矩阵分析ppt课件.ppt

矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院石海彬,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,第一章 线性空间与线性变换,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念2 基变换与坐标变换3 子空间与维数定理4 线性空间的同构5 线性变换的概念6 线性变换的矩阵表示7 不变子空间,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,回顾几个预备概念,集合,数集,有理数集,实数集,复数集,数域,复数集合中的任意非空子集合P含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商仍属于该集合P，则称数集P为一个数域。（注意0和1）,有理数域,实数域,复数域,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,集合V中元素的运算：我们只考虑加法，加号+,数域 P 中的数与集合 V 中的元素之间的运算：称为数量乘法，运算结果称为数量乘积，省略乘号,如果这两个运算满足如下八条规则，就称集合 V 为数域 P上的线性空间或向量空间。元素称为向量。,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,八条规则,附带性质,零向量唯一负元素唯一,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,线性空间之例,记为,记为,记为,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,作用在某质点的所有力的集合构成一个线性空间（向量空间）,力向量,实数域,满足八条规则,第一章 线性空间与线性变换,1 线性空间的概念,有关定义,线性相关 与 线性无关,n维线性空间 有且只有n个线性无关的向量,基 任何一组n个线性无关的向量。可以有无数组基。,基向量通常记作,向量x的基表示,称为坐标或分量,第一章 线性空间与线性变换,2 基变换与坐标变换,有两组基，分别为,其关系为,也可写成,过渡矩阵或称变换矩阵,基下向量,第一章 线性空间与线性变换,2 基变换与坐标变换,坐标之间的关系 坐标变换,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,子空间 就是线性空间的子集，但得自成线性空间。如何判断 W 是 V 的子空间？准则：,零子空间 由单个的零向量组成的子集 零维平凡子空间 线性空间 V 本身 n 维,子空间之例,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,子空间的交集 是子空间,零向量属于W,任取，则，所以,又,第一章 线性空间与线性变换,3 子空间与维数定理,四维空间中的三个子空间,第一章 线性空间与线性变换,4 线性空间的同构,同构与同构映射,同构的基本性质,线性无关组同构影射到线性无关组n维空间同构影射到n维空间,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,5 线性变换的概念,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,6 线性变换的矩阵表示,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,不变子空间的定义：,零空间及V本身都是T的不变子空间。,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,因此线性变换T在（1）下的矩阵为分块对角矩阵,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,若，又T 为V 的线性变换，且每个V都对不变，则适当选择基，变换T在此基下的矩阵便为分块对角形：,第一章 线性空间与线性变换,7 不变子空间,若V可分解为k个子空间(i=1,2,k)的直和，则存在V的一个线性变换T，使每个 都是的T不变子空间，从而T在某组基下的矩阵具有分块对角形(2)的形式。若n维线性空间V可分解维线性变换T的n个一维不变子空间的直和，则T的矩阵可以具有对角形矩阵的形状，对角线上得元素就是线性变换T所对应的矩阵A的特征值，亦称为线性变换T的特征值。,