复变函数与积分变换第四五章PPT课件.ppt

CH4 级数4.1 收敛序列和收敛级数 4.1.1收敛序列,4.1.2 收敛数项级数,4.1.3函数项级数,4.2 幂级数,4.2.1 幂函数的概念,4.2.2 收敛半径,4.2.3 幂级数和函数的性质,4.3 泰勒级数,麦克劳林级数,求导，找规律，总结出通项。,4.4 罗朗级数,4.4.1 罗朗级数的概念,4.4.2 解析函数的罗朗展开,利用“幂级数展式”展开的罗朗展开方法,作业：4.1.14.1.8（a）（b）4.2.2（a）（b）(d)4.3.1(b)4.4.5(b)4.4.6,CH5 留数5.1 解析函数的孤立奇点 5.1.1 孤立奇点的定义及分类,5.1.2 零点与极点的关系,定理5.3.,2023/1/16,36,例,（通过零点阶数判断极点阶数）,解：,2023/1/16,37,5.1.3、函数在无穷远点的性态,分析：,5.2留数的一般理论,38,5.2.1、留数的定义,1留数概念,因此将函数在0|z-z0|R内展成洛朗级数为,留数定义：,说明：,留数计算方法：a:对于本性奇点：利用罗朗展式找出a-1。b:对于可去奇点：a-1=0（主要部分）c:对于极点：（分为一阶（简单）极点，与m阶极点）,定理5.5留数定理：设f(z)在回路l上处处解析并且在l内部除有限个孤立奇点z1,z2,z3,外处处解析，则,2023/1/16,46,5.2.3、函数在无穷远点的留数,2023/1/16,47,定理5.6,证明：,2023/1/16,48,例,解：,2023/1/16,49,例,留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。,5.3 留数在定积分计算上的应用,如图，对于实积分，变量 x 定义在闭区间 a,b(线段)，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：,1.形如 的积分,其中R(cosq,sinq)为 cosq与sinq 的有理函数.,令 z=eiq,则 dz=ieiq dq,而,其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为零,根据留数定理有,其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点.,取积分路线如图所示,其中CR是以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内.,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,3.形如 的积分,当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(z)在实数轴上没有奇点时,积分是存在的.象2中处理的一样,此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变.,也可写为,例 计算 的值.,解 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的.在上半平面内有一级极点ai,作业：5.1.1 a,c,d,j,l5.2.1 a,b,c,g,j5.2.5 a,b,d5.2.6 a,c5.3.1 a,c,f,第五章重点：1.奇点的分类和判定方法。2.留数的定义和留数定理（重点为有限平面的孤立奇点，不包含无穷远点）3.留数在定积分计算上的应用。四种形式的实数积分利用留数定理求解。,