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注册电气工程师公共基础辅导,高等数学马鸿雁,高等数学,考试说明：共120题，每题1分。4小时上午段：高等数学 24题（24分）普通物理 12题普通化学 12题 理论力学 13题材料力学 15题流体力学 12题计算机应用基础10题电工电子技术 12题工程经济 10题,高等数学,空间解析几何微分学积分学无穷级数常微分方程概率与数理统计向量分析线性代数,一、空间解析几何,向量代数平面直线柱面旋转曲面二次曲面空间曲线,一、空间解析几何,空间解析几何是用代数的方法研究空间中几何问题研究工具：几何向量几何向量：既有大小、又有方向的量称为向量或矢量。用几何空间中有向线段来表示的向量为几何向量（简称向量）。,几何向量,（1）模：向量的大小（长度）、有向线段的长度（2）单位向量：模为1的向量（3）零向量：模为0的向量；起点和终点重合，方向任意（4）负向量：大小相同，方向相反（5）自由向量：与起点无关的向量，我们研究的重点,（一）向量代数,向量和向量坐标的概念向量的线性运算的概念及运算规则向量的模、方向余弦、方向角，非零向量的单位向量向量数量积、向量积、混合积的概念、几何物理意义及运算规则两向量相互垂直和相互平行的条件利用向量积求面积,（一）向量代数,向量代数是建立平面方程与直线方程、以及研究它们基本性质的工具。1、空间直角坐标系2、向量3、向量的坐标表达式,1、空间直角坐标系,为了将几何向量的加法、数乘等运算转化为数的代数运算，引入空间直角坐标系。(1)空间两点之间的距离,1、空间直角坐标系,（2）定比分点公式,2、向量的坐标表达式,2、向量的坐标表达式,x,y,z 为向量在Ox轴、Oy轴、Oz轴正方向上的投影。xi、yj、zk为向量在三个坐标轴上的分向量。,方向余弦,设向量与坐标轴Ox，Oy，Oz正向的夹角分别为（角度0 之间），三个角决定了向量的方向。为了方便，常用,方向余弦,向量在正方向上的单位向量为,方向余弦,3、向量,向量的加减法 数乘向量 数量积 向量积 两个向量平行或垂直的充分必要条件,3、向量,(1)线性运算1）向量的加减法:满足交换律、结合律ab=(a1b1,a 2b2,a3b3).2）向量与数的乘积=（a1，a 2，a3），其中为数量，满足结合律和分配律,3、向量,（2）数量积设a、b是两个向量，称数,1)数量积推论,两个向量的数量积等于零的充要条件：a=0,或b=0或零向量垂直于任何向量。两个向量互相垂直的充要条件：数量积等于零。,2)数量积性质,3)数量积性质注意：,向量的数量积不满足消去律，即,数量积的应用,判断两个向量是否垂直,(3)向量积,向量积的坐标表达式,向量积的坐标表达式,1)向量积的推论,2）向量积性质,3)向量积性质注意,（a）不满足交换律（b）不满足消去律，即,向量积的应用,求与已知两向量都垂直的向量求平行四边形、三角形的面积判断两向量平行,（3）混合积（三重数积）,定义：,混合积（三重数积）,混合积（三重数积）,的绝对值表示以向量a，b，c为棱的平行六面体的体积,混合积（三重数积）,混合积（三重数积）,向量代数的常见题型,（1）向量的基本运算（2）证明恒等式或简化算式（3）利用向量方法求解几何问题,例题,例1：选择题，下列命题正确的有（）。（1）若a、b均为非零向量，则,例1：选择题，下列命题正确的有（）。,（2）,例1：选择题，下列命题正确的有（）。,（3）,例1：选择题，下列命题正确的有（）。,（4）C,例1：选择题，下列命题正确的有（）。,(5)B,例1：选择题，下列命题正确的有（）。,(6)A,例2：选择题，下列向量为单位向量的有(CD)。,解题思路,（1）两个向量a、b平行的判别法：,（2）两个向量a、b垂直的判别法,（3）判共线,（4）判共面,（5）计算面积、体积,例3：,例4,例5,例6,（二）平面,平面的方程平面的法线向量平面与平面相互平行、垂直的条件平面与平面的夹角点到平面的距离求平面的方程,（二）平面,1、平面的方程（1）点法式法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，该向量称为该平面的法线向量。,（1）点法式,n=(A，B，C)为平面的法向量 过点(x0，y0，z0)以n为法方向的平面方程为：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0。,(2)一般式,平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0，法线向量：n=(A，B，C)。特殊的平面方程：如1）3x+4y+5z=0(D=0)，一个通过原点的平面。2）4x+3y-12=0 法线向量：n=(4，3，0)法线向量n在z轴上的投影为零，因此n垂直于z轴，平面平行于z轴。3）z=2 过点(0,0,2)且平行于xOy面的平面。,（3）截距式,如果一平面与x,y,z三轴分别交于P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)三点，则平面的截距式方程为a,b,c分别为平面在x,y,z轴上的截距。,(4)特殊平面,1）Ax+By+Cz=0 过原点的平面2）Ax+By+D=0 平行于Z轴的平面 Ax+Cz+D=0 平行于Y轴的平面 By+Cz+D=0 平行于X轴的平面3)Ax+By=0 过Z轴的平面 Ax+Cz=0 过Y轴的平面 By+Cz=0 过X轴的平面,(4)特殊平面,4)Cz+D=0 平行于XOY坐标面的平面 Ax+D=0 平行于YOZ坐标面的平面 By+D=0 平行于ZOX坐标面的平面5)x=0 YOZ坐标面 y=0 ZOX坐标面 z=0 XOY坐标面三元一次方程所表示的图形是平面,2、有关平面的问题,平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法线向量平面2：A2x+B2y+C2z+D2=0，法线向量,（1）两平面的夹角,两平面的法线向量的夹角为两平面的夹角。夹角通常指锐角。,（2）两平面相互垂直,两平面相互垂直即法线向量相互垂直，即法线向量的点积为零。两平面相互平行的充要条件：12A1A2+B1B2+C1C2=0,（3）两平面相互平行,两平面相互平行即法线向量平行，两平面平行的充要条件：12,（4）两平面相互重合,两平面重合的充要条件：1与2 重合,（5）点到平面的距离,点(x1，y1，z1)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为,（三）直线,直线方程和直线的方向向量直线与直线、直线与平面相互垂直、平行的条件直线与直线、直线与平面的夹角求直线的方程,（三）直线,1、直线的方程方向向量：如果以非零向量s(a,b,c)平行于一条已知直线，向量s称为该直线的方向向量。直线上的任一向量都平行于该直线的方向向量。,（1）直线的标准式（点向式或对称式）方程,过点(x0，y0，z0)以s(a,b,c)为方向向量的直线方程是:,特殊情况,（2）参数式方程,设则得直线的参数方程为,（3）一般式方程,两平面的交线为一直线，即直线的一般方程为：,（4）两点式,过点 与的直线方程为：,2、直线与直线之间的关系,直线L1：方向向量直线L2：方向向量,（1）两直线相互平行,相互平行的充要条件：L1 L2 即,（2）两直线相互垂直,相互垂直的充要条件：即a1a2+b1b2+c1c2=0,（3）两直线的夹角,两直线的夹角（一般为锐角）满足：,3、直线与平面的位置关系,直线L1：方向向量 平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向,(1)直线与平面的夹角,直线与平面的夹角满足,(2)直线与平面平行,直线与平面平行的充要条件：L1 1,(3)直线与平面垂直,直线与平面垂直的充要条件：L11,例题：例7已知两点,A(1,-1,2)和B(3.1,1)，求向量的方向余弦。解=3-1，1-（-1），1-2=2，2，-1，设的方向角为 则,例8 求通过点P（2,-1,-1),Q（1,2,3）且 垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。,解，已知平面的法矢量 取所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0,直线与平面的解题思路,1、下列问题可转化为利用点法式确定平面方程：1）过两条相交直线，确定一个平面。取两条相交直线的两个方向向量的叉乘向量为所求平面的法线向量，在两条相交直线上任取一点作为所求点，利用点法式。,直线与平面的解题思路,2）过两条平行直线，确定一个平面。在两条平行直线上各任取一点,直线与平面的解题思路,3）过一条直线与直线外一点，确定一个平面。,直线与平面的解题思路,4）过一条直线垂直于一个已知平面，确定一个平面。,2、下列问题可转化为利用标准式确定直线方程：1）过一点且与一已知平面垂直的直线方程。只需将平面的法线向量作为所求直线的方向向量。,直线与平面的解题思路,直线与平面的解题思路,2）过一点且与两条相交直线都垂直的直线方程。只需将两条直线的方向向量作叉乘，将叉乘向量作为所求直线的方向向量。,3）过一点且与一已知平面平行，与一已知直线相交的直线方程。,例9 选择题,例9 选择题,例9 选择题,例9 选择题,（四）曲面,旋转曲面、柱面、二次曲面的概念旋转曲面、柱面、二次曲面的方程,（四）曲面,曲面方程F(x,y,z)=0曲面上任一点的坐标都满足该方程；不在曲面上的点的坐标都不满足该方程。满足以上两个条件，该方程称为曲面方程。,曲面研究的两个基本问题,1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；旋转曲面2）已知坐标x,y和z间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。柱面，二次曲面,1、旋转曲面,定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面。如：xOy平面内一段方程为的曲线C，绕x轴旋转一周得到一个旋转面，该旋转曲面的方程为,1、旋转曲面,例10,2、柱面,定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面，定曲线C为柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线。如果曲面方程中F(x,y,z)=0缺少一个变元，则称其为柱面方程。柱面的母线与所缺变元同名的坐标轴平行。如F(x,y)=0为母线平行于z轴的柱面方程；F(y,z)=0为母线平行于x轴的柱面方程；F(x,z)=0为母线平行于y轴的柱面方程。,2、柱面,3、二次曲面,三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。平面称为一次曲面。截痕法：利用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，观察其截痕的形状。,特殊的二次曲面,1）球面方程：(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2，球心：(a，b，c)，半径：R 2）椭球面：,特殊的二次曲面,3）单叶双曲面方程：4）双叶双曲面方程：,特殊的二次曲面,5）椭圆抛物面方程：（p,q同号）6）双曲抛物面方程：（p,q同号）,例11选择题,(1)已知动点与yOz平面的距离为4个单位，且与定点A(5,2,-1)的距离为3个单位，则动点的轨迹是（）。A 圆柱面；B 平面x=4上的圆；C 平面x=4上的椭圆D 椭圆柱面,例11选择题,(2)以曲线L 为母线，以Oz轴为旋转轴的旋转曲面方程为（）。,例11选择题,(3)xOy平面上曲线绕x轴旋转一周，所得曲面方程是（）。,例11选择题,(4)方程 表示（）。A 双曲柱面与平面x=2交线；B 双曲柱面；C 双叶双曲面；D 单叶单曲面,例11选择题,(5)方程 表示（）。A：xOz平面上曲线 绕y轴旋转所得曲面；B：xOz平面上曲线 z-a=x 绕z轴旋转所得曲面；C：xOz平面上曲线z-a=y 绕y轴旋转所得曲面；D：xOz平面上曲线 绕x轴旋转所得曲面.,（五）空间曲线,空间曲线的方程空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程,(五)空间曲线,1、空间曲线可以看作是两个曲面的交线。1)一般式：2)参数方程：若将空间曲线L上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：,（五）空间曲线,2、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线L 消去z后得而方程 表示的曲线包含空间曲线在xOy面上的投影。,2、空间曲线在坐标面上的投影,为母线平行于z轴的柱面,以空间曲线为准线、母线平行于z轴的柱面为关于xOy面的投影柱面，投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线，简称投影。,例12选择题,二、微分学,极限连续导数微分偏导数全微分导数与微分的应用,（一）极限,极限的概念无穷大、无穷小的概念极限的四则运算法则两个极限存在准则，两个重要极限等价无穷小简化极限运算,（一）极限,1、定义数列的极限：如果对于任意给定的0，总存在正整数N当nN时，恒有成立，则称常数a为数列 当n趋于无穷时的极限。记为,1、定义,函数的极限左极限、右极限见辅导教材,2、极限的性质,1)若 0(或0(或0).2)若f(x)0（或0），且，则必有A0（或0）。3)f(x)在 处极限存在的充要条件是f(x)在 处的左极限和右极限都存在 且相等，三个值相同。,3、极限的四则运算,4、夹逼准则和重要极限,1）若，且当时，则当 时，有。应用：重要极限一,4、夹逼准则和重要极限,2）单调有界的数列（或函数）必有极限。应用：重要极限二,5、无穷小量、无穷大量,1)无穷小量：如果,则称函数f(x)当x(x）时为无穷小量（无穷小）。2)无穷小量的性质有限个无穷小量的代数和是无穷小量；有限个无穷小量的乘积是无穷小量；无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。,5、无穷小量、无穷大量,5、无穷小量、无穷大量,无穷大量：如果当x（x）,对应的函数值的绝对值 无限增大，则称函数f(x)当x（x）时为无穷大量（无穷大）。,例题 例2.1 选择题,(1)下列命题中正确的有（）。数列的极限A.当n越大时,un-A越小,则数列un必定以A为极限；B.当n越大时，un-A 越小，则数列un必定以A为极限；C.当n越大时，un-A 越接近于零，则数列un必定以A为极限；D.对于任意给定的0，存在自然数N，当nN时，仅有有限多项不满足 un-A，则数列un必定以A为极限,例2.1 选择题（2）函数极限,例2.1 选择题（3）无穷小,下列命题中正确的有（）。A.无穷小量是个绝对值很小很小的数；B.无穷大量是个绝对值很大很大的数；C.x为无穷小量；D.0为无穷小量。,例2.1 选择题(4),例2.1 选择题(5),设，则当x 0时（）。A.y为无穷小量；B.y为无穷大量；C.y不为无穷小量，但为无界变量；D.y存在极限，但极限不为0。,例2.1 选择题（6）,下列等式中成立的是（）。,例2.1 选择题（7）,当x 0时，下列变量（）为x的等价无穷小量。,例2.1 选择题（8）,变量 在过程为（）时为无穷大量。A.x 0;B.x 1;C.x-1;D.x,6、求极限的方法,1）利用公式和极限的四则运算。2）如果函数为分式，分母的极限为零，分子的极限不为零，则由无穷大量与无穷小量的关系可知原式的极限为无穷大量。,6、求极限的方法,3）函数为分式，且分母与分子的极限都为零时，约公因子；否则进行代数或三角恒等变形。4）,6、求极限的方法,5）利用两个重要极限6）利用夹逼准则7）利用左右极限8）利用无穷小量的性质，利用等价无穷小代换,例2.2求极限,例2.3求极限,（二）连续,连续的定义连续性的三个要素间断点的定义判别间断点的类型利用函数连续性求极限闭区间上连续函数的性质,1、连续的定义,见书第6页在某一点连续、左连续、右连续,2、连续的三要素,函数f(x)在一点 处连续的条件是：（1）有定义；（2）存在；（3）。,3、间断点,只要不满足连续性三要素中的任一条,则f(x)在 处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：第一类间断点：是f（x）的间断点，但 及 均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。,第一类间断点,1）若、均存在但不相等，则称这种间断点为跳跃间断点；2）若 及 均存在而且 相等，则称这种间断点为可去间断点。,4、初等函数的连续性,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,5、闭区间上连续函数的性质,设f(x)在闭区间a,b上连续上连续，则（1）f(x)在 a,b上有界（有界性定理）；（2）f(x)在在a,b上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）；（3）当f（a）f（b）0时，在(a,b)内至少有一点，使得f()=0（零点定理）；（4）对介于f（a）A及f（b）B之间的任一数值C，在(a,b）内至少有一点,使得f()=C（介值定理）。,(三)导数,会用导数的定义求极限、验证导数的存在会用导数的几何意义求曲线在某点的切线合法线方程讨论分段函数在分段点出导数是否存在会求导数（四则运算、求导公式）会求反函数、复合函数、隐含数的导数高阶导数,1、导数的定义,见书第7页。函数在 处连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即 在 可导，则 在 必连续，反之不然。即可导必连续，连续不一定可导,2、导数的几何意义,见书第7页,3、求导的法则,（1）导数的四则运算,3、求导的法则,（2）反函数求导法则（3）复合函数求导法则（4）隐含数求导法则（5）求导基本公式见书上第8页,4、高阶导数,（1）定义：见第8页（2）求法：若 u u（x）及 v=v（x）都在点 x处有n阶导数，则,（四）微分,记住基本初等函数的微分公式知道导数和微分之间的区别和联系会用微分定义和微分法则求微分会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数,1、定义,见书第8页。可导必可微分。,2、微分法则,1）微分四则运算设函数 u=u(x),v v(x)均可微，则,2、微分法则,2)复合函数的微分法则设yf（u）、u=（x）均可微，则y=f（x）也可微，且无论u是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式dy=f(u)du保持不变。这一性质称为微分形式不变性。,3、基本微分公式,(五)偏导数和全微分,偏导数和全微分的概念会求二元函数的偏导和全微分二元函数在一点可微的充分条件和必要条件,（六）导数与微分的应用,罗尔定理拉格朗日中值定理洛必达法则函数的单调性与一阶导数之间的关系函数的极值与一阶、二阶导数之间的关系曲线的水平渐近线和铅直渐近线微分应用近似计算,