概率论与数理统计 第二章课件.ppt

第二章 一维随机变量及其分布,第一节 随机变量第二节 离散型随机变量及其分布律第三节 随机变量的分布函数第四节 连续型随机变量及其概率密度第五节 随机变量的函数的分布,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时，就建立起了随机变量的概念,1.为什么引入随机变量?,第一节 随机变量,2.随机变量的引入,实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,S=红色、白色,非数量,将 S 数量化,可采用下列方法,红色,白色,即有 X(红色)=1,X(白色)=0.,这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了.,实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,1.定义 设X X(w)是定义在样本空间W上的实值函数，称X X(w)为随机变量.,随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等表示或希腊字母,.等表示。,下图给出样本点w与实数X X(w)对应的示意图,二、随机变量的概念,实例3 掷一个硬币,观察出现的面,共有两个结果:,若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数,则有,即 X 是一个随机变量.,实例4 在有两个孩子的家庭中,考虑其性别,共有 4 个样本点:,若用 X 表示该家女孩子的个数时,则有,可得随机变量 X=,实例5 设盒中有5个球(2白3黑),从中任抽3个,则,是一个随机变量.,且 X(e)的所有可能取值为:,实例6 观察某城市的120急救电话台一昼夜接到的呼叫次数如果用X表示呼叫次数，那么 表示一随机事件，显然 也表示一随机事件,实例7 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,是一个随机变量.,且 X(e)的所有可能取值为:,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,2.说明,(1)随机变量与普通的函数不同,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,(3)随机变量与随机事件的关系,随机变量的取值随试验的结果而定，随机变量的某种取值都对应一个随机事件；而随机变量的取值概率即为所对应的随机事件的概率。,3.随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量的可能取值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能取值是:,随机变量,连续型,实例1,1,2,3,4,5,6.,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则 X 的可能取值是:,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标的次数”,则 X 的所有可能取值为:,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值是某个区间上的任意一个实数,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为,实例2 在区间0，1上随机地投点，随机变量X 为“点的位置（坐标）”。,则 X 的取值范围为 0，1,X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为,（2.1）,则称（2.1）式为离散型随机变量X的分布律。,定义 设离散型随机变量 X 所有可能取值为,第二节 离散型随机变量及其分布律,分布律也可以直观地用下面的表格来表示：,由概率的定义知，分布律中的 应满足以下条件：,解：,补例 某系统有两台机器相互独立地运转设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X的分布律。,解,（1）确定r.v.X的所有可能取值；,（2）求X取各个可能值的概率，即求所对应的 随机事件的概率。,X=0,1,2,故X的分布律为：,解：,例1,X 的可能取值为：0，1，2，3，4,则有,补例 某盒产品中恰有8件正品，2件次品，每次从中不放回的任取一件进行检查，直到取到正品为止，表示抽取次数，求 的分布律。,解：,的可能取值为：1，2，3,“第一次取到正品”,“第一次取到次品，第二次取到正品”,“前两次均取到次品，第三次取到正品”,思考：将“无放回”改成“有放回”，求 的分布律。,故 的分布律为,的可能取值为：1，2，3，,（一）（01）分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是,则称 X 服从（01）分布或两点分布,（01）分布的分布律也可写成,T,H,对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在W上定义一个服从（01）分布的随机变量,来描述这个随机试验的结果。,检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述,引例,数学考试中有5个问题。这些问题可以看成是相互独立的。某人能以0.8的概率解出每一道题目。则他能解出所有的5道题的概率是多少？他能解出5道题中的三道的概率是多少？,解答,他能解出所有的5道题的概率是多少？,能以0.8的概率解出每一道题目问题可以看成是相互独立的,解答,能解出5道题中的三道的概率是多少？,恰能解出5道题中的前面三道的概率,恰能解出5道题中的后面三道的概率,解答,能解出5道题中的三道的概率是多少？,1.从5道题中选出三道，可能的选法有,2.他恰能解出所选出的三道的概率为,能解出5道题中的三道的概率,伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用,设试验 只有两个可能结果：及,则称 为伯努利（Bernoulli）试验设，此时,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验.,（二）伯努利试验与二项分布,现在求的分布律,这种项共有 个，而且两两互不相容,由试验的独立性，得,同理可得上式右边各项所对应的概率均为,即,利用概率的有限可加性知,显然,注意到 刚好是二项式 的展开式中出,解,因此,例3,这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大,且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.,分析,例2,解,作出上表的图形，如下图所示,例4 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01，且一台设备的故障能由一个人处理。考虑两种配备维修工人的方法,其一是由四人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护台80。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小。,发生故障时不能及时维修”,以X记“一个人维护的20台中同时发生故障的台数”,故有,即有,按第二种方法,故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为,（三）泊松分布,在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.,当n很大，p很小（np=）时，有以下近似式,设1000 只产品中的次品数为 X,则,可利用泊松定理计算,所求概率为,解,例5 有计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率达0.1%，各芯片成为次品相互独立。求在1000 只产品中至少有2只次品的概率。,实例 在区间0，1上随机地投点，随机变量X 为“点的位置（坐标）”.,则 连续型r.v.X 的取值范围为 0，1,任取一实数,没有多大的意义,为了对离散型和连续型r.v.以及其它类型的r.v.给出一种统一的描述方法，我们考虑一个r.v.的取值落在区间 的概率。,F(x)是r.v X取值不大于 x 的概率；在几何上，它表示r.v.X的取值落在区间(-,x的概率。,第三节 随机变量的分布函数,定义,其定义域是整个实数轴,F(x)是一个普通的函数，,1.,2.,3.,对任意实数 x1x2，r.v.X的取值落在区间（x1,x2 的概率为：,分布函数 的基本性质：,解,离散型r.v.的分布函数,解,例1,也可表示为,一般地，设离散型r.v.X的分布律为,离散型r.v.的分布函数 是一种概率的累加，是分段函数，它的图形是阶梯状曲线，在 处有跳跃，其跳跃值为。,例2 一个靶子是半径为2m的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.,解,于是,故 X 的分布函数为,其图形为一连续曲线,注意 两类随机变量的分布函数图形的特点不一样。离散型r.v.的分布函数是分段函数；连续型r.v.的分布函数是连续函数。,第四节 连续型随机变量,定义,1,补例 设连续型随机变量X具有概率密度,解：,例1,解,注意 对于任意可能值 a,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即,证明,由此可得,连续型随机变量取值落在某一区间的概率与区间的开闭无关,注意,若 X 为离散型随机变量,若X是连续型随机变量，,概率为0的事件不一定是不可能事件,概率为1的事件不一定是必然事件,（一）均匀分布,解,由题意,R 的概率密度为,故有,例2 设电阻值 R 是一个随机变量，均匀分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在950 1050 的概率,补例 设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测。求至少有两次观测值大于3的概率。,设Y表示三次独立观测其测值大于3的次数，则,解：,X 的概率密度函数为,（二）指数分布,指数分布的概率密度及分布函数分别如图所示,应用 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,补例 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为=2000的指数分布(单位:小时).(1)任取一只这种灯管,求能正常使用1000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上,求还能使用1000小时以上的概率.,X 的分布函数为,解,指数分布的重要性质:“无记忆性”.,见书P46,（三）正态分布(或高斯分布),正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.,正态分布的应用与背景,正态概率密度函数的几何特征,即曲线以x轴为渐近线,故称为位置参数,故称为形状参数,正态分布的分布函数,但,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数表示为,解,补例,查p382标准正态分布表,正态分布下的概率计算,补例 设XN(0,1)，求P(|X|1.96),解 P(|X|1.96)=P(-1.96X1.96),=20.975-1=0.95,=(1.96)-1-(1.96),=2(1.96)-1,=(1.96)-(-1.96),解,例,例,解,(1)所求概率为,解,例3,第五节 随机变量的函数的分布,问题,一、离散型随机变量的函数的分布,例1,解,离散型随机变量的函数的分布,Y 的分布律为,解,第一步 先求Y=2X+8 的分布函数,解,二、连续型随机变量的函数的分布,例2,第二步 由分布函数求概率密度.,例3,解,例4,证明,证明,X 的概率密度为,例4,解,例5,连续型随机变量的函数的分布,一、重点与难点,二、主要内容,三、典型例题,第二章随机变量及其分布习 题 课,一、重点与难点,1.重点,离散型r.v的分布律,连续性r.v.的概率密度函数,2.难点,连续型随机变量（的函数）的分布计算,分布函数,根据分布求r.v.落在某个区间的概率,常用的离散型和连续型分布,随机变量函数的分布,二、主要内容,随 机 变 量,离 散 型随机变量,连 续 型随机变量,分 布 函 数,分 布 律,密 度 函 数,均匀分布,指数分布,正态分布,两点分布,二项分布,泊松分布,随机变量的函数的 分 布,定义,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一定是实数).,(1)随机变量与普通的函数不同,随机变量,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,(3)随机变量与随机事件的关系,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,随机变量的分类,随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,叫做离散型随机变量.,随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,离散型随机变量的分布律,(1)定义,(2)说明,设随机变量 X 只可能取0与1两个值,它的分布律为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.,两点分布,称这样的分布为二项分布.记为,二项分布,两点分布,二项分布,泊松分布,(2)说明,随机变量的分布函数,(1)定义,分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况.,即任一分布函数处处右连续.,(3)性质,离散型随机变量的分布函数,(4)重要公式,连续型随机变量的概率密度,(1)定义,(2)性质,均匀分布,(1)定义,(2)分布函数,分布函数,指数分布,正态分布(或高斯分布),(1)定义,(2)分布函数,标准正态分布的概率密度表示为,标准正态分布的分布函数表示为,(3)标准正态分布,标准正态分布的图形,(4)重要公式,随机变量的函数的分布,(1)离散型随机变量的函数的分布,(2)连续型随机变量的函数的分布,定理,思路 首先根据概率分布的性质求出常数 a 的值,然后确定概率分布律的具体形式,最后再计算条件概率.,利用概率分布律的性质,解,三、典型例题,例1,因此 X 的分布律为,从而,例2 袋中有球10个，7红3黑，逐个随机抽取，若取出黑球，则放入红球取代，依次进行，直到取到红球为止。求（1）抽取次数N的分布律；（2）N的分布函数。,解 N的分布律为,思路 首先利用分布函数的性质求出常数 a,b,再用已确定的分布函数来求分布律.,解,例3,从而 X 的分布律为,解,例4,所以 X 的分布函数为,(4),或,例5,故有,解,(1)因为 X 是连续型随机变量,思路,例6,解,从而,所求概率为,