间 中，函数组是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数。例 3 实数域 上的线性空间 中，函数组也是线性无关的。,定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得 中的任意一个向量 都可以由 线性表出则称 为 的一个基底；为向量 在基底 下的坐标。此时我们称 为一个 维线性空间，记为 例 1 实数域 上的线性空间 中向量组与向量组,线性空间的基底，维数与坐标变换,都是 的基。是3维线性空间。例 2 实数域 上的线性空间 中的向量组与向量组 都是 的基。是4维线性空间。例 3 实数域 上的线性空间 中的向量组,与向量组都是 的基底。的维数为 注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目前，我们主要讨论有限维的线性空间。例 4 在4维线性空间 中，向量组,与向量组是其两组基，求向量 在这两组基下的坐标。解：设向量 在第一组基下的坐标为,于是可得 解得同样可解出在第二组基下的坐标为,由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。基变换与坐标变换设（旧的）与（新的）是 维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为,将上式矩阵化可以得到下面的关系式：称 阶方阵,是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵，那么上式可以写成定理：过渡矩阵 是可逆的。,任取，设 在两组基下的坐标分别为 与，那么我们有：称上式为坐标变换公式。例 1 在4维线性空间 中，向量组,与向量组,为其两组基，求从基 到基 的过渡矩阵，并求向量 在这两组基下的坐标。解：容易计算出下面的矩阵表达式,向量 第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为,第三节 线性空间的子空间定义 设 为数域 上的一个 维线性空间，为 的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的 都有那么我们称 为 的一个子空间。例 1 对于任意一个有限维线性空间，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间,以及线性空间 本身。例 2 设，那么线性方程组 的全部解为 维线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例 3 设 为 维线性空间 中的一组向量，那么非空子集合,构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称 为该子空间的生成元。的基底即为向量组 的极大线性无关组，的维数即为向量组 的秩。例 4 实数域 上的线性空间 中全体上三角矩阵集合，全体下三角矩阵集合，全体对称矩阵集合，全体反对称矩阵集合分别都构成 的子空间，,问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？,一、子空间的交(intersection)与和(sum),定理1 设 是数域 上线性空间 的两个子空间，则它们的交 也是 的子空间。,定理2 设 是数域 上线性空间 的两个子空间，则集合（称为 与 的和）也是 的子空间。,（i)交换律,（ii)结合律,根据归纳法可知，和 都是 的子空间。,交与和满足以下运算律,例 3 设 是线性空间 的子空间，且则,例 4,设,求 的基与维数。,所以可令,设，则,故,解：,这是关于 的齐次方程组，即,因此,所以 的基为，维数为,解关于 的齐次方程组，得,由例 3 知,由前得,即,由于 线性无关，这样 是 的极大无关组，所以它也是 的基，故,定理5（维数公式）设 是数域 上线性空间 的两个有限维子空间，则它们的交 与和都是有限维的，并且,注意到例 4 中,这并不是偶然的。,定理 5 的证明：,所以,取 为 的基，并分别扩充成 的基，即,设,则有,又,所以,从而可令,则,由于 线性无关，所以,因此,即,从而 线性无关，所以是 的一组基。于是维数公式成立。,由于 线性无关，所以,再由 线性无关，所以,二、子空间的直和(direct sum),定义6设 是数域 上的线性空间 的两个子空间，如果 则称 为 与 的直和，记作,显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。,在维数公式中，显然和空间的维数不超过各子空间的维数之和。那么何时等号成立呢？,定理7设 是数域 上的线性空间 的两个子空间，则下列命题是等价的：（1）是直和；（2）；（3）和 中零向量的表示法唯一，即若 则（4）和 中每个向量的表示法是唯一的。,证明：,根据维数公式显然成立。,根据维数公式,所以,设存在向量，有,由于,从而,所以,由于,所以,对任意向量，有,根据（3），零向量的表示是唯一的，因此,显然成立。,例 8 设 分别是 阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明 均为线性空间 的子空间。试证明,证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即,又实对称矩阵中独立取值的元素个数为，实反对称则是，因此 根据定理7可知结论成立。,定理 9（直和分解）设 是数域 上的线性空间 的一个子空间，则一定存在 的另一个子空间，使得子空间 具有直和分解并称 和 是一对互补的子空间，或者 是 的补子空间。,显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。,注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若,显然，是 的 一个子空间，几何上很容易看出，和 都 是 的补子空间。,4、线性变换(Linear Transformation)的概念,定义5设 是数域 上的线性空间，映射（未必是双射）称为 上的线性变换或线性算子(Linear Operator)，如果对 中的任意两个向量 和任意的数，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性),并称 为 在 下的像（image），而 是 的原像（inverse image）。,例 6 由下式确定的映射 是线性变换。,例 7（标量变换，scalar transformation）由下式确定的线性空间 到其自身的映射 是线性变换。这里 称为线性变换 的特征值（eigenvalue)，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量(eigenvector)。,例 8 数域 上的所有无限次可导实函数的集合 是一个线性空间。则由下式确定的微商变换 是 上的一个线性变换。,例 9 闭区间 上的所有实连续函数的集合 构成 上的一个线性空间。则由下式确定的积分变换 是 上的一个线性变换。,例 8和例 9表明，微积分的两个基本运算（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。,线性变换的基本性质,定理10 如果 是线性变换，则,零向量对应零向量,叠加原理,负向量对应负向量,定理11 如果 表示 上的所有线性变换的集 合，并且对任意,则可以验证，都是线性变换，因此 也是数域 上的线性空间。,定义12 线性空间 上的线性变换 称为可逆的，如果存在 上的线性变换，使这里 表示 上的恒等变换，即对任意，有,例13 将线性空间 中的所有向量均绕原点逆时针旋转角 的变换就是例 1 中的旋转变换的逆变换。这时像 与原像 之间的关系为,特别地，要使（几何上表示什么？），则角度 满足,对任意,定理14 设 是线性空间 上的一组基。对于 中任意一组向量，必存在唯一的线性变换，使得,定义所求变换如下即可：,特别地，是可逆的当且仅当 也是 的基。,6 线性变换的矩阵表示,的基 映射为。,维线性空间 上的线性变换 将,由于 仍然是基 的线性组合，所以令,因此,这里，矩阵 称为线性变换(在基 下)的矩阵表示。,因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。,因此原像与像（在给定基下）的坐标变换公式为,对 中的任意向量，显然其在线性变换 下的像为,例 15 中的投影变换在基 下的矩阵为,例 16 中的微商变换在基 下的矩阵为,例17 在矩阵空间 中定义线性变换：,求 在标准基（I)下的矩阵，这里,解：,所以 在标准基（I)下的矩阵为,5.线性变换的值域与核,定义21 设 是数域 上的线性空间 上的线性变换。令,称 是线性变换 的值域，而 是线性变换的核。的维数称为 的秩，的维数称为 的零度。,定理 设 是数域 上的线性空间 上的线性变换。令 在 的一组基 下的矩阵表示为，则（1）和 都是 的子空间；（2）（3）（4）,如果 是线性无关的，则有，结论成立。,证明：（4）设，在 中取一组基，根据扩充定理，将它扩充成 的基，则,因为 线性无关，所以,事实上，设，则从而,因此有,7、同构映射(isomorphism)的概念,定义1设 是数域 上的两个线性空间，1-1映射 称为 到 的同构映射，如果对 中的任意两个向量 和任意的，都有（i)(可加性)(ii)(齐次性),并称 与 同构（isomorphic),记为,例 2 数域 上的 维线性空间,易证 是同构映射。,根据前面的分析，对映射，即,同构映射的性质,定理3设 是数域 上的两个线性空间之间的同构映射，则（i)(零向量到零向量)(ii)(负向量到负向量)（iii)(线性无关组到线性无关组)中的向量组 线性无关的充要条件是 中的向量组 线性无关。,定理4数域 上的任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有相同的维数。,这说明，维数是有限维线性空间的唯一的本质特征。并且在同构的意义下，向量空间 并不只是线性空间 的一个特殊例子，而是所有的 维线性空间的代表。,8.线性变换的特征值与特征向量 定义 设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中任一元素，中都存在一个非零向量，使得 那么称 为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量。现在设 是数域 上的 维线性空间，中取定一个基，设线性变换 在这组基下的矩阵是，向量 在这组基下的坐标是，。那么我们有,由此可得定理：是 的特征值 是 的特征值 是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量 因此，只要将 的全部特征值求出来，它们就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵 的属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是 的属于 的全部特征向量。,例 1 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是求 的全部特征值与特征向量。解：的特征多项式为,所以 的特征值是（二重）与。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量是 这里 为数域 中不全为零的数对。对于特征值，解齐次线性方程组得到一个基础解系：,从而 的属于 的极大线性无关特征向量组是于是 的属于 的全部特征向量这里 为数域 中任意非零数。相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征,值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的特征子空间，记为，不难看出 正是特征方程组 的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。,（3）设 是 的 个互不同的特征值，的几何重数为，是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。,（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。,9.线性变换的不变子空间（Invariant subspace）,定义25 设 是数域 上的线性空间 上的线性变换，是 的子空间。如果对任意向量 都有，则称 是 的不变子空间。并且称线性变换 为 在 上的限制（restriction)，即,例26 线性空间 和零子空间 都是 上的线性变换 的（平凡）不变子空间。,例27 线性空间 上的线性变换 的像 和核 都是 的不变子空间。,例 28 线性空间 上的线性变换 的对应于某个特征值 的所有特征向量加上零向量 组成的集合,也是 的子空间，称为 的特征子空间(eigenspace)。进一步，也是 的不变子空间。,定理29 线性变换 的不变子空间的交与和仍然是 的不变子空间。,定理30 线性空间 上的线性变换 有非平凡的不变子空间的充要条件是 在 的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵，即形如,有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？,证明：充分性。设 在 的一组基 下的矩阵 为块上三角矩阵其中。由知，对，有,令，则 是 的一个 维子空间。并且。,因此对 中的任意向量,有,根据定义，并注意到，所以 是 的非平凡不变子空间。,证明：必要性。设 是 的一个 维子空间，并且，则。将 中的一组基 扩充成 的一组基,因为，则,因此,其中,证毕。,定理31 线性空间 上的线性变换 在 的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件是 可以分解为 的不变子空间的直和这里 为限制 在相应基下的矩阵表示。,推论 维线性空间 上的线性变换 在 的某个基下的矩阵表示为对角矩阵的充要条件是 可以分解为 的 个一维特征子空间的直和这里 为 的两两不同的特征值。,例 32 求 中矩阵 所对应的线性变换 的所有非平凡不变子空间，其中,解：,的三个特征值为,对应的全部特征向量为,对应的全部特征向量为,不全为零。,因此 的所有不变子空间为 和，这里,10.矩阵的相似对角化定义 数域 上的 维线性空间 的一个线性变换 称为可以对角化的，如果 中存在一个基底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在 中取定一个基底，设线性变换 在这个基下的矩阵为，那么可以得到下面的定理定理：可以对角化 可以对角化。定理：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是,有 个线性无关的特征向量。定理：阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例 1 判断矩阵是否可以对角化？解：先求出 的特征值,于是的特征值为（二重）由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑,于是 从而不可以相似对角化。例 2 设 是数域 上的3维线性空间，是 上的一个线性变换，在 的一个基 下的矩阵是,判断是 否可以对角化？解：根据前面例题的讨论可知 有3个线性无关的特征向量:因此 可以对角化，在这组基下的矩阵是,由基 到基 的过渡矩阵是于是有,再见！,再见！,