第四章自动控制原理课件.ppt

第四章 频率分析法,第四章 频率分析法,频率分析法,控制系统的频率分析法是利用系统的频率特性（元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也是经典控制理论的核心内容。,频率特性分析法的特点：具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能，得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响，并提出改进系统的方法。一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根。频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。,频率分析法 控制系统的频率分析法是利用系统的频率,第一节 频率特性,一、基本概念,示例：如图所示一阶RC网络，ui(t)与uo(t)分别为输入与输出信号，其传递函数为,在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即 ur(t)=U sint,第一节 频率特性一、基本概念示例：如图所示一阶RC网络，u,第一节 频率特性,稳态分量,瞬态分量,当t时，瞬态分量衰减为0，此时电路的稳态输出为：,可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数，但幅值与相位不同，输出滞后于输入。,稳态输出与输入幅值比为：,输出与输入相位差为：=-arctanT,第一节 频率特性稳态分量瞬态分量当t时，瞬态分量衰减为,第一节 频率特性,把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示,可以得到:,把传递函数用复数表示,可以得到:,式中，,第一节 频率特性把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示,第一节 频率特性,对比前两式可见，将传递函数G(s)中的s以j代替，G(j)就是系统的稳态响应与输入正弦信号的复数比，称为频率特性。A()是输出信号的幅值与输入信号幅值之比，称为幅频特性。()是输出信号的相角与输入信号的相角之差，称为相频特性。,第一节 频率特性 对比前两式可见，将传递函数G(,第一节 频率特性,上述RC电路的幅频和相频特性如图所示。,第一节 频率特性上述RC电路的幅频和相频特性如图所示。2,当输入信号为正弦信号时，,若系统无重极点,则上式可写为,第一节 频率特性,二、频率特性与传递函数的关系,当输入信号为正弦信号时，若系统无重极点,则上式可写为 第一,求出待定系数B1、B2，并代入上式可得,对于稳定的线性定常系统,由正弦输入产生的输出稳态分量仍是与输入同频率的正弦函数,而幅值和相角的变化是频率的函数,且与系统结构参数相关。,第一节 频率特性,求出待定系数B1、B2，并代入上式可得 对于稳定的线性,令,A（）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大（A1）还是衰减（A1）。而（）反映相位差随频率而变化的规律，称为相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前（0）还是滞后（0）。通常把A（）和（）称为系统的频率特性。,第一节 频率特性,令 A（）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频特,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为 当输入信号为r（t）=sin2t时，求闭环系统的稳态输出。,解：系统的闭环传递函数与频率特性分别为,第一节 频率特性,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为 解：系统的闭环传递函,频率特性的物理意义,1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率在0的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。,第一节 频率特性,频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比,对G(s)求逆变换，得单位脉冲响应函数g(t),第一节 频率特性,式中，为G(s)的收敛域，若系统稳定，则可取为0，如果r(t)的傅氏变换存在，令s=jw，则,因此，系统的频率特性G(jw)就是g(t)的傅氏变换,对G(s)求逆变换，得单位脉冲响应函数g(t)第一节 频率,微分方程与传递函数、频率特性三者之间的关系,第一节 频率特性,微分方程与传递函数、频率特性三者之间的关系微分方程频率特性传,三、频率特性的求法及图示方法,第一节 频率特性,三、频率特性的求法及图示方法第一节 频率特性1.频率特性的,第一节 频率特性,绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。由于系统的频率特性表达式为 G（j）=A（）ej,由于A()和()是频率的函数，当在0的范围内连续变化时，向量的幅值与相角均随之连续变化，不同下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线（奈氏曲线），如图所示。,对于某一特定频率i下的G（ji）总可以用复平面上的一个向量与之对应，该向量的长度为A（i），与正实轴的夹角为（i）。,第一节 频率特性 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐,第一节 频率特性,对数频率特性曲线，由对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线两部分组成，坐标系为半对数坐标，反映L()=20lg A()与()随lg变化的规律。,第一节 频率特性对数频率特性曲线，由对数幅频特性曲线和对数,第二节 典型环节的频率特性,一、典型环节的频率特性,1、比例环节,传递函数：G(s)=K频率特性：G(j)=K幅频特性：A()=|K|=K相频特性：（）=0,比例环节的奈氏图,比例环节的伯德图,对数幅频特性：,第二节 典型环节的频率特性一、典型环节的频率特性1、比例环节,传递函数：频率特性：幅频特性：A()=|1/|=1/相频特性：()=-90,2、积分环节,积分环节的伯德图,积分环节的奈氏图,对数幅频特性：,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：2、积分环节积分环节的伯德图 积分环节的奈,传递函数：G(s)=s频率特性：G(j)=j 幅频特性：A()=|=相频特性：()=90,3、微分环节,微分环节的伯德图,微分环节的奈氏图,对数幅频特性：,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：G(s)=s3、微分环节微分环节的伯德图 微,传递函数：频率特性：,4、惯性环节,惯性环节的奈氏图,幅频特性：相频特性：,对数幅频特性：,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：4、惯性环节惯性环节的奈氏图幅频特性：对数,第二节 典型环节的频率特性,第二节 典型环节的频率特性（1)低频段 故在,第二节 典型环节的频率特性,第二节 典型环节的频率特性,第二节 典型环节的频率特性,精确相频特性为:()=-arctan(T)；,对数相频特性曲线将对应于=1/T及()=-45这一点斜对称，如图所示，可以清楚地看出在整个频率范围内，()呈滞后持续增加的趋势，极限为-90。,第二节 典型环节的频率特性 精确相频特性为:()=,第二节 典型环节的频率特性,惯性环节的Bode图,第二节 典型环节的频率特性惯性环节的Bode图,第二节 典型环节的频率特性,如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线，只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正就足够了。,第二节 典型环节的频率特性 如需由渐近对数幅频,传递函数：G(s)=Ts+1频率特性：G(j)=jT+1,5、一阶微分环节,一阶微分环节的奈氏图,幅频特性：相频特性：,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：G(s)=Ts+15、一阶微分环节一阶微分环,一阶微分环节的伯德图,对数幅频特性：,精确曲线,渐进线,一阶微分环节的伯德图 对数幅频特性：精确曲线渐进线最大幅值误,传递函数：,6、振荡环节,幅频特性：,相频特性：,频率特性：,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：6、振荡环节幅频特性：相频特性：频率特性：第二,对数幅频特性：,振荡环节的奈氏图,第二节 典型环节的频率特性,对数幅频特性：振荡环节的奈氏图第二节 典型环节的频率特性,振荡环节的伯德图,振荡环节的伯德图,振荡环节的误差修正曲线,第二节 典型环节的频率特性,振荡环节的误差修正曲线第二节 典型环节的频率特性,传递函数：频率特性：,7、时滞环节,幅频特性：相频特性：,对数幅频特性：,时滞环节的伯德图,时滞环节的奈氏图,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：7、时滞环节幅频特性：对数幅频特性：时滞环,8、非最小相位环节（1）最小相位系统：如果系统传递函数在右半S平面上没有极点和零点，这样的系统称最小相位系统，如,（2）非最小相位系统：传递函数在右半s平面上有一个(或多个)零点或极点，或者具有延迟环节的系统。,第二节 典型环节的频率特性,8、非最小相位环节（2）非最小相位系统：传递函数在右半s平面,传递函数：频率特性：,非最小相位环节,幅频特性：相频特性：,对数幅频特性：,一阶不稳定环节的奈氏图,Re,Im,0,=0,-1,第二节 典型环节的频率特性,传递函数：非最小相位环节幅频特性：对数幅频特性：一阶,一阶不稳定环节的伯德图,L(),0,0,(),-90,-180,-20,第二节 典型环节的频率特性,一阶不稳定环节的伯德图 L()00()-90-,第四章自动控制原理课件,一、开环系统的频率特性,对于由多个典型环节组合而成的系统（延迟环节除外），其频率特性应该满足下面的规律。,第三节 开环系统的伯特图,一、开环系统的频率特性 对于由多个典型环节组合而成的,第三节 开环系统的伯特图,第三节 开环系统的伯特图,二、系统开环对数频率特性曲线,对数频率特性曲线坐标系如图所示，在绘制函数关系时，相当于lg为自变量。,纵坐标是对幅值分贝(dB)数进行分度，用L()=20 lgA()表示。对数相频特性图的横坐标分度方法同对数幅频特性，而纵坐标则对相角进行线性分度，单位为度（o）,仍用()表示。,第三节 开环系统的伯特图,二、系统开环对数频率特性曲线对数频率特性曲线坐标系如图所示，,G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)=A()ej()式中 A()=A1()A2()An()；()=1()+2()+n()幅频特性取分贝数20Lg|GH|后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。L()=20 lgA()=20lgA1()+20lgA2()+20lgAn()=L1()+L2()+Ln(),第三节 开环系统的伯特图,G(j)=G1(j)G2(j)Gn(j)=A(,基本规律1、由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以L()的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。2、低频渐近线（及其延长线）的确定,Gk（j）的低频段表达式为,()=-v90,第三节 开环系统的伯特图,基本规律Gk（j）的低频段表达式为()=-v90第三,对数频率特性的低频渐近线表达式为,可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关。,低频段为一条斜率为-20vdB/dec的斜线。同时，低频渐近线（及其延长线）上在=1时,有L(1)=20lgK。,第三节 开环系统的伯特图,对数频率特性的低频渐近线表达式为可见低频段的对数幅频特性与相,3、转折频率及转折后斜率变化量的确定 低频段只与积分环节的个数v 及开环传递系K 有关，而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L()的斜率发生相应的变化。,在惯性环节,的转折频率1/T处，斜率20dB/dec；,在一阶微分环节G(s)=(s+1)的转折频率1/处，斜率20dB/dec；,在振荡环节,的转折频率1/T处，斜率 40dB/dec,（4）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系,第三节 开环系统的伯特图,3、转折频率及转折后斜率变化量的确定在惯性环节的转折频率1/,当 时,由于nm，所以高频段的近似表达式为,()=-（n-m）90,高频段为一条斜率为-20（n-m）dB/dec的斜线。说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与（n-m）有关。,第三节 开环系统的伯特图,当 时,由于nm，所以高频段的近似表达式为()=,绘制步骤 1开环传递函数写成标准的时间常数表达式，确定各典型环节的转折频率。2选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。确定坐标比例尺，由小到大标注各转折频率。3确定低频渐近线（由积分环节个数v与开环传递系数K决定），找到横坐标为=1、纵坐标为20lgK 的点，过该点作斜率为-20vdB/dec 的斜线。4.由低频向高频延伸，每到一个转折频率,斜率根据具体环节作相应的改变，最终斜率为-20（n-m）dB/dec。5.系统开环对数幅频特性 L()通过0分贝线,即 L(c)=0或A(c)=1时的频率c称为幅值穿越频率。幅值穿越频率c 是分析与设计时的重要参数。,第三节 开环系统的伯特图,绘制步骤第三节 开环系统的伯特图,6在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线（可用模型板画），将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出()的表达式，逐点描绘。低频时有()=-v(90)，最终相位为()=-(n-m)90。7.若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。,第三节 开环系统的伯特图,6在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特,例 设系统开环传递函数试为,绘制开环系统对数频率特性曲线。,解:(1)先将开环传递函数化成时间常数标准式：,第三节 开环系统的伯特图,(2)将各环节的转角频率由低到高依次标于轴上,如下图所示。,例 设系统开环传递函数试为,(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上,每遇到一个环节的转折频率,根据该环节的性质作一次斜率变化,直至最后一个环节完成为止。即,第三节 开环系统的伯特图,(3)绘制低频渐近线。,直线过点（1，40），斜率为-20dB/dec,(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的,(c)=-91.1,第三节 开环系统的伯特图,(c)=-91.1第三节 开环系统的伯特图,例 绘制开环传递函数为 的零型系统的伯德图。,解：10.1，21 系统为0型系统。系统开环对数幅频特性和相频特性分别为,第三节 开环系统的伯特图,例 绘制开环传递函数为,第四章自动控制原理课件,第三节 开环系统的伯特图,第三节 开环系统的伯特图,解:将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式:,例 已知系统的开环传递函数为,试绘制系统的伯德图。,第三节 开环系统的伯特图,解:将开环传递函数写成如下典型环节乘积形式:例 已,第三节 开环系统的伯特图,第三节 开环系统的伯特图,第五节 相对稳定性分析,奈氏判据指出，若开环系统稳定，则闭环稳定的充要条件是奈氏曲线不包围点(1,j0)。如果曲线穿过点(1,j0)，则系统处于临界稳定状态，曲线距离点(1,j0)越远，闭环系统的稳定程度越高;反之,曲线距离点(1,j0)越近,则闭环系统的稳定程度越低。这便是通常所说的相对稳定性,它通过G(j)H(j)对(1,j0)点的靠近程度来度量,其定量表示为相角裕度和幅值裕度Kg,第五节 相对稳定性分析奈氏判据指出，若开环系统稳定，则闭环稳,第五节 相对稳定性分析,一、相位裕度(相角裕度),剪切频率：开环系统的对数幅频特性曲线与0dB线的交点频率c，或 者说对应于G(j)H(j)1的频率c，又称穿越频率。,相位裕度：=180+（c）,对于稳定的系统，必在伯德图180线以上，这时称为正相角裕度，或者有正相角裕度，即0。对于不稳定系统，必在180线以下，这时称为负相角裕度，即0。,第五节 相对稳定性分析一、相位裕度(相角裕度)剪切频率：开,对于闭环稳定的最小相位系统，若系统在相角穿越频率g 处幅值增大Kg 倍（或对数幅值上升LK分贝），则系统将处于临界稳定状态。稳定系统Kg 1,LK(dB)0。Kg越大，相对稳定性越高。,二、幅值裕量（增益裕度）开环Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数称为幅值裕量，记为Kg。,在对数频率特性曲线上，幅值裕量相当于（g)=-180时，幅频值20lgG(j)H(j)=20lgA(g)的负值。,第五节 相对稳定性分析,第五节 相对稳定性分析,在工程实践中，一般希望为3060，Kg 6dB,第五节 相对稳定性分析在工程实践中，一般希望为3060,第五节 相对稳定性分析,例,，求,由L(w)得：,得,解：,第五节 相对稳定性分析例，求由L(w)得：得解：,第五节 相对稳定性分析,例 单位反馈系统开环传递函数为,分别求取K1=10及K1=100时的相位裕度和幅值裕度。,解:相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。K1=10时,1=1,2=5。20 lgK=20 lg2=6dB。画出对数幅频特性曲线,如图所示。,第五节 相对稳定性分析例 单位反馈系统开环传递函数为,第五节 相对稳定性分析,由图可知:,所以剪切频率。相角裕度为,当K1从10变到100时,幅频特性上移20lg(100/10)20dB,如图中虚线所示。,所以K1=100时对应的剪切频率为，相角裕度为,第五节 相对稳定性分析 由图可知:所以剪切频率,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,一、几个闭环频域指标概念,闭环传递函数,闭环频率特性,零频振幅比 M0谐振峰值 Mr谐振频率r带宽频率b系统的带宽,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系一、几个闭环频域指,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,二、一阶系统频域指标与时域指标的关系,R(S),C(S),闭环频率特性,闭环相频特性,闭环幅频特性,闭环频域指标,阶跃响应时域指标,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系二、一阶系统频域指,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,R(S),C(S),闭环频率特性,三、二阶系统频域指标与时域指标的关系,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系R(S)C(S)闭,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,由 得谐振频率r为,(00.707),则谐振峰值Mr为,(00.707),第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系由 得,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,谐振峰值Mr、超调量Mp 与的 关系曲线,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系谐振峰值Mr、超调,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,谐振频率r、有阻尼振荡频率b 与阻尼比的 关系,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系谐振频率r、有阻,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,四、高阶系统,式中：,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系四、高阶系统式中：,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系,例 某二阶单位反馈系统如图所示，试采用频率法分析系统的的频域指标c、和%。,解：对照标准形式系统的参数为,第七节 系统频域指标与时域指标之间的关系例 某二阶单位,第八节 频率特性的实验确定法,一、用正弦信号测试频率特性的原理,相关分析法测试频率特性原理,第八节 频率特性的实验确定法一、用正弦信号测试频率特性的,第八节 频率特性的实验确定法,在输入信号ur(t)=Usint的作用下,被测系统的输出信号为,式中,A0输出信号中的直流分量;u(t)输出信号中的噪声分量;A sin(t+)输出信号中的基波分量;An sin(nt+)输出信号中的高次谐波分量。,第八节 频率特性的实验确定法在输入信号ur(t)=Usin,第八节 频率特性的实验确定法,设输入信号正弦波的频率为f,周期为T,则2f2/T,取整数倍数周期NT求相关值,则有,由于,第八节 频率特性的实验确定法 设输入信号正弦波,第八节 频率特性的实验确定法,故当N值取得较大时,前式可以写作,或者写成,同理可求得,第八节 频率特性的实验确定法故当N值取得较大时,前式可以,二、最小相位系统根据波德图确定传递函数,1.由低频段对数幅频特性渐近线的斜率，确定系统积分环节的个数v。如低频渐近线的斜率为-20v dB/dec，系统即为几型系统，含有v个积分环节串联。,第八节 频率特性的实验确定法,二、最小相位系统根据波德图确定传递函数1.由低频段对数幅频特,2.系统增益K的确定。开环传递系数表达式为L()=20lgK-20vlg。可首先由低频段的斜率确定v，再由低频段上的一个具体点的坐标确定K，如可代L(1)=20lgK；,第八节 频率特性的实验确定法,2.系统增益K的确定。开环传递系数第八节 频率特性的实验确,3.系统环节的确定。,若在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；,若在转折频率处，斜率增加20dB/dec，则必有一阶微分环节 G(s)=(s+1)；,若在转折频率处，斜率减小40dB/dec，则有振荡环节；,第八节 频率特性的实验确定法,3.系统环节的确定。若在转折频率处，斜率减小20dB/dec,例 某最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线如图所示，求此系统的开环传递函数。,第八节 频率特性的实验确定法,例 某最小相位系统开环对数幅频特性曲线的渐近线如图所示，,第八节 频率特性的实验确定法,第八节 频率特性的实验确定法,三、由实验频率特性求系统传递函数,第八节 频率特性的实验确定法,例 图实线是某系统用实验测出的频率特性伯德图,试求系统的传递函数。,三、由实验频率特性求系统传递函数第八节 频率特性的实验确定,第八节 频率特性的实验确定法,解 由幅频特性低频段可见，该系统为0型系统，且K=1。用折线(见图中虚线)作为渐近线逼近幅频特性曲线，其高频段为40 dB/dec，两个交接频率为1=1(rad/s),2=2.4(rad/s)。由此可知,该系统为二阶系统，且,对于最小相位系统,二阶系统的相频特性不会小于180,但该系统在高频段已小于180,且呈现不断下降的趋势,故可断定该系统是非最小相位系统,存在迟后环节,系统的频率特性有如下形式：,由图可见,(1)=85,故,(1)=-11180/-arctg1-arctg0.417=-85,第八节 频率特性的实验确定法解 由幅频特性低频段可见，该系,第八节 频率特性的实验确定法,解得1=0.303。另由图可见,(2.4)=155,故,(2.4)=-22.4180/-arctg2.4-arctg1=-155,解得2=0.310。,取=(1+2)/2=0.307。,所以,即传递函数为,第八节 频率特性的实验确定法解得1=0.303。(2,