第一次课：微分方程课件.ppt

微分方程,微分方程及其应用,微分方程微分方程及其应用,微分方程复习,一阶方程类型及解法,微分方程复习一阶方程类型及解法,第一次课：微分方程课件,例1求下列分离变量型方程：,例2求下列齐次型方程：,例1求下列分离变量型方程：例2求下列齐次型方程：,一阶线性方程计算公式,例3求下列一阶线性方程的通解,一阶线性方程计算公式例3求下列一阶线性方程的通解,例7.试将贝努利方程,化为一阶线性方程，并求方程,的通解,例7.试将贝努利方程化为一阶线性方程，并求方程的通解,例8.验证下列方程是否为全微分方程，并求其通解：,例8.验证下列方程是否为全微分方程，,二阶方程类型及解法,1。可降阶的两种类型,类型1.不显含y型，,类型2.不显含x型，,解法：,解法,二阶方程类型及解法1。可降阶的两种类型类型1.不显含y型，类,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构：,性质：（叠加原理）：二阶线性齐次方程任意解的线性组合仍是解，即,如果：,是方程,也是其解,的解，则,2.二阶线性齐次方程解的性质与结构：性质：（叠加原理）：二阶,的任意两个线性无关的解，则,就是其通解,解的结构：如果,是方程,的任意两个线性无关的解，则就是其通解解的结构：如果是方程,3.二阶线性非齐次方程解的性质与结构：,性质1：二阶线性非齐次方程任意两个解的差是其对应齐次方程的解,性质2：二阶线性非齐次方程的解与其对应齐次方程的解的和仍是非齐次方程的解,解的结构定理：设Y是二阶齐次线性方程,的通解，而,是,二阶非齐次线性方程任一特解，则,便是非齐次方程的通解,3.二阶线性非齐次方程解的性质与结构：性质1：二阶线性非,二阶线性非齐次方程解的叠加原理：,设,是方程,的解,是方程,的解，则,便是方程,的解,注：显然叠加原理可推广到任意有限个的情况,二阶线性非齐次方程解的叠加原理：设是方程的解是方程的解，则便,二阶线性常系数齐次方程的解法：特征方程法,解法步骤：（1）由原方程,写出相应的特征方程,（2）求出特征根,（3）由特征根写出原方程的通解,二阶线性常系数齐次方程的解法：解法步骤：（1）由原方程写出相,特征根与方程通解对照表：,特征根与方程通解对照表：,例求下列线性常系数齐次方程的通解,例求下列线性常系数齐次方程的通解,二阶常系数线性非齐次方程特解求法：,类型1,其特解形式为,是特征方程的单根时k取1,是特征方程的二重根时k取2,不是特征方程的根时k取0,二阶常系数线性非齐次方程特解求法：类型1其特解形式为是特征方,例求下列方程特解的形式,例求下列方程特解的形式,类型2,或,其特解形式为,不是特征方程的根时k取0,是特征方程的根时k取1,类型2或其特解形式为不是特征方程的根时k取0是特征方程的根时,例求下列方程特解的形式,例利用叠加原理求下列方程的通解,例求下列方程特解的形式例利用叠加原理求下列方程的通解,