杆的纵向振动与轴的扭转振动ppt课件.ppt

假设:(1)杆的横截面在振动时始终保持为平面，并作整体运动；(2)略去杆纵向伸缩引起的横向变形。,已知:(1)杆的单位体积的质量为(x)，截面积为A(x)，杆长为L，弹性模量为E；(2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。,3.2 杆的纵向振动,坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截面位置x和时间t的二元函数。,在杆上取微段dx。微元受力如图所示。微元纵向应变为,x截面上的内力为N；x+dx截面上的内力为,内力N是x,t的函数,根据牛顿运动定律得,若杆的单位体积质量(x)=常数，截面积A(x)=A=常数，杆纵向振动的偏微分方程简化为,如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为,a为弹性波沿x轴的传播速度。,类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为,杆纵向自由振动的偏微分方程可以分解为两个常微分方程,式中：C,D为待定常数，由两个端点的边界条件决定。,两个常微分方程的解,式中：A,B为待定常数，由两个初始条件决定。,固有频率为,振型函数为,边界条件对固有频率、振型的影响,(1)两端固定,固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为,D=0C=1,C=0D=1,固有频率为,振型函数为,(2)两端自由,自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为,=0，杆作刚体纵向平动,D=0C=1,(3)一端固定一端自由的杆,边界条件为,由此得,频率方程为,固有频率为,振型函数为,对于上述三种边界条件：两端固定的杆；两端自由的杆；一端固定、一端自由的杆。前三阶振型图为：,解：上端固定的边界条件为,下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端点的边界条件为,例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和振型函数。,实例,考虑到,故下端边界条件为,由顶端边界条件 U(0)=0,固有频率方程,因a2=E/。整理后得,上式为特征方程，即固有频率方程。方程左边为杆的质量与附加质量的比值。当给定比值后，通过数值法可以求得各个固有频率r的数值解，也可以用作图求出。,固有频率方程变化为,设质量比AL/M=1，=L/a，则特征方程简化为,作出tg和1/两个图形，如图所示。两个图形的交点1和2,，便是各阶固有频率。,M=0，即一端固定、一端自由的杆,与一端固定一端自由的等直杆比较，杆下端的附加质量增加了系统质量，从而使固有频率明显地降低。,如果杆的质量相对附加质量很小，AL/M1，1亦为小值，可近似地取tg11，因此特征方程可以简化为,由此计算得基频,式中k=EA/L为杆本身的抗拉刚度，M为附加质量。,因=L/a,这一结果与单自由度系统的结果相同，说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬挂的质量小得多时，可以略去杆的质量。,若进一步取,将第一次的近似=AL/M代入上式，可得,例如，当AL/M=1/10时，误差仅为1.25。,所以基频1为,上式就是将杆质量的三分之一加到质量M上所得的单自由度系统的固有频率计算公式。和瑞利法所得的结果相一致。,例如，附加质量M等于杆的质量时，有,因此，只要杆的质量不大于附加质量，由简化公式计算的基频能够满足工程实际应用的要求。,精确解时，系数为0.86，误差仅为0.7。,例2 求如图所示的一端固定一端弹性支承的杆作纵向振动的固有频率和振型函数。,解：左端为固定端，边界条件为,右端联结一刚度为k的弹簧。弹簧力与杆轴向内力大小相等，方向相反，即,由此得,令=-EA/kL，则,由上式可求得各个固有频率r的数值解。,由左端边界条件U(0)=0,由右端边界条件,与各个r相应的振型函数为,例3 如图所示的一端固定一端自由的均质杆。设在自由端作用轴向力F，在t=0时释放。求杆运动规律u(x,t)。,解：一端固定一端自由杆的固有频率和振型函数为,因,常数Ar和Br决定于初始条件,第一个条件给出了t=0时是均匀初始应变；因在t=0时释放此力，所以第二个条件表示初始速度为零。,故杆的位移u(x,t)可以表示为,故由第二个初始条件得,由第一个初始条件得,用 乘以上式的两边。考虑到三角函数的正交性，在0 xL上积分，可得的Br的值，有,由上述方程可得,所以杆的纵向运动为,在自由端x=L处振幅最大，即,这正是杆在静拉力F作用下自由端的位移。,运动微分方程的解,上节课内容回顾杆纵向振动,杆纵向振动的偏微分方程为,均质等截面杆纵向振动的偏微分方程为,均质等截面杆纵向自由振动的偏微分方程为,例4 求图示组合杆柱纵向振动的固有频率,解：第1种情况,边界条件：顶端弹性约束；底端自由,用振型函数表示为,由边界条件1,由边界条件2,固有频率方程,解：第2种情况,分析：如何选择坐标系？如何建立运动微分方程？,边界条件：顶端弹性约束；底端自由连续性条件：两杆连接处位移相同、内力相同,坐标系：每级杆柱独立坐标系。,运动微分方程：,振型函数表示的边界条件与连续性条件,固有频率方程,解：第3种情况,边界条件与连续性条件：,坐标系：每级杆柱独立坐标系。,运动微分方程：,固有频率方程,圆轴扭转振动示意图。,6.3 轴的扭转振动,已知：(x)为轴单位体积的质量；I(x)为轴单位长度的转动惯量；J(x)为轴横截面的极惯性矩；f(x，t)为作用于轴上的分布扭矩。L为轴长；G为剪切弹性模量。,以(x，t)表示x截面的角位移。,微元受力图,假设：(1)理想弹性体；(2)轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体运动，即忽略扭转振动时截面的翘曲。,取微段dx，由材料力学知，轴的扭转应变为，作用于微段dx两侧截面上的扭矩分别为,微段运动微分方程为,整理得,上式为圆轴扭转振动的偏微分方程。,若单位长度的转动惯量I(x)=I=常数，单位体积的质量(x)=常数，截面极惯性矩J(x)=J=常数，且有I=J。则轴扭转振动的偏微分方程为,弦的横向振动、杆的纵向振动以及轴的扭转振动具有相同形式的偏微分方程。,当f(x，t)=0，圆轴扭转自由振动偏微分方程为,或,式中,a表示剪切弹性波沿x轴的传播速度。,同样，式中有四个待定常数。系数C,D决定于边界条件；系数A，B取决于初始条件。,扭转振动偏微分方程的解为,求轴扭转振动的固有频率和振型函数的方法与上两节完全相同，需要利用边界条件解出固有频率，并确定振型函数；其边界条件与杆的纵向振动相似。,固定端(0,t)=0(L,t)=0,自由端,惯性载荷,轴扭转振动的边界条件,因为系统是线性的，故系统的全解是由无限阶固有振型叠加而成，即,则有,设给定初始条件为,解上述立方程即可确定积分常数Ar和Br。,结合系统的固有频率r和振型函数r(x)，便求得系统的位移响应。,例1 设轴一端固定，另一端附有圆盘，如图所示，圆盘转动惯量为I，求扭转振动的固有频率与振型函数。,解：轴扭转振动可表示为,(x,t)=(x)F(t),且有,左端为固定端，边界条件为,(0,t)=0 或(0)=0,轴在L端的边界条件可由L端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩得出,用振型函数表示为,按截面扭矩的正负规定来判断上面等式的“”号：在L端的扭矩以逆时针为正，所以作用在圆盘I上的扭矩顺时针为正；截面角位移(x，t)逆时针为正，以圆盘I为研究对象，即可列出园盘运动微分方程,即为轴在L端的边界条件。,因为a2=G/。并引入,的物理意义：轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。对于给定值，可以求出轴扭转振动固有频率的数值解。,实际上，通常基频振动最为重要。根据轴扭转振动的特征方程，可以求得不同值时的基本特征值1。,当值很小时，即轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比很小时，可以近似地取tan11。轴扭转振动特征方程的简化。,或写为,式中k=GJ/L为轴的扭转弹性刚度。,对基频的影响,该式为略去轴的质量后所得的单自由度系统的固有频率公式。,如果轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相近，由单自由度理论所述的瑞利法，将轴转动惯量的三分之一加到圆盘的转动惯量I上，再按单自由度系统计算基频，可得较好的近似值。例如当=1时，有,用上式计算所得的基频近似值的误差还不到1。,显然，固有频率近似解的误差约为5。,近似解1=0.866数值解1=0.864,例2 如图所示的等直圆轴，长为L，以等角速度转动，某瞬时左端突然固定，求轴的扭转振动响应。,解：一端固定一端自由的圆轴的边界条件为,(0,t)=0 或(0)=0,或,根据边界条件，可得,哪个力学模型？,式中常数取决定于初始条件,将其代入位移响应表达式，得,固有频率：,振型函数：,将上式两边同时前乘以 并沿轴全长积分。利用固有振型的正交性，解出,代入扭转振动响应(x,t)表达式，得,弦的横向振动,弦横向振动、杆纵向振动与轴扭转振动,杆的纵向振动,轴的扭转振动,通解,弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动,弦横向振动、杆纵向振动、轴扭转振动,