三角形外心内心重心课件.ppt

作任意三角形三邊的中垂線，會有什麼發現呢？,想一想吧,結論：作任意三角形三邊的中垂線，皆會交於一點,A,B,C,O,銳角三角形,C,A,B,C,O,A,B,O,直角三角形,鈍角三角形,中垂線性質：一線段的中垂線上任一點到線段兩端點等距離,A,B,C,L,M,P,2,1,【已知】,ABC，L為,的中垂線，與,【求證】,【證明】,M為,交於M,P為L上一點,的中點,L,在BMP、CMP中,BMP,CMP(SAS),故,O,A,B,C,即可畫出一圓，此圓稱為ABC的外接圓O為外接圓的圓心，簡稱外心，ABC稱為圓O的內接三角形,作ABC三邊的中垂線交於O，由前面介紹的中垂線性質 可知O到三角形的三頂點等距離。即：,所以如果以O為圓心，,為半徑,此圖可知銳角三角形的外心在的內部,那麼直角三角形和鈍角三角形的三邊中垂線的交點外心，又會在什麼位置呢？,繼續往下看吧,繼續往下看吧,A,O,直角外心在斜邊中點,B,C,=R(外接圓半徑)=斜邊長的一半,O,鈍角外心在外部,A,C,B,外心還有,哪些重要的性質呢？,則 BOC=2A,O是銳角ABC的外心,，在ABC中,證明,連,O是三角形ABC的外心,1=3,2=4,在OAB中,=1+3+2+4,=23+24,=2(3+4),=2A,B,C,2,4,A,6,O,BOC=5+6,5為OAB的外角,5=1+3,又6為OAC的外角,6=2+4,(外接圓半徑),在OAC中,1,3,5,O是鈍角ABC的外心則 BOC=360-2A,證明,連,O是三角形ABC的外心,在OAB、OAC中,=(180-21)+(180-22),1=ABO,2=ACO,則BOC=3+4,O,A,B,C,1,2,3,4,=(180-1-ABO)+(180-2-ACO),=360-2(1+2),=360-2A,(外接圓半徑),在OAB中，3=180-1-ABO,在OAC中，4=180-2-ACO,外心介紹完畢,製作：立人國中 賴靜慧,三角形內心的介紹,做任意三角形的三條內角平分線，會有什麼發現呢？,A,B,C,D,F,E,A,B,C,A,B,C,D,F,E,D,F,E,銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形,結論：任意三角形的三條內角平分線皆會交於一點,角平分線性質：角平分線上任一點，到角的兩邊等距離,【已知】,B,A,C,P,D,於E,E,【求證】,【證明】,，,為角平分線,於D，,在ADP與AEP中，,為角平分線,1,2,又,3,4,(公共邊),ADP,AEP(AAS),故,且,作ABC的三內角平分線，如圖交於I。,由前面介紹的角平分線性質可知：I到三角形的三邊等距離。,也就是說：,所以，如果我們以I為圓心，,為半徑，即可畫出一圓與ABC相切。,此圓稱為ABC的內切圓，I為內切圓的圓心簡稱為內心,稱為內切圓半徑r，ABC稱為圓外切三角形。,由此圖可知：銳角三角形的內心在三角形內部。,A,B,C,I,D,F,E,P,Q,R,那麼直角三角形和鈍角三角形的三內角平分線的交點內心，又會在三角形的什麼位置呢？,請看後面的介紹,請看後面的介紹,A,B,C,I,直角三角形的內心在三角形的內部,鈍角內心也在內部,A,C,B,I,內心還有,哪些重要的性質呢？,繼續看下去喔！,A,B,C,I,E,F,I為ABC的內心，則,【證明】,在ABC中，I為內心,為角平分線,1=2 3=4,1,2,3,4,BIC18024,=180-,=180-,=180-,=180-90+,=90+,A,B,C,I,D,E,F,如圖：I為ABC的內心，,為內切圓半徑r,ABC周長s,則ABC面積=,【證明】,連,ABC面積=AIB面積+BIC面積+CIA面積,+,+,+,+,A,B,C,I,D,E,F,如圖：I為ABC的內心，,為內切圓半徑r,【證明】,AIB面積:,=,BIC面積:,CIA面積,AIB面積:,BIC面積:,CIA面積,=,:,:,=,:,:,內心介紹完畢,製作：立人國中 賴靜慧,三角形重心的介紹,做任意三角形的三條中線，會有什麼發現呢？,A,B,C,中線,中線,中線,A,B,C,A,B,C,中線,中線,中線,中線,中線,中線,銳角三角形,直角三角形,鈍角三角形,結論：任意三角形的三條中線必交於一點，此點稱為三角形的重心,ABC中，E、F分別為,、,之中點,且,與,交於G,連,E、F分別為,之中點,且,在GBC與GEF中,1=2,3=4,由AA相似性質得,GBCGEF,=,=2:1,即,三角形的重心到一頂點的距離等於中線長的三分之二,A,B,C,E,F,G,【已知】,【求證】,【證明】,後面還有一些重要的性質喔,1,2,3,4,內錯角,A,B,C,G,O,I,【已知】正ABC，邊長a,【求證】內切圓半徑=,外接圓半徑=,【證明】,ABC為正 外心O=內心I=重心G,則內切圓半徑,D,E,F,=,=,=,=,外接圓半徑,=,=,=,=,A,B,C,O,G,D,【已知】直角ABC，O為外心，G為重心,【求證】,=,斜邊長,=,斜邊長,【證明】,O為直角ABC的外心,=,斜邊長,又G 為重心,=,=,(,斜邊長),=,斜邊長,=,=,(,斜邊長),=,斜邊長,A,B,C,D,【已知】ABC，D為,的中點,【求證】ABD面積=ACD面積,【證明】ABD面積=,h,ACD面積=,h,D為,的中點,故ABD面積=ACD面積,輕鬆一下,h,A,B,C,D,E,F,G,G為ABC的重心，則AGB面積=BGC面積=AGC面積,【證明】,G為重心，,D為,由前一頁介紹的性質可知,ABD面積=ACD面積,的中點,且GBD面積=GCD面積,則ABD面積-GBD面積=ACD面積-GCD面積,AGB面積=AGC面積,同理可證 AGB面積=BGC面積,故AGB面積=BGC面積=AGC面積,G為ABC的重心，則AGF=BGF=BGD=CGD=CGE=AGE,A,B,C,D,E,F,【證明】,G為重心，,AGB=BGC=AGC,由前一頁介紹的性質可知,又F為中點,ABC,AGF=BGF,AGB,=,ABC),=,ABC,同理可證BGD=CGD=,ABC,CGE=AGE=,ABC,故AGF=BGF=BGD=CGD=CGE=AGE,謝謝觀賞，拜拜,G,