第2讲：概率论基础知识及应用ppt课件.ppt

2012年全国大学生数学建模竞赛暑期培训,概率知识基础,第2讲,数学建模指导组黄新仁,内容提要,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的决窍,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,序言,人们在研究经济管理、工程技术、医疗卫生、军事科学以及其他社会问题中，通常总是通过调查或对社会现象的观察来获取所研究问题的有关数据；在自然科学领域中，人们也是通过科学实验或对自然现象的观察来获取所需要的资料。,对社会现象的观察和对自然现象的科学实验在概率论和统计学中都统称为试验。,相同条件下，结果总是相同,相同条件下，结果不总是相同,一、概率论基础知识概述,（1）试验可在相同的条件下重复进行，而且试验的结果不止一个；（2）每次试验前不能确定将会出现哪一结果，但其所有的可能结果可预知.,随机试验,（1）投掷一个均匀的骰子，观察出现的点数；（2）在一批产品中任意抽取一件进行检验；（3）企业市场调查人员就本企业的产品和服务进行的用户满意度调查；（4）对某产品进行的寿命.,【举例】,一、概率论基础知识概述,随机事件及相关概念,随机事件随机试验的结果称为随机事件.,基本事件试验中每一可能出现的结果，一个基本事件或样本点.,复合事件由多个基本事件构成的集合.,基本事件和复合事件统称为随机事件，常用字母 A，B，C，表示.,样本空间由试验 E 所有样本点组成的集合，常用字母 S 表示.,必然事件每次试验中必然发生的事件；样本空间 S 是必然事件.,不可能事件试验中不可能发生的事件，记为.,样本空间的任何子集.,一、概率论基础知识概述,【举例】,一、概率论基础知识概述,一、概率论基础知识概述,事件的关系和运算,一、概率论基础知识概述,例如：新产品上市后有多大可能性会畅销和滞销；购买彩票中奖的可能性；项目投资后赢利或亏损的可能性等等；,事件的概率与在重复试验中该事件出现的频率之间有着非常密切的关系。,在日常生活和科学研究中，人们经常需要了解今后某些事情或结果发生可能性的大小，以便为应采取的决策提供依据。,事件的概率,一、概率论基础知识概述,对于随机事件 A，在一次试验中我们无法预言它是否会发生，但是在相同条件下重复试验的次数充分大以后，可以发现事件 A 发生的次数 nA 与试验次数 n 之比将在某个确定的值附近波动。,频率及其稳定性,事件 A 发生的次数 nA 与试验次数 n 之比就称为事件 A 发生的频率，记为 fn(A)，即,一、概率论基础知识概述,人们发现，随着重复试验次数的增多，事件 A 发生的频率 fn(A)就逐渐稳定地趋近于某个常数 P(A)附近，这一客观存在的常数 P(A)就称为事件 A 的概率。,【著名的掷币试验】,一、概率论基础知识概述,主观概率是指对一些无法重复的试验，确定其结果的概率只能根据以往的经验，人为确定这个事件的概率。,主观概率,一、概率论基础知识概述,古典概率,称满足以下条件的试验为古典概型：试验的样本空间仅有有限个基本事件；试验中每一基本事件发生的概率相等。,【古典概型】,若试验的样本空间S 包含了n 个样本点，事件A包含了其中的k个，则事件A发生的概率为：,【古典概率】,一、概率论基础知识概述,【例4】在100件产品中有5件是次品，从中任取10件，求以下事件的概率：A=全为正品 B=恰有1件次品 C=至少有3件次品 D=至少有1件次品,解：,=0.0066,一、概率论基础知识概述,条件概率与乘法公式,设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，称在 A已发生的条件下B 发生的概率，为 B 对 A 的条件概率，记为P(B|A).,【计算式】,【例5】产品抽样检验问题 已知 10 件产品中有 3 件是次品，从中先后抽取 2 件，作不放回抽样。求：第一次取到次品后，第二次再取到次品的概率。,【定义】,一、概率论基础知识概述,全概率公式,A1A5称之为一个完备事件组，或样本的一个划分,应用：知因求果,一、概率论基础知识概述,贝叶斯公式,贝叶斯公式在风险决策中有着非常重要的应用！,应用：知果寻因,一、概率论基础知识概述,【例6】某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为1/2，而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。考试结束后发现他答对了，那么他知道正确答案的概率是多大呢？,解：设 A=该考生答对了，B=该考生知道正确答案,依题意有 P(B)=1/2，P(B)=1/2，P(A|B)=1/4，P(A|B)=1,再由贝叶斯公式，得：,【公式的应用举例】,一、概率论基础知识概述,【例7】伊索寓言故事”狼来了“。一小孩每天上山放羊，山里有狼，第一天，他大喊：狼来了，结果山下的村民都上山打狼，结果狼没来；第二天，仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊，没人来救他。为什么？,分析：村民的对小孩的可信度是如何下降的？,建模解释：,小孩第二次撒谎，则以 替换,代入公式后可计算得小孩第二次撒谎后的可信度为：,【应用】（1）银行向某人贷款连续两次不还，银行不会第三次贷给他.,（2）医院检查为降低错检率也可用贝叶斯公式进行说明.,一、概率论基础知识概述,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的决窍,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,任何随机试验的试验结果，都可以定量化并用随机变量表示。,【如】1、投掷两枚硬币出现正面的数量,用X表示出现正面的数量，则X的取值为X=0、1、2,随机变量的概念,2、在灯泡寿命试验中 令 X 为“灯泡寿命”(小时)，则 X0,X 500，X1000，800 X1200等表示了不同的随机事件。,一、概率论基础知识概述,设 X 是一随机变量，x 是任意实数，称函数 F(x)=PXx 为 X 的分布函数。,【定义】,对任意实数 x1 x2，有 P xx2=P X x2-P X x1=F(x2)-F(x1),【注】,一、概率论基础知识概述,【如】几个离散型变量的例,随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来,离散型随机变量,一、概率论基础知识概述,列出随机变量X的所有可能取值；列出变量X取各可能值的概率。,表示方法1列表法,一、概率论基础知识概述,常见的离散型分布,如果随机变量X只取两个值（特别地规定取0和1），则称X服从两点分布或0-1分布，其分布列为：,或,一、概率论基础知识概述,将只有两个可能结果的试验，称之为一次”伯努利试验“,【如】E1：投一次篮，观察命中情况 E2：买一次奖票，观察中奖情况,【问】投掷一均匀硬币，观察正反面。这个试验可否视为一次伯努利试验？,【推广】将伯努利试验在相同条件下重复n次，则称之为n重伯努利试验。,一、概率论基础知识概述,其分布列为,一、概率论基础知识概述,【应用】用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内某一事件出现次数的分布。,一、概率论基础知识概述,连续型随机变量,一、概率论基础知识概述,对连续型随机变量X，如果存在非负可积函数(x)，使得对任意实数 x，有,则称(x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。,【密度函数定义】,【密度函数的性质】,一、概率论基础知识概述,正态分布,【一般正态分布】,若随机变量X的密度函数为,其中,为常数，且 0，则称 X 服从参数为,的正态分布，记为XN(，2)。,x,f(x),0,=0.5,=1,=2,0,f(x),x,1,2,一、概率论基础知识概述,【标准正态分布】,称=0，=1的正态分布为标准正态分布，记为XN(0,1)，其密度函数和分布函数分别记为(x)和(x)。,0,正态分布表给出的是标准正态分布的分布函数的值(x)。查正态分布表时常要用到以下关系：P Xa=(a)P X a=1-(a)Pa X b=(b)-(a)(-a)=1-(a),【正态分布表的使用】,一、概率论基础知识概述,【一般正态的标准化】,设 XN(,2)，则,一、概率论基础知识概述,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的诀窍,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,【引例】“赌博问题”法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现意外情况，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？,按1:1分？,或者其他分法？,按4:3分？,【分析】,最多两局便可分出胜负,其情况有以下四种:,因此,A 能“期望”得到的数目应为:,而B 能“期望”得到的数目为：,一、概率论基础知识概述,数学期望,【离散型时的定义】,【连续型时的定义】,级数或广义积分绝对收敛,【数学期望的含义】表示了随机变量在随机 试验中取值的平均值，所以又常称为随机变量 的平均数、均值.,一、概率论基础知识概述,【再解“赌博问题】法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。巴斯卡尔认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，各出赌金100元,共200元，并 约定谁先赢满5局，谁取得全部 200 元，由于出现意外情况，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才算公平？,解：假定他们俩再赌一局，或者A赢，或者B赢。若是 A赢满了5局，钱应该全归他；若是A输了，即 A、B各赢4局，这个钱应该对半分。,设X为A所能赢得的金额，则X=1或1/2,一、概率论基础知识概述,【案例1】“保险收益问题”据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为0.98,因事故死亡概率 0.02.保险公司开办老事故死亡保险,投保者需交纳保险费100元.若10年 内因事故死亡公司赔偿a 元。（1）应如何定 a,才能使公司可期望获益;（2）若1000人投保,公司期望总获益多少?,解：设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得的收益，i=11000，则,由题设,于是得,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.,一、概率论基础知识概述,【案例2】“验血方案的选择”为普查某种疾病,n 个人需验血.验血方案有如下两种：（1）逐一化验每个人的血，共需化验 n 次；（2）分组化验，k 个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对 k 个人的血逐个化验，找出有病者,此时k 个人的血需化验 k+1 次.设每人血液化验呈阳性的概率为 p，且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.,分析：只须计算方案(2)所需化验次数的期望E(X)。为简单计,不妨设 n 是 k 的倍数，共分成 n/k 组.,一、概率论基础知识概述,解：,设第 i 组需化验的次数为X i,则其分布列为,则其期望为：,于是X的期望为：,例如,一、概率论基础知识概述,方差,若E X-E(X)2 存在,则称其为随机变量 X 的方差，记为D(X)或 Var(X),称,为 X 的均方差或标准差.,即 D(X)=E X-E(X)2,D（X）表示随机变量X取值的波动程度,一、概率论基础知识概述,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 空中交通管理,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的决窍,【案例1：彩票中的数学】（2002年CUMCM B题）,二、概率论知识应用,目前流行的彩票主要有下列两种类型：（1）“传统型”例（“10选6+1”）：投注者从09这10个号码中选出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从04这5个号码中选出1个特别号码，构成一注。开奖时，从09中摇出6个基本号码（可重复），排列成一个6位数，再从04中摇出1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中abcdef为摇出的基本号码，g为摇出的特别号码，X为其他号码）：,二、概率论知识应用,（2）“乐透(lottery)型”例（“36选6+1”）投注者从0136这36个号码中选出7个号码（无重复，不考虑排列次序），构成一注。开奖时，从0136中摇出6个基本号码（无重复，不考虑排列次序）和1个特别号码，根据投注号码与开奖号码相符的情况确定中奖等级，如下表所示（其中O为摇出的基本号码，为摇出的特别号码，X为其他号码）：,一、概率论知识应用,二、概率论知识应用,；,中奖概率计算,【传统型的中奖概率】,；,；,二、概率论知识应用,【乐透型的中奖概率】,36个号码可以分为3类：6个基本号码、1个特别号码和29个其他号码。,二、概率论知识应用,彩民购买一注彩票的金额为2元，获得的奖金金额由下列表格和计算公式给出（以上面的“乐透型36选6+1”为例）：,奖金分配,四等奖、五等奖、六等奖、七等奖称为“低项奖”，奖金额固定；一等奖、二等奖、三等奖称为“高项奖”，奖金额不固定。其算法如下：,高项奖单项每注奖金额，与彩票销售总额和这一项中奖的投注数有关。但是，如果按照概率计算，可以求出高项奖单项平均每注奖金额，与彩票销售总额无关，与这一项中奖的投注数也无关：,二、概率论知识应用,按照上述公式，可以求得高项奖平均每注奖金额为,按照规定，返回给彩民的奖金总数为彩票销售总额的50%，所以平均每注彩票的奖金额显然应该就是：,？,二、概率论知识应用,对各种彩票设置方案，都可以用上述方法求出各项奖的中奖概率和奖金额，在此基础上，便可进一步考虑彩票设置方案的合理性，对彩民的吸引力，设计出“更好”的方案来。,二、概率论知识应用,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 空中交通管理,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的诀窍,【案例2：指纹是唯一的吗】（2004年国际数模竞赛 A 题）,人们普遍相信一种说法：在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的。要求建立一个模型，分析评估一下，这种说法，成立的可能性有多大？,二、概率论知识应用,1、任意选出两个人，他们的指纹相同的概率,二、概率论知识应用,二、概率论知识应用,2、在世界上曾经生活过的个人中，至少有两个人指纹相同的概率,在（1）的基础上，进一步条论（2）,为此，我们先来求“在N个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率。,第1人与第2人指纹相同的概率为p，第1人与第2人指纹不同的概率为1-p。,N 个人分别编号为：第1人，第2人，第N人;,在已知第1人、第2人指纹不同的条件下，第3人与第1人、第2人中至少一人指纹相同的概率为p+p=2p，第3人与前两人指纹都不同的概率为1-2p。,在已知第1人、第2人、第3人指纹都不同的条件下，第4人与第1人、第2人、第3人中至少一人指纹相同的概率为p+p+p=3p,第4人与前三人指纹都不同的概率为1-3p.,.,二、概率论知识应用,在已知第1人、第2人、第N-1人指纹都不同的条件下，第N人与前N-1人中至少一人指纹相同的概率为(N-1)p，第N人与前N-1人指纹都不同的概率为1-(N-1)P。,“在N个人中，任何两个人的指纹都不相同”的概率为,“在N个人中，任何两个人的指纹都相同”的概率为,。,二、概率论知识应用,3、概率 的计算,的计算量非常大！,当N很大时（比如世界上曾经生活过的人口数）,令：,二、概率论知识应用,由于,对比等式两边，可以看出，有递推公式：,（,）。,二、概率论知识应用,，。,即有,二、概率论知识应用,作为特例，设一个指纹中共有25个特征点，每个特征点处可能出现10种不同的特征，出现各种特征的概率都相等，即有,设在世界上曾经生活过的人口数为300亿，即,代入上面的公式，可以求得“在世界上曾经生活过的 N 个人中，至少有两个人指纹完全相同”的概率为,由此可见，“在世界上曾经生活过的任何两个人，他们的指纹，都是不相同的”这种说法，是完全可信的。,二、概率论知识应用,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 空中交通管理,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的决窍,【案例3：乒乓球赛问题】（2006年华东地区数学建模邀请赛第一题）,（1）根据矩阵R能否看出哪一队的实力较强？,（2）如果两队都采取稳妥的方案，比赛会出现什么结果？（3）如果你是A队的教练，你会采取何种出场顺序？,二、概率论知识应用,矩阵R 中的元素 aij 到底表示什么意思？,问题分析,较合理的看法，应该认为它只是对A队平均获胜局数的一个估计！,当A队以ai次序出场、B队以bj次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数pij.,基本假设,各局是否获胜是相互独立的.,基于上述假设，则5局比赛就是一个独立重复试验序列,二、概率论知识应用,模型建立与求解,设 X 为A 队在5局比赛中获胜的局数，,显然，XB(5,Pij）,且其分布律为：,因为假定aij表示A队在5局中的平均获胜局数，于是有,对应于矩阵R，则相应有新的矩阵P，即,在9种不同的出场次序下A队每局获胜的概率矩阵,问题1的模型,二、概率论知识应用,可以比较两队在每一局比赛中获胜的平均概率大小。,如何比较A，B两队实力的大小？,设这9种不同的出场次序出现的概率相同，都是1/9，则A队在每一局比赛中获胜的平均概率为,（运用全概率公式）,0.5,上述结果说明：从每一局比赛来说，A队的实力比B队略微强一些!,要在五局三胜制比赛中最后获胜，才是真正获胜。,实际上：,二、概率论知识应用,下面计算在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率：,A队最后获胜，可以分成下列几种情况：,（1）A队连胜三局，其概率为,（2）在前三局中A队胜二局，最后A队又胜一局，其概率为,（3）在前四局中A队胜二局，最后A队又胜一局，其概率为,于是得到在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率为：,二、概率论知识应用,矩阵Q中元素qij表示：当A队以ai次序出场、B队以bj次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率（也就是B队最后失败的概率）。,如果两队都随机排阵，9种出场次序出现的可能性相等，都是1/9，根据全概率公式，就可以算出A队在五局三胜制比赛中最后获胜的平均概率：,0.5,说明A队的实力比较强！,二、概率论知识应用,问题2的模型,什么是“稳妥的方案”？,对自己的每一种出场次序，都考虑最坏的情况，求出在最坏的情况下，我方失败的概率是多少，然后在各种出场次序中，选择一种最坏情况下失败概率最小的出场次序，作为我方的排阵方案。,用出场次序b1时，最坏情况是A队用出场次序a3，B队失败概率,用出场次序b2时，最坏情况是A队用出场次序a2或a3，B队失败概率,用出场次序b3时，最坏情况是A队用出场次序a1或a2，B队失败概率,对于B队来说，由矩阵 Q 可以看出：,所以，B队最稳妥的方案是采用出场次序为b2,二、概率论知识应用,对于A队来说，由矩阵 Q 可以看出：,所以，A队最稳妥的方案是采用出场次序为a1 或a3,A队如何安排出场才是最“稳妥”的？,a1？,a3?,若A队预料到B队安排b2出场，则A队安排,若B队又预料到A队安排a3出场，则A队安排,若A队预料到B队安排b3出场，则A队安排,a3,b3,a1,这样的推理，可以无穷无尽地进行下去,二、概率论知识应用,两人零和博弈（Zero-Sum Two-Person Game）,博弈论（Game Theory）,又名对策论，研究具有竞争或斗争性质现象的数学理论和方法。,指一项游戏中，游戏者有输有赢，一方所赢正是另一方所输，游戏的总成绩永远为零，零和游戏原理之所以广受关注，主要是因为人们在社会的方方面面都能发现与零和游戏类似的局面，胜利者的光荣后面往往隐藏着失败者的辛酸和苦涩。,B队可以采用的3种出场次序b1,b2,b3,，是B队可以采用的3种策略,矩阵Q=(qij),是A队的得分矩阵，B队的失分矩阵（支付矩阵),二、概率论知识应用,当博弈的双方都只采用一种固定的策略（称为纯策略）时，两人零和博弈问题要得到一个稳定的解，矩阵Q=(qij)中必须有一个鞍点（Saddle Point），即在同一列中取到最大值、又在同一行中取到最小值的元素。,在上述矩阵Q=(qij)中找不到这样的鞍点，所以，这个问题不可能有一个稳定的纯策略解。,考虑混合策略解,混合策略 就是博弈双方不是固定采用一种纯策略，而是以某种概率混合采用各种策略。,二、概率论知识应用,设A队以概率x1,x2,x3采用策略a1,a2,a3,则有,。,设Z是A队采用这种混合策略时，不管B队采用什么策略，A队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值。,由全概率公式可知，当B队采用纯策略bj时，A队的得分（最后获胜概率）为,，,因为Z是A队的得分（最后获胜概率）能够保证的最小值，所以必须有,容易看出，只要上述不等式成立，当B队以某种概率混合采用各种策略时，A队的得分同样也可以保证大于Z,所以不必再列式子了。,二、概率论知识应用,整个问题就可以表示成一个线性规划问题：,解上述线性规划问题，求得：A队采用策略a1,a2,a3的概率应该分别为,当A队采用这种混合策略时，A队能够保证的获胜概率为,二、概率论知识应用,对于B队，也可以列出类似的线性规划问题，正好是上述A队问题的对偶问题。解这个对偶的线性规划问题，可以求得：B队采用策略,的概率应该分别为,当B队采用这种混合策略时，B队能够保证的获胜概率为,二、概率论知识应用,内容提要,层次分析的一般方法-层次结构图、比较矩阵、权重向量、一致性检验,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 空中交通管理,概率论基础知识概述 事件的概率 随机变量及其分布 数学期望及方差,概率知识应用（案例）彩票中的数学 指纹是否唯一 乒乓赛问题 报童的决窍,报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回.设报纸每份的购进价格为b，零售价为a，退回价为c，应该自然地假设abc.这就是说，报童售出一份赚a-b，退回一份赔b-c.报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚；如果购进太多，卖不完，要赔钱.请你为报童筹划一下，他应该如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入.,问题提出,二、概率论知识应用,问题分析,购进太多卖不完退回赔钱,购进太少不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,等于每天收入的数学期望,售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,二、概率论知识应用,调查需求量的随机规律每天需求量为 r 的概率 f(r),r=0,1,2,假设及符号说明,设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n),已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c,二、概率论知识应用,模型建立,求 n 使 G(n)最大(其中a,b,c,f(r)已知),二、概率论知识应用,模型求解,将r 视为连续变量,二、概率论知识应用,取n使,a-b 售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱,需求量不超过n的概率,需求量超过n的概率,结果解释,二、概率论知识应用,本讲结束，谢谢大家！,第2讲 概率知识基础,