第4章 傅里叶变换和系统的频谱分析课件.ppt
2023/1/17,1,第四章傅里叶变换和系统的频域分析,2023/1/17,2,4.1 信号分解为正交函数4.2 傅里叶级数4.3 周期信号的频谱4.4 非周期信号的频谱(傅里叶变换)4.5 傅里叶变换的性质4.7 周期信号的傅里叶变换4.8 LTI系统的频域分析4.9 取样定理,2023/1/17,3,4.1 信号分解为正交函数 矢量的分量和矢量的分解,2023/1/17,4,正交信号空间,设n个函数 构成一函数集，如在区间 内满足下列特性：,常数,则称此函数集为正交函数集，这n 个 构成一个n维正交信号空间。任意一个代表信号的函数 f(t)，在区间 内可以用组成信号空间的这n个正交函数的线性组合来近似。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,2023/1/17,5,在使近似式的均方误差最小条件下，可求得,均方误差,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,若令 趋于无限大，的极限等于零 则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）,代表函数 和 间的相似程度或相关程度,2023/1/17,6,如果在正交函数集 外,不存在函数，,其中,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,完备正交函数集（定义2）,2023/1/17,7,完备-有两层意思：,1.如果 在区间内与 正交，则 必属 于这个正交集。,2.若 与 正交，但 中不包含，则此集不完备。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,即：函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。,2023/1/17,8,如果在区间 内，复变函数集,满足,则称 为正交函数集。,4.1 信号分解为正交函数 信号的分量和信号的分解,复变函数的正交特性,若复变函数集是完备的，则,2023/1/17,9,周期信号 f(t)在区间(t0,t0+T)可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角型傅里叶级数”或“指数型傅里叶级数”，统称傅里叶级数。,1822年法国数学家傅里叶（17681830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为三角函数的无穷级数的原理。,4.2 傅里叶级数,2023/1/17,10,4.2 傅里叶级数,Dirichlet条件：(1)在一个周期内绝对可积；(2)在一个周期内只有有限个有限值的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,1829年，Dirichlet给出了补充，只有当周期信号 f(t)满足Dirichlet条件时，才能展开为傅里叶级数。(电子技术中的周期信号大都满足条件。),2023/1/17,11,三角函数集是完备正交函数集,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,12,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,傅里叶系数：,2023/1/17,13,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,14,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角形傅里叶级数,2023/1/17,15,例：将下图所示方波信号 f(t)展开为傅里叶级数,解：,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,16,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,17,所以，所示信号的傅里叶展开式为：,思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？,均方误差为,考虑 时，,本例中：,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,18,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,19,吉布斯（Gibbs）现象,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点附近出现起伏，起伏频率随谐波分量增加而增加，起伏峰值不随谐波分量增加而减少，起伏峰值有9%的超量。,2023/1/17,20,若给定的函数 f(t)具有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零，从而使傅里叶系数的计算简化。,f(t)为偶函数,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,21,偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,22,f(t)为奇函数,奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,23,f(t)为奇谐函数(半波镜像信号),f(t)为偶谐函数(半波重叠信号),偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。,奇谐信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流和偶次谐波分量。,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,24,周期信号的对称性与傅里叶系数的关系,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为三角型傅里叶级数,2023/1/17,25,复指数函数集是完备正交函数集,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数,2023/1/17,26,4.2 傅里叶级数 周期信号展开为指数型傅里叶级数,傅里叶系数：,2023/1/17,27,4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式,2023/1/17,28,4.2 傅里叶级数 从三角型傅里叶级数推导出指数形式,若 f(t)为实函数,2023/1/17,29,例 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。,解:,因此，f(t)的指数形式傅里叶级数展开式为,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式,2023/1/17,30,例 求 Fn,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数的指数形式,2023/1/17,31,4.2 傅里叶级数 傅里叶级数总结,2023/1/17,32,从功率的角度来考察周期信号时域和频域特性间的关系,4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率,直流功率,谐波功率,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,2023/1/17,33,例,求f(t)的功率。,解：,1),2),4.3 周期信号的频谱 周期信号的功率,2023/1/17,34,频谱的概念,或,通过研究傅里叶系数An、Fn 和 来研究信号的特性，它们是频率的函数，反映了组成信号各频率分量的幅度、相位的分布情况，称为频谱函数。,4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱,2023/1/17,35,单边幅度谱和双边幅度谱,4.3 周期信号的频谱 周期信号的频谱,2023/1/17,36,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,周期性矩形脉冲的频谱是离散的，仅含有 的分量，其相邻两谱线的间隔是，脉冲周期T越长，谱线间隔越小。,周期矩形脉冲信号的频谱(),2023/1/17,37,周期矩形脉冲信号的频带宽度(带宽，),周期矩形信号的谱线幅度按 的规律变化。在 处，即 处，包络为零，其相应的谱线亦等于零。,周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，但其信号能量主要集中在第一个零点以内。在允许一定失真条件下，只需传送频率较低的那些分量就足够表达原信号。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2023/1/17,38,物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,通常把 称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度或有效带宽，简称带宽。,2023/1/17,39,周期矩形脉冲信号的脉冲宽度与带宽、幅度频谱的关系,结论：脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。即信号信息量大、传输速度快，传送信号所占用的频带越宽。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2023/1/17,40,周期矩形脉冲信号频谱中周期与谱线密度的关系,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2023/1/17,41,非周期信号,结论：当 不变，T 增大，谱线间隔 减小，谱线逐渐密集，幅度 减小。,连续频率，幅度,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2023/1/17,42,周期信号频谱的特点,离散性谱线是离散的而不是连续的，谱线之间的间隔为。这种频谱常称为离散频谱。,收敛性各频谱线的高度随着谐波次数增高而逐渐减小，当谐波次数无限增高时，谱线的高度也无限减小。,谐波性谱线在频谱轴上的位置是基频 的整数倍。,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。,2023/1/17,43,例：计算图示信号频谱在第一个零点内各分量的功率占总功率的百分比,解：,傅里叶系数：,第一个过零点在 n=5,第一个过零点内功率：,有：,4.3 周期信号的频谱 周期矩形脉冲的频谱,2023/1/17,44,求其傅里叶级数。,例：单位冲激函数的间隔为T，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：,解：,T(t)是周期函数，其傅里叶级数：,4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱,2023/1/17,45,4.3 周期信号的频谱 周期单位冲激序列的频谱,可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0,2,n,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T。,2023/1/17,46,频谱密度函数,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,2023/1/17,47,此时，为了表明幅度间的相对差别，有必要引入一个新的量“频谱密度函数”,设周期信号,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,则,2023/1/17,48,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,2023/1/17,49,频谱函数与频谱密度函数的区别,（1）周期信号的频谱为离散的，非周期信号的频谱密度为连续的。,（2）周期信号的频谱为Fn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；,非周期信号的频谱为TFn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。,两者关系：,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,时域非周期频域连续,时域周期频域离散,2023/1/17,50,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,傅里叶反变换,2023/1/17,51,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,模,相位,实部,虚部,非周期信号可以分解为无数个虚指数信号的线性组合，这些信号的频率是连续的，幅度为无穷小。,2023/1/17,52,例 试求图示非周期矩形脉冲信号的频谱密度函数。,解：非周期矩形脉冲信号f(t)的时域表示式为,由傅里叶正变换定义式，可得,4.4 非周期信号的频谱 傅里叶变换,非常重要的公式！,信号在时域有限，则在频域将无限延续,2023/1/17,53,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,单边指数信号,2023/1/17,54,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,2023/1/17,55,4.4 非周期信号的频谱 常用信号的傅里叶变换,双边指数信号,2023/1/17,56,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此，这种频谱常称为“均匀谱”或“白色谱”,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位冲激函数,时域内的无限窄频域内的无限宽,2023/1/17,57,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,时域内的无限宽频域内的无限窄,2023/1/17,58,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位冲激函数导数的频谱,2023/1/17,59,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,符号函数的频谱,sgn函数不满足绝对可积条件，但它可以看作是奇双边指数函数f2(t)当0时的极限。,2023/1/17,60,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,2023/1/17,61,4.4 非周期信号的频谱 奇异函数的傅里叶变换,单位阶跃信号,2023/1/17,62,傅里叶变换的性质线性奇偶性对称性尺度变换时移特性卷积定理时域微分和积分频域微分和积分,4.5 傅里叶变换的性质,2023/1/17,63,说明：和信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,4.5 傅里叶变换的性质 线性,线性,例：,2023/1/17,64,奇偶性,4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性,2023/1/17,65,时域实偶频域实偶,时域实奇频域虚奇,4.5 傅里叶变换的性质 奇偶性,2023/1/17,66,例：求取样函数Sa(t)的频谱函数.,解：已知,根据傅里叶变换的线性性质,即,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,对称性,2023/1/17,67,根据傅里叶变换的对称性质，则有,即,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2023/1/17,68,例：求函数 t-1 的频谱函数.,解：已知,可得,则,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2023/1/17,69,4.5 傅里叶变换的性质 对称性,2023/1/17,70,尺度变换,4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换,2023/1/17,71,4.5 傅里叶变换的性质 尺度变换,2023/1/17,72,时移特性,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2023/1/17,73,4.5 傅里叶变换的性质 时移加尺度变换,2023/1/17,74,例：求下列所示三脉冲信号的频谱。,解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2023/1/17,75,其频谱如下：,4.5 傅里叶变换的性质 时移特性,2023/1/17,76,频移特性,4.5 傅里叶变换的性质 频移特性,2023/1/17,77,4.5 傅里叶变换的性质 频移特性,2023/1/17,78,卷积定理,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,卷积特性是傅里叶变换性质之一，在通信系统和信号处理中占有重要地位，应用最广。,2023/1/17,79,例:已知余弦脉冲信号,解：,利用卷积定理求其频谱。,把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号(t)与周期余弦信号相乘。,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,2023/1/17,80,时域,频域,4.5 傅里叶变换的性质 卷积定理,2023/1/17,81,微分特性,4.5 傅里叶变换的性质 微分特性,2023/1/17,82,积分特性,4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2023/1/17,83,例：求下列截平斜变信号的频谱,解：利用积分特性求y(t)的频谱Y(j)已知：y(t)的导数是矩形脉冲信号f(t),4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2023/1/17,84,根据积分特性求出y(t)的频谱Y(j),4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2023/1/17,85,解(a)：,(b)：,例：求图所示信号的傅里叶变换,4.5 傅里叶变换的性质 积分特性,2023/1/17,86,4.5 傅里叶变换的性质综合运用,2023/1/17,87,4.5 傅里叶变换的性质综合运用,2023/1/17,88,小结：,非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的虚指数分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，基波频率趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，因此它所包含的各频率分量的幅度趋于零。非周期信号的频谱用频谱密度来表示。周期信号其频谱为离散谱（傅里叶系数）,非周期信号其频谱为连续谱（傅里叶变换）周期信号与非周期信号，傅里叶系数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。,4.5 傅里叶变换的性质,2023/1/17,89,一般非周期信号（能量信号）的Parseval定理,4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系,2023/1/17,90,Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。,4.7 周期信号的傅里叶变换时域和频域的能量关系,2023/1/17,91,周期信号,非周期信号,周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制，也就有周期信号的傅里叶变换。,目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。,4.7 周期信号的傅里叶变换周期信号的频谱,傅里叶级数,傅里叶变换,FS,2023/1/17,92,4.7 周期信号的傅里叶变换常见周期信号的傅里叶变换,虚指数信号,同理:,虚指数信号的频谱密度,2023/1/17,93,余弦信号及其频谱密度,4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,94,正弦信号及其频谱密度,4.7 周期信号的傅里叶变换 常见周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,95,令周期信号f(t)的周期为T，角频率为=2f,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,表示在无穷小的频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱密度值。,2023/1/17,96,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,例：求周期为T，宽度为的矩形脉冲信号PT(t)的频谱密度函数,解：,PT(t)的傅里叶系数：,2023/1/17,97,代入到上式中，得,周期矩形脉冲的傅里叶变换由位于的冲激函数所组成。,周期矩形脉冲的傅里叶变换是频谱密度，其在的幅度是：,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,98,求傅里叶变换。,例：单位冲激函数的间隔为T，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,解：,可见，周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0,2,n,的频率分量，且分量大小相等，均等于1/T,T(t)是周期函数，其傅里叶级数：,2023/1/17,99,求T(t)的傅里叶变换。,可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于=0,2,，n,频率处的冲激函数，其强度大小相等，均等于。,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,100,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,101,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,102,例,4.7 周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换,2023/1/17,103,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,LTI系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应时域分析法,即将 分解为无限个 之叠加。,即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加。,时域方法缺点：计算复杂。,2023/1/17,104,虚指数信号ejwt(-t)通过连续LTI系统的零状态响应,其中,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2023/1/17,105,任意非周期信号通过连续LTI系统的零状态响应,若信号f(t)的傅里叶变换存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即,由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yzs(t)。,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2023/1/17,106,任意非周期信号通过连续系统的零状态响应,由积分特性,由均匀性,即,Yzs(jw),4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2023/1/17,107,幅度响应,相位响应,LTI系统把频谱为F(jw)的输入改变成频谱为 H(jw)F(jw)的响应，改变的规律完全由H(jw)决定。,Yzs(jw)=H(jw)F(jw),4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性,H(jw)称为该系统的频率响应，定义为,2023/1/17,108,结论：(1)在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理，实质相同。(2)频域分析法与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。傅里叶变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。,物理意义：,4.8 LTI系统的频域分析 基本概念,2023/1/17,109,解：利用傅里叶变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)，求系统的频率响应H(jw),4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,110,例 已知某LTI系统的冲激响应为 h(t)=(e-t-e-2t)(t)，求系统的频率响应H(j)。,解：利用H(jw)与h(t)的关系,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,111,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,112,例 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压，电路的起始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。,解：RC电路的频域模型如图，,由傅里叶反变换，得系统的冲激响应h(t)为,由电路的基本原理有,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,113,RC电路系统的幅度响应,随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。,由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。,低通滤波器,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,114,利用傅里叶分析方法求解线性系统的零状态响应,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,115,例 已知描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=3f(t)+4 f(t)，系统的输入激励 f(t)=e-3t(t)，求系统的零状态响应yzs(t)。,解：由于输入激励f(t)的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应yzs(t)的频谱函数Yzs(jw)为,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,116,例：如图所示系统，已知条件如下，求输出响应。,解:(1)先求 x(t)的傅里叶变换，已知,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,117,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,118,连续周期信号通过LTI系统的响应的频域分析,将周期为T的周期信号f(t)用傅里叶级数展开为,利用虚指数信号ejnt作用在系统上响应为,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,根据系统的线性特性，可得系统的零状态响应为,2023/1/17,119,例：某LTI系统频率响应如图，求 f(t)=2+4cos(5t)+4cos(10t)时的系统响应。,解法（1）：设输出 y(t)Yn,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,120,解法（2）：用傅里叶变换法,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,121,直流,基波,二次谐波,直流,基波,二次谐波,4.8 LTI系统的频域分析 频率响应,2023/1/17,122,4.8 LTI系统的频域分析,优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。不足：（1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍需按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。解决方法：采用拉普拉斯变换,系统响应频域分析小结,2023/1/17,123,无失真：系统的响应与激励相比，波形无任何变化，即：仅在幅度因子或出现时间上有变化，称信号在传输过程中无失真。失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,124,信号失真原因,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,125,线性系统的幅度失真与相位失真都不产生新的频率分量。非线性系统：由于非线性特性对所传输信号产生非线性失真。非线性失真可能产生新的频率分量。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,126,信号的失真有正反两方面：如果有意识地利用系统进行波形变换，则要求信号经系统必然产生失真。如果要进行原信号的传输，则要求传输过程中信号失真最小，即要研究无失真传输的条件。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,127,线性系统无失真条件,波形无改变则称为无失真,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,128,信号通过系统时，谐波的相移与其频率成正比。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,带宽无限大,2023/1/17,129,例：,基波,二次谐波,为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,130,群时延概念,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,131,特定波形的形成,实际应用中，有意识地利用系统引起失真来形成某种特定波形。这时，系统传输函数则应根据所需要求进行设计。,例：利用冲激信号作用于系统产生某种特定的波形的方法。,4.8 LTI系统的频域分析 无失真传输,2023/1/17,132,理想滤波器的频率响应,滤波器是指能使信号的一部分频率通过(无失真传输)，而使另一部分频率通过很少的系统。,理想低通,理想高通,理想带通,理想带阻,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2023/1/17,133,理想低通滤波器的频域特性,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,为截止频率(Cut off frequency),2023/1/17,134,理想低通滤波器的冲激响应,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2023/1/17,135,理想低通滤波器的冲激响应,分析：,1)h(t)的波形是一个取样函数，不同于输入信号d(t)的波形，有失真。,原因：理想低通滤波器是一个带限系统，而冲激信号d(t)的频带宽度为无穷大。,减小失真方法：增加理想低通截频wc。h(t)的主瓣宽度为2p/wc，wc越小，失真越大。当wc 时，理想低通变为无失真传输系统，h(t)也变为冲激函数。,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2023/1/17,136,理想低通滤波器的冲激响应,分析：,2)h(t)主峰出现时刻 t=td 比输入信号d(t)作用时刻t=0延迟了一段时间td。td是理想低通滤波器相位响应的斜率。,3)h(t)在 t0 的区间也存在输出，可见理想低通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个物理不可实现的系统。,4.8 LTI系统的频域分析 理想低通滤波器,2023/1/17,137,取样、取样信号的概念,取样,利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列的离散样值fs(t)=f(t)s(t)的过程。,经抽取后的一系列的离散信号fs(t)。,取样信号fs(t)与取样函数Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。取样也称为“采样”或“抽样”。,取样信号,4.9 取样定理基本概念,2023/1/17,138,实现取样的原理及框图,取样原理：连续信号经取样成取样信号，再经量化、编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行上述逆过程，就可恢复出原连续信号。,取样,量化编码,连续信号,f(t),取样信号,数字信号,fs(t),取样脉冲,s(t),4.9 取样定理基本概念,2023/1/17,139,思考：,1.取样信号fs(t)的傅里叶变换什么样？它和未经取样的原连续信号 f(t)的傅里叶变换有什么联系？,2.连续信号被取样后，它是否保留了原信号 f(t)的全部信息？,3.在什么条件下，可从取样信号 fs(t)中无失真地恢复出原连续信号 f(t)？,4.9 取样定理基本概念,2023/1/17,140,4.9 取样定理基本概念,冲激取样(理想取样）取样脉冲 s(t)是冲激序列,矩形脉冲取样(自然取样）取样脉冲s(t)是矩形,2023/1/17,141,设连续信号,取样脉冲信号,取样后信号,采用均匀取样，取样周期为Ts，取样频率为：,取样过程：取样脉冲序列s(t)与连续信号f(t)相乘。即：,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,142,s(t)是周期信号，其傅里叶变换,其中,是s(t)的傅里叶系数,根据频域卷积定理：,化简,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,143,冲激取样(理想取样）,若取样脉冲 s(t)是冲激序列,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,144,得到冲激取样信号的频谱：,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,145,结论：,信号在时域冲激取样其频谱 Fs(j)是原信号频谱 F(j)的周期延拓其周期为取样频率 s其幅度被 1/Ts加权,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,146,取样脉冲s(t)是矩形，它的脉冲幅度为E，脉宽为，取样角频率为s(取样间隔为Ts)，,矩形脉冲取样(自然取样）,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,147,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,148,结论：,对于矩形脉冲取样，其频谱的幅度随Sa函数变化。对于冲激取样，其频谱的幅度为常数。,冲激取样是矩形脉冲取样的一种极限情况。实际取样使用较窄的矩形脉冲取样，来近似冲激取样。,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,149,例：画出单矩形信号经冲激取样后的频谱。,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,150,周期矩形信号的频谱为离散频谱。,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,例：画出周期矩形信号经冲激取样后的频谱。,解：,2023/1/17,151,现将周期矩形信号 f(t)经间隔为 Ts 的冲激序列取样，即取样信号：,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,152,周期矩形信号时域取样后，信号的频谱是离散频谱的周期延拓。,周期矩形信号其频谱为离散频谱。,4.9 取样定理取样信号的傅里叶变换,2023/1/17,153,不产生混叠（高采样率）,产生混叠（低采样率）,4.9 取样定理时域取样定理,时域取样定理,2023/1/17,154,若带限信号f(t)的最高角频率为m，则信号f(t)可以用等间隔的取样值唯一地表示。而取样间隔T需不大于1/2fm，或最低取样频率fs不小于2fm,若从取样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件：,(1)f(t)是带限信号，即其频谱函数在|m各处为零；,(2)取样间隔T需满足，,或取样频率fs需满足 fs 2fm（或s 2 m）,4.9 取样定理时域取样定理,2023/1/17,155,4.9 取样定理时域取样定理,物理意义：为保留波形所有频率分量的全部信息，要求：最高频率分量一个周期内至少取样两次。,fs=2fm 为最小取样频率，称为奈奎斯特频率。Ts为最大取样间隔，称为奈奎斯特间隔。,2023/1/17,156,例 已知实信号f(t)的最高频率为fm(Hz)，试计算对各信号f(2t)，f(t)f(2t)取样不混叠的最小取样频率。,对信号f(2t)取样时，最小取样频率为,4fm(Hz)；,对f(t)f(2t)取样时，最小取样频率为,6fm(Hz)。,解：根据信号时域与频域的对应关系及取样定理得：,4.9 取样定理时域取样定理,2023/1/17,157,4.9 取样定理时域取样定理,2023/1/17,158,例：取样定理与信号恢复,频率受限信号，符合取样定理，还原出原信号,4.9 取样定理时域取样定理,2023/1/17,159,总结：信号的时域特性与频域特性的对应关系,时域非周期频域连续,时域周期频域离散,时域中时移频域中相移,时域中 频域中频移,时域中取样频域中周期延拓,2023/1/17,160,本章作业4.8(1)4.10(c)4.13(a)4.14(a)利用傅里叶变换的性质4.17(1)4.19(a)4.30(2)4.454.48(3),
