第四章向量组的线性相关性课件.ppt

1 向量组及其线性组合 2 向量组的线性相关性 3 向量组的秩 4 线性方程组的解的结构,第四章 向量组的线性相关性,1 向量组及其线性组合第四章 向量组的线性相关性,教学重点,向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构,教学难点,向量组的线性相关性的判别向量组的秩线性方程组的解的结构,教学重点 向量组的线性相关性教学难点 向量组的线性相关性的判,双语教学,线性组合：linear combination 向量组：vector quantity 线性相关：linearly dependent 线性无关：linearly independent,双语教学 线性组合：linear combination,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、维向量的概念,1 向量组及其线性组合,定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实,例如,n维实向量,n维复向量,第1个分量,第n个分量,第2个分量,例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量,二、维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,二、维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,注意行向量和列向量总被看作是两个不同的行向量,向量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象：可随意平行移动的有向线段,代数形象：向量的坐标表示式,坐标系,三、向量空间,向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成,空间,解析几何,线性代数,点空间：点的集合,向量空间：向量的集合,坐标系,代数形象：向量空间中的平面,几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面,一一对应,空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合,叫做 维向量空间,时，维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,叫做 维向量空间 时，维向量没有直观的,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,确定飞机的状态，需飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,四、向量组与矩阵,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合,向量组,，称为矩阵A的行向量组,向量组,，称为矩阵A的,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,五、向量组的线性相关性,向量 能由向量组 线性表示,定义线性组合五、向量组的线性相关性,定理1,例1 设，。证明：向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。,定理1例1 设，,证明：令,故方程 的解为,证明：令 故方程,即,定义,即定义 向量组 能由向量组 线性表示向量组等价,第四章向量组的线性相关性课件,从而,从而,第四章向量组的线性相关性课件,第四章向量组的线性相关性课件,第四章向量组的线性相关性课件,第四章向量组的线性相关性课件,定理2 向量组 能由向量组 线性表示 矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即推论：向量组 与向量组 等价,例2 已知向量组A：,B：,证明：向量组A与向量组B等价。,定理2 向量组 能由向量,证明:令,而,故,因此,即向量组A与向量组B等价。,证明:令而故因此即向量组A与向量组B等价。,定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则,证：记,由已知有 而,因此,定理3 设向量组 能由向,