第四讲无穷级数课件.ppt
第四讲 无穷级数,一、数项级数,二、幂级数,第四讲 无穷级数一、数项级数 二、幂级数,1.理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质。,(1)数项级数的概念,定义1,为数项级数,简称级数.,设(实数集),称,称第n项 un为一般项或通项.,称前n项之和,为级数的第n部分和.,1.理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解,(1)数项级数的概念,定义2,若级数第n部分和序列S1,S2,Sn,的极限存在,即,且S称为此级数的和.,记作,则称级数 收敛.,若 不存在,则称此级数发散.,(1)数项级数的概念定义2若级数第n部分和序列S1,S2,例 1 判别级数的收敛性.例 2 判断级数的收敛性.例 3,结论:,的收敛性.,(2)当 时,级数发散.,(1)当 时,级数收敛,且,讨论等比(几何)级数(公比为 q),结论:的收敛性.(2)当 时,级数,例 4 判断级数的收敛性.调和级数发散.,(2)级数的基本性质,1)若 和 都收敛,则对任意常数 k,l,3)一个级数添加或去掉有限项,不改变其收敛性.,也收敛.,2)若 发散,而 收敛,则对任意非零常数 k,l,发散.,(2)级数的基本性质1)若 和,(2)级数的基本性质,1)若 和 都收敛,则对任意常数 k,l,也收敛.,2)若 发散,而 收敛,则对任意非零常数 k,l,发散.,(2)级数的基本性质1)若 和,(3)级数收敛的必要条件,若收敛,则,若,则 一定发散.,问:,则 收敛吗?,若,例:级数,例:级数,(3)级数收敛的必要条件若收敛,则若,2.掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。,定义,每项都是非负数 的级数 称为正项级数.,1)比较判别法,若两个正项级数 和 从某一项开始满足条件:,则:,(1)当级数 收敛时,也收敛;,(2)当级数 发散时,也发散;,2.掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法。,(1)当 p=1 时,称 为调和级数,是发散的.,(2)当 p1 时,发散.,(3)当 p1 时,收敛.,例:判定正项级数 和 的收敛性.,结论:讨论 p 级数的收敛性.(1)当 p=1 时,称,1)比较判别法(极限形式),若两个正项级数 和 满足,(i)时,和都收敛或都发散;,(ii)a=0 时,若 收敛,则 也收敛;,(iii)时,若 发散,则 也发散.,1)比较判别法(极限形式)若两个正项级数,例 5 判定下列级数的收敛性,例 5 判定下列级数的收敛性,2)比值判别法(极限形式),(i)当 q1 时,级数 收敛;,若,则:,(iii)当 q=1 时,不能判别级数 的收敛性.,设 为正项级数,(ii)当 q1 或 时,级数 发散;,2)比值判别法(极限形式)(i)当 q1 时,级数,例 6 判定下列级数的收敛性,注:,若un含,通常用比值判别法;,若un为n的有理分式,无理分式时,通常用比较法.,例 6 判定下列级数的收敛性注:若un含,3.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。,(1)交错级数,定义,各项正负项相间的级数(un0),称为交错级数.,3.了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法,莱布尼兹定理,(2),则交错级数 收敛.,莱布尼兹定理若一个交错级数满足如下条件:(1)从某项开始即,(2)绝对收敛与条件收敛,定义,若 收敛,则 收敛,且称 为绝对收敛;,若 发散,但 收敛,则称 为条件收敛.,例:判别下列级数的收敛性,(2)绝对收敛与条件收敛定义若 收敛,则,例 7 判别下列级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛?,例 7 判别下列级数是否收敛,如果收敛,是绝对收敛还是,结论:,结论:,结论:,练(2019年高数二),对于幂级数 下列说法正确的是(),(A)当p1时,条件收敛(D)当p1时,绝对收敛,结论:练(2019年高数二)对于幂级数,题型一：数项级数性质、敛散性判定.,题型一：数项级数性质、敛散性判定.,题型一：数项级数性质、敛散性判定.,题型一：数项级数性质、敛散性判定.,练(2019年高数二),级数 收敛的必要条件为_.,练(2019年高数二),若级数 收敛,则 的取值范围是_.,练(2019年高数二)级数 收敛的必要条,练(2019年高数二),判别正项级数 的敛散性.,练(2019年高数二)判别正项级数,练(2019年高数二),级数 为(),(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)无法判断,练(2019年高数二),确定级数 的收敛性.,练(2019年高数二)级数,练(2019年高数二),设级数 和 都发散,则级数 是(),(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)无法判断,练(2019年高数二)设级数 和,二、幂级数,1.幂级数的概念,2.幂级数的基本性质,3.将简单的初等函数展开为幂级数,二、幂级数1.幂级数的概念2.幂级数的基本性质3.将简,1.了解幂级数的概念。,定义,形如,或,(ai为常数)的级数,称为幂级数.,1.了解幂级数的概念。定义形如或(ai为常数)的级数,2.掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。,称为幂级数 的收敛半径.,当 时,当 时,2.掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法。当,称为幂级数 的收敛半径.,当 时,当 时,称为幂级数 的收敛区间.,当 时,级数绝对收敛;当,称为幂级数 的收敛半径.,当 时,当 时,称为幂级数 的收敛区间.,称为幂级数 的收敛区间.,称为幂级数 的收敛半径.当,称为幂级数 的收敛半径.,称为幂级数 的收敛区间.,加上 中收敛的区间端点,称为收敛域.,(2)在收敛区间内,第n部分和Sn(x)=a0+a1x+an-1xn-1的极限称为幂级数的和函数.,称为幂级数 的收敛半径.称为幂级数,例 1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.,题型二：幂级数的收敛区间、和函数.,练(2019年高数二),确定幂级数 收敛半径及收敛域,其中a为正常数.,例 1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.题型二：幂级数的,注:幂级数,都要用比值法求收敛半径.,如果任意项级数,则:当 l1 时,级数发散.,定理,满足条件:,注:幂级数都要用比值法求收敛半径.如果任意项级数则:当,注:幂级数,都要用比值法求收敛半径.,如果任意项级数,则:当 l1 时,级数发散.,定理,满足条件:,例2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.,注:幂级数都要用比值法求收敛半径.如果任意项级数则:当,注:幂级数,都要用比值法求收敛半径.,例2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间.,例3.求 的收敛半径和收敛区间.,例4.幂级数 的收敛半径为_.,注:幂级数都要用比值法求收敛半径.例2.求下列幂级数的收,3.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）。,1)若 的收敛半径分别为R1和R2,则,的收敛半径 R=minR1,R2.,2)若幂级数 则其和函数 f(x)在收敛区间内连续.,3.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与,3)幂级数 在收敛区间 内可逐项求导,且,4)幂级数 在收敛区间 内可逐项求积分,3)幂级数,例 5(1)求 的和函数;,(2)求 的和函数.,练 求 的和函数.,例 5(1)求 的和函数;(2,形如,为 f(x)的麦克劳林级数.,4.会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（Maclaurin）级数，将一些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数。,形如为 f(x)的麦克劳林级数.4.会运用ex，sin,如果在收敛区间内,称为 f(x)的麦克劳林展开式.,则,如果在收敛区间内,称为 f(x)的麦克劳林展开式.则,几个函数的麦克劳林展开公式,几个函数的麦克劳林展开公式,第四讲无穷级数课件,例 9 求 的麦克劳林展开式.,例 10 求 的麦克劳林展开式.,例 11 将 lnx 展成 x-2 的幂级数(即x0=2的级数).,例 12 将 展成 x+3 的幂级数(即x0=-3的级数).,题型三：幂级数的展开式.,例 9 求 的麦克劳林展开式.例 10 求,练(2019年高数二),将函数 y=lnx 展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间.,练(2019年高数二),将函数 展成(x-1)的幂级数并指出收敛区间.,练(2019年高数二)将函数 y=lnx 展成(x-1),练(2019年高数一),将函数 在点 x0=1 处展开成幂级数,并指出收敛区间(端点不考虑).,练(2019年高数一),将函数 展开成 x 的幂级数,并指出收敛半径.,练(2019年高数一)将函数,练(2019年高数二),将函数 展开成 x 的幂级数.,练(2019年高数二),将函数 y=arctanx 展开为麦克劳林级数.,练(2019年高数二)将函数,
