第五节无穷小与无穷大课件.ppt

,第2章 极限与连续,2.2无穷小与无穷大,第2章 极限与连续2.2无穷小与无穷大,一、无穷小,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小.,2.2无穷小与无穷大,一、无穷小1、定义:极限为零的变量称为无穷小.2.2无穷小,例如,注意,（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（1）称一个函数为无穷小，必须指明自变量变化趋势；,例如,注意（2）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（3）零是,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,2、无穷小的运算性质:,性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,性质3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.2、无穷小的运算性,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,二、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,2.2无穷小与无穷大,二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.2.2无穷小与无,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（4）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,（3）称一个函数为无穷大，必须指明自变量变化趋势；,特殊情形：正无穷大，负无穷大注意（1）无穷大是变量,不能与,不是无穷大,无界，,不是无穷大无界，,三、无穷小与无穷大的关系,定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;不恒为零的无穷小的倒数为无穷大.,即,2.2无穷小与无穷大,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,三、无穷小与无穷大的关系定理 在同一过程中,无穷大的倒数为,四、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,2.2无穷小与无穷大,四、无穷小的比较例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”,定义:,定义:,例如，,例如，,注意：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,注意：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如,常用等价无穷,补充：等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,补充：等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)证,例,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,例解若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.,注意,例,解,不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代,例,解,解,错,例解解错,五、小结,1、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3）无界变量未必是无穷大.,2、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,3、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,五、小结1、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1,思考题,任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题任何两个无穷小都可以比较吗？,思考题解答,不能,例当 时,都是无穷小量,但,不存在且不为无穷大,故当 时,思考题解答不能例当 时都是,思考题,思考题,思考题解答,不能保证.,例,有,思考题解答不能保证.例有,一、填空题:,练 习 题,一、填空题:练 习 题,第五节无穷小与无穷大课件,练习题答案,练习题答案,