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第4章 电路定理,重 点:,掌握各定理的内容、适用范围及 其如何应用；,1.叠加定理,在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。,4.1 叠加定理,2.定理的证明,用结点电压法：,(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1,以右图为例,或表示为：,支路电流为：,结点电压和支路电流均为各激励的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。,结论,3.几点说明,1.叠加定理只适用于线性电路,2.一个电源作用，其余电源为零,电压源为零短路,电流源为零开路,三个电源共同作用,is1单独作用,=,+,us2单独作用,us3单独作用,+,3.功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为激励的 二次函数)。,4.u,i叠加时要注意各分量的参考方向。,5.含(线性)受控源电路亦可用叠加定理，但叠加只适 用于独立源，受控源应始终保留。,4.叠加定理的应用,例1,求电压U,12V电源单独作用：,3A电源单独作用：,解,例2,求电流源的电压和发出的功率,为两个简单电路,10V电源作用：,2A电源作用：,例3,计算电压u,说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。,3A电流源作用：,其余电源作用：,例4,计算电压u和电流i,受控源始终保留,10V电源作用：,5A电源作用：,例5,封装好的电路如图，已知下列实验数据：,解,根据叠加定理，有：,代入实验数据，得：,研究激励和响应关系的实验方法,5.齐性定理,线性电路中，当所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中的响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。,当只有一个激励时，则响应与激励成正比。,例6.,RL=2 R1=1 R2=1 us=51V,求电流 i。,解,梯形电路采用倒推法：设i=1A,则,例7,试用叠加定理计算图(a)电路中的U3,图（a）,图（b）,图（c）,10V电源作用：,4A电源作用：,解,例8,在例7图(a)电路中的R2处再串接一个6V的电压 源，如图（a）所示，再求U3,图（a）,图（b）,图（c）,将10V、4A电源分为一组，如图（b）,6V电源作用：图（C）,解,其分响应为（例7所求）,例9,如果将例8图(a)中的6V电压源换成-15V电压源（如图a），结果又如何？,图（a）,图（b）,图（c）,15V电源作用：图（C）,解,将10V、4A电源分为一组，如图（b）,其分响应为（例7所求）,4.2 替代定理,对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或者用R=uk/ik的电阻来替代，替代后未被替代部分的电压和电流均保持原值不变(解答唯一)。,1.替代定理,证毕!,2.定理的证明,例,求图示电路的支路电压和电流。,解,用电压源替代以后有：,替代后各支路电压和电流完全不变。,用电流源替代以后有：,替代后各支路电压和电流完全不变。,解得,注：,1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。,3.替代后其余支路及参数不能改变。,2.替代后电路必须有唯一解。,例1,若要使,试求Rx。,3.替代定理的应用,解,用替代定理：,=,+,例2,试求I1。,解,用替代定理：,例3,已知:uab=0,求电阻R。,解,用替代：,用结点法：,例4,2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。,解,应求电流I，先化简电路。,应用结点法得：,例5,已知:uab=0,求电阻R。,解,用断路替代，得：,4.3 戴维宁定理和诺顿定理,在工程实际中，常常会碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路）,使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。,1.戴维宁定理,任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于含源一端口的开路电压uoc，而电阻等于含源一端口内所有电源置零后的输入电阻。,2.定理的证明,+,则,A中独立电源置零,有源二端网络,3.定理的应用,(1)开路电压Uoc 的计算,等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：,（2）等效电阻的计算,戴维宁等效电路中电压源的电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源的方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。,(1)外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。,(2)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。,注：,例1.,计算Rx分别为1.2、5.2时的I；,解,保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：,(1)求开路电压,Uoc=U1+U2=-104/(4+6)+10 6/(4+6)=-4+6=2V,(2)求等效电阻Req,Req=4/6+6/4=4.8,(3)Rx=1.2时，,I=Uoc/(Req+Rx)=0.333A,Rx=5.2时，,I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A,分压公式,求U0。,例2.,解,(1)求开路电压Uoc,Uoc=6I+3I,I=9/9=1A,Uoc=9V,(2)求等效电阻Req,方法1：加压求流法,U0=6I+3I=9I,I=I06/(6+3)=(2/3)I0,U0=9(2/3)I0=6I0,Req=U0/I0=6,方法2：开路电压、短路电流法,(Uoc=9V),6 I1+3I=9,3I+6I=0,I=0,Isc=I1=9/6=1.5A,Req=Uoc/Isc=9/1.5=6,独立源置零,独立源保留,(3)等效电路,计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。,任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口内全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。,4.诺顿定理,诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。,例3,求电流I。,(1)求短路电流Isc,I1=12/2=6A,I2=(24+12)/10=3.6A,Isc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A,解,(2)求等效电阻Req,Req=10/2=1.67,(3)诺顿等效电路:,应用分流公式,I=2.83A,例4,求电压U。,(1)求短路电流Isc,解,本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求,(2)求等效电阻Req,(3)诺顿等效电路:,例5,如图（a）所示电路，用具有内阻Rv的直流电压表分别在端子a、b两端和b、c两端测量电压，试分析电压表内电阻引起的测量误差。,解,b、c端子电压的真值为该处的开路电压，戴维宁等效电路如图（b）所示，设测量电压为U,它等于Rv两端的压，即：,不难看出，如果在a、b端测量，相对测量误差不变,相对测量误差,例6,求负载RL消耗的功率。,解,(1)求开路电压Uoc,(2)求等效电阻Req,用开路电压、短路电流法,已知开关S,例7,求开关S打向3，电压U等于多少,解,4.4 最大功率传输定理,一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。,最大功率匹配条件,对P求导：,例1,RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。,(1)求开路电压Uoc,(2)求等效电阻（加流法）Req,(3)由最大功率传输定理得:,时其上可获得最大功率,注,最大功率传输定理用于一端口电路给定,负载电阻可调的情况;,一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%;,计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.,图（a）所示电路中，RL为何值时，它可取得最大功率，并求此功率。由电源发出的功率有多少百分比传输给了RL?,例2,解,戴维宁等效电路如图（b）所示，,其中：,为求20V电压源发出的功率，必须返回到原电路图（a）中，由于RL的电流等于2A,则与RL并联的5电阻中的电流等于1A，故20V电压源中的电流等于3A,电压源发出的功率为：,此时，仅有1/6的功率，即16.67%的功率传输给了RL中,所以，当 时，可获得最大功率。,用戴维宁定理求图示电路中电阻RL=？时，其功率最大，并计算此最大功率。,例3,电路如图所示，负载电阻RL可调，当RL为何值时，获得最大功率，并计算最大功率。,当RL=Req时，负载获得最大功率,例4,4.5 特勒根定理,1.特勒根定理1,任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:,功率守恒,表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。,应用KCL:,支路电压用结点电压表示,定理的证明：,2.特勒根定理2,任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:,拟功率定理,定理的证明：,对电路2应用KCL:,例1,(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V,(2)R1=1.4,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求此时的U2。,解,把（1）、（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2,由(1)得：U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A,例2.,解,已知：U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A,应用特勒根定理需注意：,（1）电路中的支路电压必须满足KVL;,（2）电路中的支路电流必须满足KCL;,（3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）,（4）定理的正确性与元件的特征全然无关。,4.6 互易定理,互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。,1.互易定理,对于一个仅含性线电阻的二端口网络NR，其中一个端口加激励源，另一个端口作响应端口，在保持电路将独立电源置零后电路拓扑结构不变的条件下，当激励与响应互换位置后，响应与激励的比值保持不变。,情况1,当 uS1=uS2 时，i2=i1,则两个支路中电压电流有如下关系：,证明:,由特勒根定理：,即：,两式相减，得,将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:,即：,证毕！,情况2,则两个支路中电压电流有如下关系：,当 iS1=iS2 时，u2=u1,情况3,则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：,当 iS1=uS2 时，i2=u1,(3)互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路的电压、电流关系。,(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；,(2)互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都 关联，要么都非关联)；,(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。,应用互易定理分析电路时应注意：,(5)电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个结点间。,例1,求(a)图中电流I，(b)图中电压U。,解,利用互易定理,例2,求电流I。,解,利用互易定理,I1=I2/(4+2)=2/3A,I2=I2/(1+2)=4/3A,I=I1-I2=-2/3A,例3,测得a图中U110V，U25V，求b图中的电流I。,解法1,(1)利用互易定理知c 图的,(2)结合a图，知c 图的等效电阻：,戴维宁等效电路,解法2,应用特勒根定理：,例4,问图示电路与取何关系时电路具有互易性。,解,在a-b端口加电流源，解得：,在c-d端口加电流源，解得：,如要电路具有互易性，则：,一般有受控源的电路不具有互易性。,例5,图示线性电路，当A支路中的电阻R0时，测得B支路电压U=U1,当R时，UU2,已知ab端口的等效电阻为RA，求R为任意值时的电压U。,解,（2）应用替代定理：,（1）应用戴维宁定理：,（3）应用叠加定理：,解得：,例6,图a为线性电路，N为相同的电阻网络,对称连接,测得电流i1=I1,i2I2,求b图中的i1,解,对图(c)应用叠加和互易定理,对图(c)应用戴维宁定理,=i1,等效,4.6 对偶原理,电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得到的新关系（或新方程）也一定成立，这个新关系（或新方程）与原有的关系（方程）互为对偶，这就是对偶原理。,1.对偶原理,（1）对偶元素有：u-i R-G us-is L-C uoc-isc,（2）对偶关系有u=Ri-i=Gu us=R1i+R2i-is=G1u+G2u,（3）对偶电路有：串联-并联 T形电路-形电路 开路-短路 节点-回路,“对偶”和“等效”是两个不同的概念，不可混消。,例,网孔方程：,节点方程：,若R1=G1,R2=G2,R3=G3,us1=is1,rm=gm，则两个方程组相同，其解答也相同，即un1=il1，un2=il2。,上述例子中的两个电路称为对偶电路。,将方程(1)中所有元素用其对偶元素替换得方程(2)。,2.对偶原理,只有平面电路才可能有对偶电路。,注意,本章小结,1.本章介绍了一些重要的电路定理：如叠加定理（齐性定理）、替代定理、戴维宁定理（诺顿定理）、最大功率传输定理、特勒根定理、互易定理和对偶原理。,2.这些定理也是电路的基本分析方法，应用本章的定理，计算避开了解方程组，但都是改变了原电路，分析题时必须画出等效电路图，否则，不能保证计算结果的正确性。,3.应学会根据题目不同特点选取不同的方法，电路中有多个电源共同激励，多考虑应用叠加定理；求某一支路电流（电压）或最大功率传输问题，一般应用戴维宁定理（诺顿定理）；讨论多端网络的激励与响应问题，一般应用特勒根定理和互易定理。,4.了解对偶原理，平行学习掌握对偶元件的特性和对偶电路及其分析方法。,