第10章平面图形的几何性质ppt课件.ppt

Appendix Properties of Plane Areas,截面的几何性质,反映平面图形的形状与尺寸的几何量,如：,本章介绍：,平面图形几何性质的定义、计算方法和性质,在轴向拉（压）中：,10.1 静矩与形心,一、静矩,整个图形 A 对 x 轴的静矩：,整个图形 A 对 y 轴的静矩：,ydA微面积 dA 对 x 轴的静矩,xdA微面积 dA 对 y 轴的静矩,定义：,（面积矩）,其值：+、-、0,单位：m3,二.形心坐标,由理论力学中,均质薄板求质心的公式,即,由此得出,性质1,若某轴过形心，则图形对该轴静矩为零.反之,图形对某轴静矩为零，则该轴必过形心.,例求三角形ABC对底边BC的静矩,解:,积分得：,三、组合图形的静矩和形心,组合图形由几个简单图形（如矩形、圆形等）,组成的平面图形,如：,1.静矩,2.形心,例 确定形心坐标,解：,取参考坐标系 xy,10.2 惯性矩 惯性积 惯性半径,一、惯性矩与惯性积,整个图形 A 对x 轴的惯性矩,整个图形 A 对 y 轴的惯性矩,y2dA微面积 dA 对 x 轴的惯性矩,x2dA微面积 dA 对 y 轴的惯性矩,定义：,其值：+,单位：m4,1.惯性矩,2.极惯性矩,即：,平面图形对任意一点的极惯性矩等于该图形对通过,该点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和,性质2,若 x、y 轴为一对正交坐标轴,整个图形 A 对 x 轴和 y轴的惯性积,定义：,xydA微面积 dA 对 x 轴和 y 轴的惯性积,的坐标轴,其值：+、-、0,单位：m4,假设：x 轴和 y 轴为一对相互垂直,3.惯性积,二.惯性积的性质,当 x、y 轴中有一轴为对称轴,在一对正交轴中，只要有一个对称轴，则该图形,对这对轴的惯性积为零。,性质 3：,(1).矩形截面,三.常用图形的惯性矩：,(2).圆形截面,由对称性,(3).环形截面,惯 性 矩对某一轴而言,极惯性矩对某一点而言,特别指出：,惯 性 积对某一对正交轴而言,图形对 x 轴的惯性半径,单位：m,四、惯性半径,在力学计算中，有时把惯性矩写成,即：,图形对 y 轴的惯性半径,10.3 平行轴定理,定理推导,即：,显然：,性质 4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩,中，以对形心轴的惯性矩为最小。,同理,惯性矩和惯性积的平行轴定理,解：,例 求 和,10.4 转轴公式 主惯性矩,一、公式推导,规定：角逆时针转向为+,两组坐标系之间的关系：,代入,显然,显然,性质5：平面图形对通过一点的任意一对正交轴的两个,惯性矩之和为常数，且等于图形对该点的极惯,性矩。,二、主惯性矩,1.定义,主惯性轴惯性积为零的一对坐标轴，简称主轴,主惯性矩图形对主惯性轴的惯性矩,形心主惯性轴通过图形形心的主惯性轴,形心主惯性矩图形对形心主惯性轴的惯性矩,性质6：图形的对称轴是形心主惯性轴,2.确定主惯性轴的位置,设0是旧轴x 逆时针转向主惯性轴x0的角度，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得,可改写为,（注：将负号置于分子上有利于确定2 0角的象限）,由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式，化简后可得主惯性矩的计算公式：,极大值Imax,极小值Imin,例 计算所示图形的形心主惯性矩.,解：该图形形心C的位置已确定，如图所示.,过形心C选一对座标轴 y z 轴，计算其惯性矩(积).,在第三象限,分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 113.8 得出.,形心主惯性轴 y0,z0,10,10,120,70,形心主惯形矩为,C,40,20,例题 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主矩.(b=1.5d),解：（1）建立坐标系如图.,（2）求形心位置.,d,b,2d,（3）建立形心坐标系，求,