第4章贪心算法ppt课件.pptx

上午1时2分,第4章 贪心算法,1,上午1时2分,第4章 贪心算法,贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。贪心算法不从整体最优考虑，作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解.但对有些问题可以快速获得最优解。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。,2,上午1时2分,第4章 贪心算法,本章主要知识点：4.1 活动安排问题4.2 贪心算法的基本要素4.3 最优装载4.4 哈夫曼编码4.5 单源最短路径4.6 最小生成树4.7 多机调度问题4.8 贪心算法的理论基础,3,上午1时2分,4.1 活动安排问题,活动安排问题就是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动能兼容地使用公共资源。,4,上午1时2分,4.1 活动安排问题,5,设有n个活动的集合E=1,2,n，其中每个活动都要求使用同一资源，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。活动i占用区间si,fi),活动j占用区间sj,fj),则活动i与活动j是相容的条件是sifj或sjfi。换句话说，就是后一个活动的开始时间不能在前一个活动结束之前。,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,报告厅申请登记表 xxxx年xx月xx日,请给出安排方案要求：使报告厅安排的活动数最多,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,递增,报告厅申请登记表 xxxx年xx月xx日,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,1,2,3,4,5,6,7,8,9,报告厅申请登记表 xxxx年xx月xx日,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,按结束时间递增排序后的表格,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,按结束时间递增排序后的表格,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,a1,a3,a6,a8,a2,a4,a5,a9,a7,8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23,上午1时2分,Greedy Algorithms,Creative Thinking&Problem Solving,问题描述,n个需要排队使用某个公共资源的活动。,S=a1,an,ai在半开区间si,fi)使用资源，其中si=开始时间，fi=结束时间,目标：安排最大可能的非重叠活动集合,greedySelector:public static int greedySelector(int s,int f,boolean a);/n个活动按照结束时间从小到大排序后存放于s,f中 int n=s.length-1 a1=true;int j=1;int count=1;for(int i=2;i=fj)ai=true;j=i;count+;else ai=false;return count;,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,复杂度:(n),如果给定的活动没有事先按结束时间排序，需要先排序，这样整个算法的时间复杂性是？,21,4.2 贪心算法的基本要素,对于一个具体的问题，怎么知道是否可用贪心算法解此问题，以及能否得到问题的最优解呢?从许多可以用贪心算法求解的问题中看到这类问题一般具有2个重要的性质：贪心选择性质最优子结构性质。,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,1.贪心选择性质 贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题 贪心算法通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。,22,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,2.最优子结构性质 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。即此二种算法都要求问题具有最优子结构性质。,23,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,3.贪心算法与动态规划算法的差异贪心算法和动态规划算法都要求问题具有最优子结构性质，这是2类算法的一个共同点。但是，对于具有最优子结构的问题应该选用贪心算法还是动态规划算法求解?下面研究2个经典的组合优化问题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。,24,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?,25,在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1in。,26,这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,用贪心算法解背包问题的基本步骤：首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。具体算法可描述如下页：,27,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,void Knapsack(int n,float M,float v,float w,float x)Sort(n,v,w);int i;for(i=1;ic)break;xi=1;c-=wi;if(i=n)xi=c/wi;,28,算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O（nlogn）。当然，为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。,上午1时2分,4.2 贪心算法的基本要素,对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。0-1背包举例：设背包的容量w=6，(Wi，Vi)|(1，3),(3，6),(5，9)为三个物品重量和价值按照贪心算法得最大价值=9，实际上可以得到12.实际在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。第三章使用动态规划方法解决了0-1背包。,29,上午1时2分,4.3 最优装载,有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。1.算法描述最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体算法描述如下页。,30,上午1时2分,4.3 最优装载,templatevoid Loading(int x,Type w,Type c,int n)/w数组按单位重量价值非递减排序。Sort(w,n);for(int i=1;i=n;i+)xi=0;for(int i=1;i=n,31,上午1时2分,4.3 最优装载,2.贪心选择性质 设集装箱依其重量从小到大排序，（x1,x2,.xn)是其最优解，xi=0,1，设xk是第一个等于1的。（1）如k=1，则满足贪心选择性质（2）如k1，用x1替换xk，构造的新解同原解最优值相同，故也是最优解。因此满足贪心选择性质。3.最优子结构性质最优装载问题具有最优子结构性质 T(1,n,w)=1+T(2,n,w-w1)算法loading的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为 O(nlogn)。,32,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,ASCII 码,Morse 码,定长,变长,4.4 哈夫曼编码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,看一个例子,有一个100,000个字符的数据文件，字符集为：a,b,c,d,e,f,总位数=3*100,000=300,000 比特,定长编码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,若在100,000个字符的数据文件中，每个字符出现的频率分别为（每100个）：a 45,b 13,c 12,d 16,e 9,f 5,变长编码,总位数=(1*45+1*13+2*12+2*16+2*9+2*5)*1000=142,000 比特,节省空间50%,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,例子,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,a,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,a,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,b,a,看出问题了吗,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,b,a,d,01,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,b,a,d,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,b,a,d,a?e?,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,0 1 0 1 1 0 0,b,a,d,a?e?,a,a,a e,如何解决解码时的二义性?,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,x,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,x,b,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,x,b,x,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,x,b,x,x,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,新的变长编码,有什么不同?,0 1 0 1 1 0 0,a,x,x,b,x,x,c,解码,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,前缀码 Prefix code,前缀码：给定一个序列的集合，若不存在一个序列是另一个序列的前缀，则该序列集合称为前缀码。,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,总位数=(1*45+3*13+3*12+3*16+4*9+4*5)*1000=224,000 比特,25%,上午1时2分,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,d:16,58,28,86,14,14,100,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,定长码,xx,x:xx,x:xx,+,=,xx,xx,定长编码二叉树,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,d:16,100,0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,55,30,25,14,前缀码,xx,x:xx,x:xx,+,=,xx,xx,哈夫曼编码二叉树,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,B(T)=cCdT(c)f(c),dt(c)叶子c在T中的深度f(c)c在文件中出现的频度C 字符集B(T)平均比特数,代价,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,最优问题,贪心算法 Greedy Algorithm,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,贪心算法 Greedy Algorithm,哈夫曼编码 Huffman codes,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,min-priority Queue,按频率递增排序,d:16,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,d:16,14,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,d:16,14,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,c:12,b:13,a:45,d:16,14,New node,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,30,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,30,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,30,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,30,55,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,f:5,e:9,a:45,d:16,14,c:12,b:13,25,30,55,100,root,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Huffman(C)n C/C数组记录所有字符的发生频度 Q C/*min-priority queue*/for i 1 to n-1 allocate a new node z leftz x Extract-Min(Q)rightz y Extract-Min(Q)fz fx+fy Insert(Q,z)return Extract-Min(Q),哈夫曼算法伪码,返回树的root,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,设C为一字母表，其中每个字符cC 具有频率fc。设x和y为C中具有最低频率的两个字符，则存在C的一种最优前缀编码，其中x和y的编码长度相同但最后一位不同。证明方法:,贪心选择性质,T,T,T“,B(T)-B(T)=.=(f(b)-f(x)(dT(b)-dT(x)0B(T)-B(T”)=.=(f(c)-f(y)(dT(c)-dT(y)0由此推出B(T)B(T)B(T”)因为T是最优解，因此只有B(T)=B(T”)成立也就是发生频率最低的两个字符在哈夫曼树的最低层，存在一种形式既是一个父节点的二个孩子节点。,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,设T为表示字母表C上的一种最优前缀编码的一棵满二叉树，对每个字符cC 定义有频率fc。考虑T中任意两个为兄弟叶节点的字符x和y，并设z为它们的父节点。那么，若认为z是一个频率为fz=fx+fy的字符的话，树T=T-x,y就表示了字母表C=C-x,y z上的一种最优前缀编码。证明:推导可得:B(T)=B(T)+f(x)+f(y)用反证法可以证明B(T)一定是一个最优解,最优子结构性质,上午1时2分,4.5 单源最短路径,给定带权有向图G=(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度。这里路径的长度是指路径上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。1.算法基本思想Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。,73,上午1时2分,4.5 单源最短路径,基本思想:设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。从源只经过S中顶点到达u（S外）称为从源到u的特殊路径，用数组dist记录当前每个顶点的最短特殊路径长度。具有最短特殊路径长度值最小的为最短路径已知。每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。直到S包含了所有V中顶点.,74,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,带有非负边权的图,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,初始化：,0,Q:A B C D EDist 0,S:,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,“A”Extract-Min(Q):,Q:A B C D Edist 0,S:A,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,10,3,Q:A B C D Edist 0,S:A,10 3,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,Q:A B C D E 0,S:A C,10 3,“C”Extract-Min(Q):,10,3,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,11,5,Q:A B C D E 0,S:A C,10 3,7,3,7 11 5,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,11,5,Q:A B C D E 0,S:A C E,10 3,7,3,7 11 5,“E”Extract-Min(Q):,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,11,5,Q:A B C D E 0,S:A C E,10 3,7,3,7 11 5,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,11,5,Q:A B C D E 0,S:A C E B,10 3,7,3,7 11 5,“B”Extract-Min(Q):,7 11,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,9,5,Q:A B C D E 0,S:A C E B,10 3,7,3,7 11 5,7 11,9,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,Dijkstra 算法例子演示,A,B,C,D,E,10,3,1,4,2,2,8,7,9,0,9,5,Q:A B C D E 0,S:A C E B D,10 3,7,3,7 11 5,7 11,9,“D”Extract-Min(Q):,上午1时2分,4.5 单源最短路径,2.算法的正确性和计算复杂性(1)贪心选择性质(2)最优子结构性质(3)计算复杂性对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循环体需要 时间。这个循环需要执行n-1次，所以完成循环需要 时间。算法的其余部分所需要时间不超过。,86,上午1时2分,4.6 最小生成树,设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边(v,w)的权为cvw。如果G的子图G是一棵包含G的所有顶点的树，则称G为G的生成树。生成树上各边权的总和称为该生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。,87,上午1时2分,4.6 最小生成树,1.最小生成树性质用贪心算法设计策略可以设计出构造最小生成树的有效算法。Prim算法和Kruskal算法,这2个算法做贪心选择的方式不同，但它们都利用了最小生成树性质：设G=(V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)E，且uU，vV-U，且在所有这样的边中，(u,v)的权cuv最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，它以(u,v)为其中一条边。这性质有时也称为MST(最小生成树）性质。,88,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,输入:一个连通非有向图 G=(V,E)，其权 函数为w:E R.输出:一个连接所有顶点且权值 最小的生成 树(spanning tree)T：,最小生成树 Minimum spanning trees,w(T)=(u,v)T w(u,v),MST,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,3,14,6,12,5,8,10,7,9,15,MST例子,G=(V,E),上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,3,14,6,12,5,8,10,7,9,15,MST例子,MST,G=(V,E),上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,MST对 现实世界的抽象,电信 网络通信 集成电路布线 交通,上午1时2分,交通,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,电信,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,电信,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,最优子结构 Optimal Substructure,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,最优子结构 Optimal Substructure,u,v,T1,T2,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,u,v,T1,T2,w(T)=w(u,v)+w(T1)+w(T2),最优子结构证明,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,最优子结构证明,u,v,T1,T2,T=T1(u,v)T2,T=T1(u,v)T2,设 T1 比 T1更优,T T,矛盾,设T是最优MST,Cut and paste,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,u,v,T1,T2,w(T)=w(u,v)+w(T1)+w(T2),上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,贪心选择性质,重要,局部最优即全局最优,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,u,v,w(T)=w(T1)+w(u,v)+w(T2),T1和T2连接的最短边,证明：,T1,T2,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,u,v,w(T)=w(T1)+w(u,v)+w(T2),证明：,T1,T2,u,v,w(T)=w(T1)+w(u,v)+w(T2),Cut and paste,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,u,v,T1,T2,开始节点,选最短边,上午1时2分,4.6 最小生成树,2.Prim算法（选顶点加入集合S）设G=(V,E)是连通带权图，V=1,2,n。构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是：首先置S=1，然后，只要S是V的真子集，就作如下的贪心选择：选取满足条件iS，jV-S，且cij最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S=V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。,105,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,8,7,7,4,3,8,9,A,B,C,D,E,F,0,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,8,7,7,4,3,8,9,A,B,C,D,E,F,0,2,8,7,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,8,7,7,4,3,8,9,A,B,C,D,E,F,0,2,8,7,7,5,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,7,7,4,3,8,9,A,B,C,D,E,F,0,2,7,5,7,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,7,7,4,3,8,A,B,C,D,E,F,0,2,7,5,7,4,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,7,7,4,3,8,A,B,C,D,E,F,0,2,7,5,7,4,3,上午1时2分,Creative Thinking&Problem Solving,Greedy Algorithms,2,5,7,7,4,3,8,A,B,C,D,E,F,0,2,7,5,4,3,上午1时2分,4.6 最小生成树,3.Kruskal算法(选择连接属于两个不同连通分支的最小边）首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。所有的边按权从小到大排序。顺序检查每条边，如果一条边的端点v和w分别是当前2个不同的连通分支T1和T2时，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，否则放弃这条边。这个过程一直到只剩一个连通分支时为止(或者说选择了n-1条边为止）。,113,上午1时2分,4.6 最小生成树,例如，对前面的连通带权图，按Kruskal算法顺序得到的最小生成树上的边如下图所示。,114,上午1时2分,4.6 最小生成树,当图的边数为e时，Kruskal算法所需的计算时间是。当 时，Kruskal算法比Prim算法差，但当 时，Kruskal算法却比Prim算法好得多。,115,上午1时2分,4.7 多机调度问题,多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。这个问题是NP完全问题，到目前为止还没有有效的解法。对于这一类问题,用贪心选择策略有时可以设计出较好的近似算法。,116,约定，每个作业均可在任何一台机器上加工处理，但未完工前不允许中断处理。作业不能拆分成更小的子作业。,上午1时2分,4.7 多机调度问题,采用最长处理时间作业优先的贪心选择策略可以设计出解多机调度问题的较好的近似算法。按此策略，当 时，只要将机器i的0,ti时间区间分配给作业i即可，算法只需要O(1)时间。当 时，首先将n个作业依其所需的处理时间从大到小排序。然后依此顺序将作业分配给空闲的处理机。算法所需的计算时间为O(nlogn)。,117,上午1时2分,4.7 多机调度问题,例如，设7个独立作业1,2,3,4,5,6,7由3台机器M1，M2和M3加工处理。各作业所需的处理时间分别为2,14,4,16,6,5,3。按算法greedy产生的作业调度如下图所示，所需的加工时间为17。排序后：,118,讨论题,1.装船问题推广到二艘船，贪心算法是否可行？为什么？2.会场安排问题 足够多的会场里安排一批活动，希望所用会场数