第课时反比例函数的图象和性质的的综合运用课件.ppt

反比例函数的图象和性质的综合运用赵忠文,学习目标,1.理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活 运用于坐标系中图形的面积计算中.(重点、难点)2.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.(重 点、难点)3.体会“数与“形的相互转化，学习数形结合的思想 方法，进一步提高对反比例函数相关知识的综合运 用能力.(重点、难点),反比例函数的图象是什么？,反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？,反比例函数的图象是双曲线,当 k 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；,当 k 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.,问题1,问题2,复习引入,用待定系数法求反比例函数的解析式,反比例函数的图象经过点 A(2，6).(1)这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如 何变化？,解：因为点 A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.,新课讲解,1,例1,(2)点B(3，4)，C(，)，D(2，5)是否在这个 函数的图象上？,解：设这个反比例函数的解析式为，因为点 A(2，6)在其图象上，所以有，解得 k=12.,因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.,所以反比例函数的解析式为.,新课讲解,已知反比例函数 的图象经过点 A(2，3)(1)求这个函数的表达式；,解：反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，把点 A 的坐标代入表达式，得，,解得 k=6.这个函数的表达式为.,随堂即练,(2)判断点 B(1，6)，C(3，2)是否在这个函数的 图象上，并说明理由；,解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析 式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C 的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函 数的图象上,随堂即练,(3)当 3 x 1 时，求 y 的取值范围,解：当 x=3时，y=2，当 x=1时，y=6，且 k 0，当 x 0 时，y 随 x 的增大而减小，当 3 x 1 时，6 y 2.,随堂即练,反比例函数图象和性质的综合,(1)图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围 是什么？,如图，是反比例函数 图象的一支.根据图象，回答下列问题：,解：因为这个反比例函数图象的一 支位于第一象限，所以另一支 必位于第三象限.,由因为这个函数图象位于第一、三象限，所以m50，解得m5.,新课讲解,2,例2,(2)在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1)和 点B(x2，y2).如果x1x2，那么 y1 和 y2 有怎样的 大小关系？,解：因为 m5 0，所以在这个函数图象的任一支 上，y 都随 x 的增大而减小，因此当x1x2时，y1y2.,新课讲解,如图，是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是(),A1 B3 C1 D0,B,随堂即练,反比例函数解析式中 k 的几何意义,1.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格：,新课讲解,3,5,P,S1,S2,4,4,S1=S2,S1=S2=k,5,4,3,2,1,4,3,2,3,2,4,5,1,Q,新课讲解,2.假设在反比例函数 中也 用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格：,4,4,S1=S2,S1=S2=k,S1,S2,新课讲解,由前面的探究过程，可以猜测：,若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.,新课讲解,S,我们就 k 0 的情况给出证明：,设点 P 的坐标为(a，b),A,B,点 P(a，b)在函数 的图象上，,，即 ab=k.,S矩形 AOBP=PBPA=ab=ab=k.,假设点 P 在第二象限，那么 a0，,假设点 P 在第四象限，那么 a0，b0，,S矩形 AOBP=PBPA=a(b)=ab=k.,综上，S矩形 AOBP=|k|.,自己尝试证明 k 0的情况.,新课讲解,点 Q 是其图象上的任意一 点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ=.推理：QAO与QBO的 面积和 k 的关系是 SQAO=SQBO=.,Q,对于反比例函数，,A,B,|k|,归纳：,反比例函数的面积不变性,新课讲解,A.SA SBSC B.SASBSCC.SA=SB=SC D.SASCSB,如图，在函数(x0)的图像上有三点A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，那么(),C,随堂即练,如图所示，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点 C，且 AOC 的面积为 2，求该反比例函数的表达式,解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，点 A 在反比例函数 的图象上，xAyAk，SAOC k2，k4，反比例函数的表达式为,新课讲解,例3,1.如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作 PAx 轴于A.假设POA 的面积为 6，那么 k=.,12,提示：当反比例函数图象在第二、四象限时，注意 k0.,随堂即练,2.假设点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，假设四边形 PMON 的面积为 3，那么这个反比例函数的关系式是.,或,随堂即练,如图，P，C是函数(x0)图像上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴.设 POA 的面积为 S1，那么 S1=；梯形CEAD 的面积为 S2，那么 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.,2,S1,S2,S3,新课讲解,例4,如下图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是AB 上的点，AOC 的面积 S1、BOD 的面积 S2、POE 的面积 S3 的大小关系为.,S1=S2 S3,解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1=S2.PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，SOFE=S1=S2，而 S3SOFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1=S2 S3,F,S1,S2,S3,随堂即练,y,D,B,A,C,x,如图，点 A 是反比例函数(x0)的图象上任意一点，AB/x 轴交反比例函数(x0)的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S平行四边形ABCD=_.,3,2,5,方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形.,例5,新课讲解,如图，函数 yx 与函数 的图象相交于 A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，那么四边形ACBD的面积为()A.2 B.4 C.6 D.8,D,C,A,B,D,4,4,随堂即练,反比例函数与一次函数的综合,在同一坐标系中，函数 和 y=k2 x+b 的图象大致如下，则 k1、k2、b各应满足什么条件？,k2 0b 0,k1 0,k2 0b 0,k1 0,2,合作探究,新课讲解,k2 0b 0,k1 0,k2 0,k1 0,新课讲解,函数 y=kxk 与 的图象大致是(),D.,x,y,O,y,y,x,B.,x,y,O,D,O,O,k0,k0,k0,k0,由一次函数增减性得k0,由一次函数与y轴交点知k0，那么k0,x,新课讲解,例6,在同一直角坐标系中，函数 与 y=ax+1(a0)的图象可能是(),B,随堂即练,如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1y2 时，x 的取值范围为.,23,解析：y1y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时.观察右图，可知23.,方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了.,新课讲解,例7,如图，一次函数 y1=k1x+b(k10)的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当y1y2时，x 的取值范围是,A,B,12,随堂即练,一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P(3，4).试求出它们的解析式，并画出图象.,由于这两个函数的图象交于点 P(3，4)，那么点 P(3，4)是这两个函数图象上的点，即点 P 的坐标分别满足这两个解析式.,解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y=k1x 和.,所以，.,解得，.,例8,新课讲解,P,则这两个函数的解析式分别为 和，它们的图象如图所示.,这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？,想一想：,新课讲解,反比例函数 的图象与正比例函数 y=3x 的图象的交点坐标为,(2，6)，(2，6),解析：联立两个函数解析式，解方程即可.,随堂即练,已知 A(4，)，B(1，2)是一次函数 y=kx+b与反比例函数 图象的两个交点，求一次函数解析式及 m 的值.,解：把A(4，)，B(1，2)代入 y=kx+b中，得,4k+b=，,k+b=2，,所以一次函数的解析式为 y=x+.,新课讲解,例9,把 B(1，2)代入 中，得 m=12=2.,新课讲解,A.4 B.2 C.2 D.不确定,1.如图所示，P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB x 轴于点 B，点 A 在 y 轴上，ABP 的面积为 2，则 k 的值为(),O,B,A,P,x,y,A,随堂即练,2.反比例函数 的图象与一次函数 y=2x+1 的 图象的一个交点是(1，k)，那么反比例函数的解析 式是_,随堂即练,3.如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数(x0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，那么不等式k1x+b 的解集是_,1x5,随堂即练,4.已知反比例函数 的图象经过点 A(2，4).(1)求 k 的值；,解：反比例函数 的图象经过点 A(2，4)，把点 A 的坐标代入表达式，得，,解得k=8.,随堂即练,(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随 x 的增大 如何变化?,解：这个函数的图象位于第二、四象限，在每一个 象限内，y 随 x 的增大而增大.,随堂即练,(3)画出该函数的图象；,解：如下图.,随堂即练,(4)点 B(1，8)，C(3，5)是否在该函数的图象上？,因为点 B 的坐标满足该解析式，而点 C 的坐标不满足该解析式，所以点 B 在该函数的图象上，点 C 不在该函数的图象上.,解：该反比例函数的解析式为.,随堂即练,5.如图，直线 y=ax+b 与双曲线 交于两点 A(1，2)，B(m，-4)两点，(1)求直线与双曲线的解析式；,所以一次函数的解析式为 y=4x2.,把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a=4，b=2.,解：把 B(1，2)代入双曲线解析式中，得 k=2，故其解析式为.当y=4时，m=.,随堂即练,(2)求不等式 ax+b 的解集.,随堂即练,6.如图，反比例函数 与一次函数 y=x+2 的图象交于 A，B 两点.(1)求 A，B 两点的坐标；,解：,解得,所以A(2，4)，B(4，2).,或,随堂即练,作ACx轴于C，BDx轴于D，那么AC=4，BD=2.,(2)求AOB的面积.,解：一次函数与x轴的交点为M(2，0)，OM=2.,M,C,D,SOMB=OMBD2=222=2，,SOMA=OMAC2=242=4，,SAOB=SOMB+SOMA=2+4=6.,随堂即练,面积问题,面积不变性,与一次函数的综合,判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负,反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称,反比例函数图象和性质的综合运用,课堂小结,