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线性代数,第五章 线性变换,2,5.3 特征值与特征向量,一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对于数域 P 上一个数 0，如果存在一个非零向量 使得,则称 0 为 T 的一个特征值，非零向量 称为T 的属于0 的一个特征向量.,一些基本性质:(1)一个特征向量只能属于一个特征值,3,5.3 特征值与特征向量,(2)如果 1、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则当 1+2 0 时，1+2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量,(3)如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则 的任何一个非零倍数 k 也是 T 的属于特征值0 的特征向量,属于特征值0 的全部特征向量+零向量构成一个线性子空间,4,5.3 特征值与特征向量,记,定义5.6 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征子空间.,二 特征值与特征向量的求法,设 1,2,n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基，线性变换 T 在该基下的矩阵为A，0 为 T 的一个特征值，属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为,因为,5,5.3 特征值与特征向量,也即,求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，存在的充要条件是：,6,5.3 特征值与特征向量,定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵，为一个未知量，矩阵 E-A 的行列式,称为 A 的特征多项式，记为,的根称为 A 的特征根（或特征值）,7,5.3 特征值与特征向量,的非零解称为 A 的特征向量 显然：当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量,当0 为 A 的一个特征值时，方程,（称为特征方程组）,8,5.3 特征值与特征向量,求矩阵的特征值与特征向量的步骤：(1)计算矩阵 A 的特征多项式,(2)由,得所有根,即为矩阵A的特征值,(3)对 A 的不同特征值 i,分别求解方程组,得基础解系,其线性组合,即为i 的全部特征向量。,不全部为零）,（,9,5.3 特征值与特征向量,例 求矩阵,特征值与特征向量.解:,A 特征值,10,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,即,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,11,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得,得基础解系,属于特征值,的全部特征向量,12,5.3 特征值与特征向量,例 设 1,2,3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性变换T 在该基下的矩阵为,求线性变换 T 的特征值与特征向量.解:,A 特征值,13,5.3 特征值与特征向量,将特征值,代入特征方程组,得线性无关的特征向量,将特征值,代入特征方程组,得特征向量,14,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不全部为零）,（,15,5.3 特征值与特征向量,T 的属于特征值,的线性无关的特征向量,T 的属于特征值,的全部特征向量,不为零）,（,16,例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1,e2 下的矩阵,5.2 线性变换的矩阵,它的特征多项式,如果,无解,17,5.3 特征值与特征向量,定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明:设 A B,存在可逆阵 P 使得 P-1A P=B,线性变换的特征值与基 的选取无关,18,5.3 特征值与特征向量,线性变换的特征值与基的选取无关.,当 A,B 表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P)下的矩阵时:,A,B 有相同的特征多项式,19,5.3 特征值与特征向量,考察特征向量:设 X 为 A 的特征向量:,PX 为 B 的特征向量,而 X 和 PX 为同一个向量在两个基(过渡矩阵为可逆阵 P)下的坐标,线性变换的特征向量与基的选取无关.,20,5.3 特征值与特征向量,三 特征多项式的基本性质,观察特征多项式：,只有主对角线项可能包含 n 和 n-1 项 n 和 n-1 项必定来自于,21,5.3 特征值与特征向量,(1)特征多项式 f()是关于 项的 n 次多项式(2)n 次项(n 项)的系数为 1(3)n-1 次项(n-1 项)的系数为(a11+a22+ann)括弧中主对角线元素之和称为矩阵 A 的迹，记为,另外，在多项式 f()中令未知量 为0，应得到常数项，,(4)常数项的系数为,22,5.3 特征值与特征向量,另一方面，在复数域，特征多项式 f()必定有 n 个根，因此可以分解为：,特征多项式 f()在复数域的 n 个根（特征值）：,23,5.3 特征值与特征向量,定理5.7(Hamilton-Cayley定理)设 A 是数域 P 上一个 n 阶方阵，f()=E-A是A 的特征多项式，则矩阵多项式,证明：设 B()是(E-A)的伴随矩阵，即(E-A)*，由行列式性质,设,24,5.3 特征值与特征向量,25,5.3 特征值与特征向量,Hamilton-Cayley定理的意义:对于数域 P 上任意一个 n 阶方阵，提供一种方法使得我们能找到一个 n 次多项式，使得将该矩阵代入这个多项式 等于零矩阵,由此我们在计算高阶矩阵多项式时能通过多项式除法先把次数降低,然后再计算,由于多项式运算的复杂度一般大大低于矩阵运算,由此降低整个运算的复杂度.例 设,计算,26,5.3 特征值与特征向量,解:,令,27,5.3 特征值与特征向量,四 特征向量的线性无关性,定理5.8 属于不同特征值的特征向量线性无关.证明:设 1,2,k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值,X1,X2,Xk 是分别属于它们的特征向量,对向量个数用数学归纳法,k=1 时自然成立.设向量个数为 k-1 时成立,设,一方面,两边同时乘矩阵 A:,28,5.3 特征值与特征向量,另一方面,两边同时乘 k:,两个等式相减:,29,5.3 特征值与特征向量,根据归纳法假设:,30,5.3 特征值与特征向量,定理5.9 如果1,2,k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值,而,是属于特征值 i 的 ri 个线性无关特征向量,则,线性无关.,31,5.4 矩阵的对角化,定理 5.10 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 具有n 个线性无关的特征向量.证明:必要性,设,32,5.4 矩阵的对角化,令,得,因 Xi 线性无关,Xi 不等于 0,为特征向量.,33,5.4 矩阵的对角化,充分性,设 A 有n 个线性无关的特征向量,令,则,34,5.4 矩阵的对角化,由于P 由 n 个线性无关的向量构成 P 可逆,两边同乘 P-1:,推论 如果 n 阶矩阵 A 有n 个不同的特征值,则 A 相似于对角矩阵.,35,5.4 矩阵的对角化,例 判别 A 能否相似于对角矩阵？若能相似于对角矩阵，求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵.,解:,得,36,5.4 矩阵的对角化,对应的特征向量,令,得,37,5.4 矩阵的对角化,例 判别 A 能否相似于对角矩阵？若能相似于对角矩阵，求可逆阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵.,解:,得,38,5.4 矩阵的对角化,对,对,只有两个线性无关的特征向量，不能相似于对角矩阵,39,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.11 实对称矩阵的特征多项式的根（特征值）全部是实数.,证明：设 A 为实对称矩阵,是 A 的特征值,X 为对应的特征向量，则,两边取共轭得,两边转置,两边同时乘以 X,40,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因为是实对称矩阵,所以,即,41,5.5 化实对称矩阵为对角阵,设,因 X 0,进一步：由于特征值全部是实数 特征方程系数全部是实数 特征方程的解（特征向量）为实向量,42,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.12 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交.,证明：设 A 为实对称矩阵,1、2 是 A 的特征值,X1、X2 为对应的特征向量，则,因1 2,43,5.5 化实对称矩阵为对角阵,定理5.13 设 A 为 n 阶实对称矩阵，总能找到一个 n 阶正交阵 P 使得 P-1AP 为对角矩阵.证明：对实对称矩阵的阶数用归纳法，阶数为 1 时显然成立，设阶数为 n-1 时成立，考虑阶数为 n 时情况，设 1 是 A 的一个特征值，X1 为对应的特征向量（并经过单位化），则,由 X1 可扩充出 n 个两两正交的向量 X1,X2,Xn 令,P1 为正交阵,44,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因,45,5.5 化实对称矩阵为对角阵,下面考察,因,为对称矩阵,46,5.5 化实对称矩阵为对角阵,所以,为对称矩阵,由归纳法假设，存在一个 n-1 阶正交阵 P2 使得 P2-1A1P2 为对角矩阵，即,47,5.5 化实对称矩阵为对角阵,构造,P3 为 n 阶正交阵,并且,48,5.5 化实对称矩阵为对角阵,这样,或者,49,5.5 化实对称矩阵为对角阵,令,为 n 阶正交阵,得到,50,5.5 化实对称矩阵为对角阵,实对称矩阵的正交相似对角化的步骤：(1)计算矩阵 A 的特征多项式(2)求出特征多项式的全部不同的根(3)对每个不同的根，写出特征方程组，求出基础解系，并利用施密特正交化过程使其成为单位正交向量组(4)将不同特征值的单位正交向量组合并构成正交矩阵 P,51,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 设,求正交矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵.解:A的特征多项式为,得,52,5.5 化实对称矩阵为对角阵,对应的特征向量,单位化,对应的特征向量,53,5.5 化实对称矩阵为对角阵,单位化,54,5.5 化实对称矩阵为对角阵,令正交矩阵,55,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 已知三阶实对称矩阵 A 的特征值为6、3、3，且特征值 6对应的一个特征向量为,试求矩阵 A.解:设 A 的特征值 3 对应的特征向量为,由实对称阵的不同特征值对应的特征向量正交,故,56,5.5 化实对称矩阵为对角阵,解齐次方程组,得基础解系为,令,57,5.5 化实对称矩阵为对角阵,则,因此,58,5.5 化实对称矩阵为对角阵,例 设 A为 n 阶对称的正交矩阵,且 1 为A 的 r 重特征值,(1)求 A 的相似对角矩阵；(2)求特征多项式,解(1)因 A 为 n 阶对称的正交矩阵，存在正交阵 P 使得,59,5.5 化实对称矩阵为对角阵,因为 1 为 A 的 r 重特征值,-1 为 A 的 n-r 重特征值,A 的相似对角矩阵,60,5.5 化实对称矩阵为对角阵,(2)A的特征多项式为,例 已知三阶方阵 A 的特征值为 0、1、-1，对应的特征向量分别为,求 An,61,5.5 化实对称矩阵为对角阵,解：令,有,62,5.5 化实对称矩阵为对角阵,63,5.6 正交变换,定义5.8 设 T 是线性空间 V 中的线性变换，对于任意，V 都有,则 T 是一个正交变换,正交变换的基本性质：,(1)正交变换保持向量长度不变,64,5.6 正交变换,(2)正交变换保持向量之间夹角不变,特别地，如果,65,5.6 正交变换,定理5.14 设 T 为 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换，那么下面四个命题等价：(1)T 是正交变换(2)对任意 V，有,证明：(1)(2),(3)如果 1,2,n 是 V 的一个标准正交基，那么 T(1),T(2),T(n)也是 V 的一个标准正交基(4)T 在任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵,66,5.6 正交变换,证明：(1)(3),如果 1,2,n 是 V 的一个标准正交基,67,5.6 正交变换,T(1),T(2),T(n)也是 V 的一个标准正交基,由于是正交变换,68,5.6 正交变换,反过来，如果 1,2,n 和T(1),T(2),T(n)都是 V 的标准正交基，对任意,而,69,5.6 正交变换,证明：(3)(4),设 T 在标准正交基 1,2,n 下的矩阵为 A,有,70,5.6 正交变换,反过来，如果 1,2,n 和T(1),T(2),T(n)都是 V 的标准正交基，对于,中的矩阵 A,正好为两个标准正交基之间的过渡矩阵，因此为正交矩阵,71,5.6 正交变换,正交变换的一些其他性质：(1)正交变换的乘积还是正交变换（正交矩阵的乘积还是正交矩阵）(2)正交变换是可逆变换，并且逆变换也是正交变换（正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵，正交矩阵是可逆矩阵，其逆矩阵还是正交矩阵）,另外，由,第一类正交变换,第二类正交变换,72,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2=E),且 A 的特征值都为1,试证明 A=E.,证 由,可得,由于 A 的特征值都为1,故-1 不是 A 的特征值,即,E+A 可逆,因此,73,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2=E),则 A 的特征值只能为 1.,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,74,例题,例 n 阶矩阵 A 为正交阵,则 A 的特征值只能为 1.,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,75,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2=E),则 A 的特征值只能为 1.,证 设 为矩阵 A 的特征值，则有对应的特征向量 X，使得,76,例题,例 n 阶矩阵 A 为对合阵(即 A2=E),A 能相似于对角矩阵,证,