第5讲微分中值定理课件.ppt
,一元微积分学,高等 数 学（上）,第十五讲 微分中值定理,教案制作：吴洪武,高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学,作业,习题3-1（教材125页）1；2；3；4;5;6;,作业习题3-1（教材125页）,第一节 微分中值定理,第三章 微分中值定理与导数的应用,一.费马定理,二.罗尔中值定理,三.拉格朗日中值定理,四.柯西中值定理,第一节 微分中值定理第三章 微分中值定理与导数的应用一.,费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理,函数导数的定义为,导数与差商,函数导数的定义为即函数在点 x 处的导数等于时,函数的极,我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.,我们常常需要从函数的导数所给出,首先,从直观上来看看,“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”,是怎么一回事.,首先,从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式,导数与差商,相等！,导数与差商相等！,将割线作平行移动,那么它至少有一次会,达到这样的位置：,在曲线上与割线距离最远的那一点P 处成,为切线,即在点P 处与曲线的切线重合.,该命题就是微分中值定理.,将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线,极值的定义,极值的定义,一.费马定理,可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.,定理,一.费马定理 可微函数在区间内部取极值的必要,费马定理的几何解释,如何证明？,费马定理的几何解释 如何证明？,则有,于是,（极小值类似可证）,证,则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？,但是,不保证在内部！,但是不保证在内部！,水平的,可保证在内部一点取到极值,水平的可保证在内部一点取到极值,二.罗尔中值定理,设,则至少存在一点,定理,二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理,实际上,切线与弦线 AB 平行.,实际上,切线与弦线 AB 平行.,最小值至少各一次.,证,最小值至少各一次.证,最小值至少各一次.,由费马定理可知：,最小值至少各一次.由费马定理可知：,证,其中,例1证其中,综上所述,综上所述,连续,可微,端点函数值相等,连续可微端点函数值相等例2分析,证,由罗尔定理,至少存在一点,例2证由罗尔定理,至少存在一点,分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.,分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键,且满足罗尔定理其它条件,证,且满足罗尔定理其它条件,例3证,想想,看能不能找到证明的方法.,想想,看能不能找到证明的方法.例4分析,证,则由已知条件可知:,例4证则由已知条件可知:,该矛盾说明命题为真.,该矛盾说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使,证,例5证,证,例6证,引理 1,达布中值定理,达布中值定理,费马定理的一种推广,引理 1 达布中值定理 达布中值定理费马定理的一种推广,证明引理1,证明引理1,证明达布中值定理,请自己完成!,证明达布中值定理 请自己完成!,如何描述,这一现象,如何描述这一现象,三.拉格朗日中值定理,设,则至少存在一点,定理,三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理,切线与弦线 AB 平行,如何利用罗尔定理来证明？,切线与弦线 AB 平行如何利用罗尔定理来证明？,则由已知条件可得：,故由罗尔定理,至少存在一点,证,则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证,定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数拉格朗日有限增量,某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在 t,还有什么？,还有什么？,推论 1,推论 1,推论 2,(C 为常数),推论 2(C 为常数),推论 3,用来证明一些重要的不等式,推论 3 用来证明一些重要的不等式,推论 4,用来判断函数的单调性,推论 4 用来判断函数的单调性,在推论 4 中,推论 5,则,再由推论 4,即得命题成立.,该推论可以用来证明不等式.,证,推论 5则再由推论 4,即得命题成立.该推论可以用,解,解例7,故,从而,证,故从而例8证,证,例9证,证,延拓!,例10证延拓!,证,从而,例11证从而,解,例12解,解,例13解,又,故,从而,即,证,又故从而即例14证,则,又,且,故,即,证,则又且故即例15证,在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？,在拉格朗日,使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的,斜率相等.,注意:,并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.,使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.注意:并不,四.柯西中值定理,设,则至少存在一点,四.柯西中值定理设则至少存在一点,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.,有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值,故 由罗尔中值定理至少存在一点,使得,亦即,证,故 由罗尔中值定理至少存在一点使得亦即证,分析,分析例16,证,例16证,第5讲微分中值定理课件,三个中值定理的关系,图形旋转,参数方程,三个中值定理的关系RolleLagrangeCauchy图形,作业,习题3-1（教材125页）1；2；3；4;5;6;,作业习题3-1（教材125页）,
