第二章逻辑代数基础ppt课件.ppt

第二章 逻辑代数基础,主讲教师：栾庆磊,本章学习内容,第2章,1.逻辑代数的公式和定理,2.逻辑函数的表示方法,3.逻辑函数的化简方法（重点）,第2章 逻辑代数基础,2-2 逻辑代数中的三种基本运算,2-3 逻辑代数中的基本公式和定理,2-4 逻辑函数及其表示方法,返回,第2章,2-5、逻辑函数的化简方法,2-6、具有无关项的逻辑函数及其化简,2-1 概述,前面已讨论，利用二值数字逻辑中的1（逻辑1）和0（逻辑0）不仅可以表示二进制数，还可以表示事物的两种对立的逻辑状态。在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。,11 概述,逻辑代数（又称布尔代数【Boolean Algebra】）,第2章,是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。,回顾“二值数字逻辑”,参与逻辑运算的变量称为逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0 即1。0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。,逻辑变量【Boolean Variable Or Logic Variable】,返回,基本逻辑运算包括：,三种基本逻辑运算：与【AND】、或【OR】、非【NOT】,几种导出逻辑运算：与 或【AND-OR】与 非【NAND】与或非【AND-OR-Invert(AND-OR-I)】异 或【Exclusive-OR(XOR)】同 或【Exclusive-NOR(XNOR)】,第2章,描述这些运算常见的方法有4种：,用语句【Statement】描述；用逻辑表达式【Logical Expression】描述 用真值表【Truth Table】描述 用逻辑符号【Logical Symbol】描述,2-2 逻辑代数中的三种基本运算,灯灭,B断开,A断开,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,B闭合,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,A仍断,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯灭,B断开,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,A闭合,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯灭,A闭合,与运算【AND Operation】,功能表,逻辑表达式：L=A B=AB,真值表,约定：开关A、B断开时为逻辑0，合上时为逻辑1；灯灭时为逻辑0，灯亮时为逻辑1。,逻辑符号,旧法：用 或表示与运算,实现与逻辑的电路称为与门,A,B,L=AB,旧符号,返回,描述：只有条件都具备，结果才发生。（逻辑乘）,灯亮,B闭合,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,断开A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,断开B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,断开A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,合上B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,合上A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,断开B,或运算【OR Operation】,第2章,功能表,逻辑表达式：L=A+B,真值表,逻辑符号,实现或逻辑的电路称为或门,1,A,B,L=AB,旧符号,合上A,返回,描述：只要任一条件具备，结果就会发生。（逻辑加）,合上B,Y,第2章,非运算【NOT Operation】,功能表,真值表,逻辑符号,实现非逻辑的电路称为非门,旧符号,描述：条件具备，结果不发生；条件不具备，结果必发生。（逻辑求反）,与非运算,逻辑表达式：,第2章,真值表：,符号：,4、其他一些常用的逻辑运算都可以由与、或、非组合而成。常用的如下：,旧符号：,或非运算,第2章,逻辑表达式：,真值表：,符号：,与或非运算,逻辑表达式：,第2章,符号：,异或运算,逻辑表达式：,真值表：,第2章,符号：,同或运算,逻辑表达式：,真值表：,符号：,第2章,各种逻辑运算汇总表,返回,23 逻辑代数的基本公式和定理,10,1,0A=0,11,1+A=1,2,1A=A,12,0+A=A,3,AA=A,13,A+A=A,4,14,5,AB=BA,15,A+B=B+A,6,A(BC)=(AB)C,16,A+(B+C)=(A+B)+C,7,A(B+C)=AB+AC,17,A+BC=(A+B)(A+C),8,18,9,19,试证明：A+AB=A,1)列真值表证明,2)利用基本公式证明,A+BC,AB+C,二、推广举例,A B,0 0,0 1,1 0,1 1,A+AB,0+00=0,0+01=0,1+10=1,1+11=1,A,0,0,1,1,A+AB=A(1+B)=A1=A,常用公式的证明与推广,一、证明举例,返回,2-4 逻辑函数及其表示方法,例：某一逻辑电路，对输入两路信号A、B进行比较，,一、真值表表示法,A,B,Y,0 0,0 1,1 0,1 1,0,1,1,0,真值表表示法、,逻辑函数式表示法、,逻辑图表示法、,波形图表示法、,卡诺图表示法等。,试表示其逻辑关系。,A、B相异时，输出为1；相同 时，输出0。,输 入,输出,（状态表表示法）,2-4-1,二、逻辑函数式表示法,(一）最小项,1、二变量的全部最小项,A B,最小项,编号,0 0,0 1,1 0,1 1,A B,m0,m1,m2,m3,2、三变量的全部最小项,A B C,最小项,编号,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,m0,A B C,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,3、四变量的全部最小项,编号为 m0 m15,在 n 变量逻辑函数中，若 m 是包含 n 个因子的乘项积，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在 m 中出现一次，则称m 为该组变量的最小项。,（略）,在真值表中，将为“1”的输出逻辑值所对应的输入变量的最小项相加，即得对应的函数式。,（二）逻辑函数式表示法,Y=,+,已知：,所以：,三、逻辑图表示法,A,B,Y,=,m1,+,m2,=,（m1，m2）,四、波形图表示法,A,B,Y,五、卡诺图表示法,（在本章第五节中讲）,2-4-2 逻辑函数的两种标准形式,最小项之和形式、最大项之积形式。这里，重点介绍最小项之和形式。,一、最小项,标准形式：,（已讲过）,最小项的性质：,2）全体最小项之和为1；,3）任意两个最小项的乘积为0；,1）在输入变量的任何取值下必有一个且仅有一个最小项的值为1；,4）具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子。,例如:,将它们合并，可消去因子:,二变量全部最小项有m0m3共4个；,三变量全部最小项有m0m7共8个；,四变量全部最小项有m0m15共16个；,只有一个因子不同的两个最小项是具有相邻性的最小项。,=BC,二、逻辑函数的最小项之和形式,=AB,=（m0，m2，m3）,例2：Y=AB+C 可化为,=（m 1，m 3，m 5，m 6，m 7）,=m 3,+m 2,+m 0,+,Y=AB,+m 6,+m 7,+m 3,+m 5,+m 1,=m 7,*三.最大项Mi（i取02n-1）定义：在n变量逻辑函数中，若为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在中必须且只能出现一次,则称为该组变量的最大项。输入变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值为Mi的重要特性：在输入变量的任何取值下必须有一个最大项且仅有一个最大项的值为0；全体Mi之积为0；任意两个Mi之和为1；只有一个变量不同的两个Mi的乘积等于各相同变量之和。,【例】写出函数 的最大项之积的标准形式。解:,利用公式A+BC=(A+B)(A+C),利用公式：,利用基本公式 可以把任何逻辑函数化为最大项之积 的标准形式。,也可以写成,或 或,返回,2-5 逻辑函数的化简方法,2-5-1、最简标准,一般来说，同一个逻辑函数可以写成不同的表达式。用基本逻辑门电路去实现某函数时，表达式越简单，需用门电路的个数就越少，因而也就越经济可靠。因此，实现逻辑函数之前，往往要对它进行化简，先求出其最简表达式，再根据最简表达式去实现逻辑函数。最简表达式有很多种，最常用的有最简与或表达式和最简或与表达式。不同类型的逻辑函数表达式，最简的定义也不同。函数的最简与或表达式必须满足的条件有:(1)与项个数最少。(2)与项中变量的个数最少。函数的最简或与表达式必须满足的条件有:(1)或项个数最少。(2)或项中变量的个数最少。,常见的化简方法有公式法和卡诺图法两种。,2-5-2、常用的最简形式,逻辑函数式中，包含的或运算的项最少；每一项中包含与运算的因子最少，则此函数式为最简函数式,有与-或式和与非-与非式。,=AB+C,=AB+C,=,（最简与非-与非式）,将与-或式取两次非可得与非-与非式。,（最简与或式）,二输入四或门74LS32一片（四2输入或门）,只需要：二输入四与非门74LS00一片(四2输入与非门),按与-或式AB+C设计此逻辑电路，,需两块芯片,二输入四与门74LS10一片（四2输入与门）,2-5-3、逻辑函数的公式化简法,常用的公式化简方法：,利用基本公式和常用公式，再配合并项法、吸收法、配项法。,公式化简法（代数法）公式法化简逻辑函数，就是通过利用逻辑函数的基本公式，对函数进行消项、消因子等，以求得函数的最简表达式。常用方法有以下四种。1.并项法 利用公式，将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。,【例】求函数 的最简与或表达式。解:,2、吸收法 利用公式，吸收多余的与项。【例】求函数 的最简与或表达式。解:F=(A+AB+ABC)(A+B+C)=A(A+B+C)=AA+AB+AC=A+AB+AC=A,3.消去法 利用公式，消去与项多余的因子。【例】求函数 的最简与 或表达式。解:,4、配项、消项法 利用公式，进行配项，以消去更多的与项。【例】求函数 的最简与或表达式。解:,【例】求函数 的最简与或表达式。解:,图解化简法（卡诺图化简法）1.用卡诺图化简法求函数的最简与或表达式 卡诺图：将n变量的全部最小项各用一个方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的叫做n变量最小项的卡诺图。（由美国工程师卡诺提出）循环码：相邻两组之间只有一个变量值不同的编码，如00011110。1)卡诺图的相邻性 最小项的相邻性定义:两个最小项，如果只有一个变量的形式不同（在一个最小项中以原变量出现，在另一个最小项中以反变量出现），其余变量的形式都不变，则称这两个最小项是逻辑相邻的。卡诺图的相邻性判别:,2-5-4 逻辑函数的卡诺图化简法,一、卡诺图（n 变量全部最小项的卡诺图）,在卡诺图的两个方格中，如果只有一个变量的取值不同（在一个方格中取1，在另一个方格中取0），其余变量的取值都不变，则这两个方格对应的最小项是逻辑相邻的。在卡诺图中，由于变量取值按循环码排列，使得几何相邻的方格对应的最小项是逻辑相邻的。具体而言，每一方格和上下左右四边紧靠它的方格相邻；最上一行和最下一行对应的方格相邻；最左一列和最右一列对应的方格相邻；对折相重的方格相邻。下图画出了卡诺图中最小项相邻的几种情况。,卡诺图中最小项相邻的几种情况,2)卡诺图化简法的一般规律（1）两个相邻的1方格圈在一起，消去一个变量，如图所示。两个相邻的1方格对应的两个最小项中只有一个变量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下不变的因子。例如，在图（a）中，两个相邻的1方格对应的两个最小项为班 和，在这两个最小项中只有变量C的形式不同。因为，结果将变量C消去了，剩下两个不变的因子 和。将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项。,2)卡诺图化简法的一般规律（1）两个相邻的1方格圈在一起，消去一个变量，如图所示。两个相邻的1方格对应的两个最小项中只有一个变量的形式不同，将它们相或时可以消去该变量，只剩下不变的因子。例如，在图（a）中，两个相邻的1方格对应的两个最小项为班 和，在这两个最小项中只有变量C的形式不同。因为，结果将变量C消去了，剩下两个不变的因子 和。将这两个方格圈在一起得到一个简化的与项。,两个相邻最小项的合并,（2）四个相邻的1方格圈在一起，消去两个变量，如图所示。四个相邻的1方格对应的四个最小项中有两个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这两个变量，只剩下不变的因子。例如，在图（e）中，四个相邻的1方格对应的四个最小项分别为，在这四个最小项中，A和C两个变量的形式变化过。,四个相邻最小项的合并,（3）八个相邻的1方格圈在一起，消去 三个变量，如图所示。八个相邻的1方格对应的八个最小项中，有三个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这三个变量，只剩下不变的因子。,八个相邻最小项的合并,（4）2n个相邻的1方格圈在一起，消去n个变量。2n个相邻的1方格对应的2n个最小项中，有n个变量的形式变化过，将它们相或时可以消去这n个变量，只剩下不变的因子。（5）如果卡诺图中所有的方格都为1，将它们圈在一起，结果为1。如果卡诺图中所有的方格都为1，将它们圈在一起，等于将变量的所有不同最小项相或，因此结果为1。这种情形表示在变量的任何取值下，函数值恒为1。,3)卡诺图化简法的步骤和原则 用卡诺图化简逻辑函数时，一般先画出函数的卡诺图，然后将卡诺图中的1方格按逻辑相邻特性进行分组划圈。每个圈得到一个简化的与项，与项中只包含在圈中取值没有变化过的变量，值为1的以原变量出现，值为0的以反变量出现。再将所得各个与项相或，即得到该函数的最简与或表达式。,用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的一般步骤如下:（1）画出函数的卡诺图。（2）对相邻最小项进行分组合并。（3）写出最简与或表达式。用卡诺图化简法求函数最简与或表达式的原则如下:（1）每个值为1的方格至少被圈一次。当某个方格被圈多于一次时，相当于对这个最小项使用同一律A+A=A，并不改变函数的值。,（2）每个圈中至少有一个1方格是其余所有圈中不包含的。如果一个圈中的任何一个1方格都出现在别的圈中，则这个圈就是多余的。（3）任一圈中都不能包含取值为0的方格。（4）圈的个数越少越好。圈的个数越少，得到的与项就越少。（5）圈越大越好。圈越大，消去的变量越多，所得与项包含的因子就越少。每个圈中包含的1方格的个数必须是2的整数次方。,1、一变量全部最小项的卡诺图,一变量Y=F（A），,Y,A,0,1,A,Y,A,0,1,m0,m1,全部最小项：,A，,卡诺图：,A,B,Y,0,1,0,1,m0,m1,m2,m3,Y,AB,00,01,11,10,A B,00,01,11,10,m0,m1,m3,m2,Y,A,BC,0,1,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,2、二变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B）,Y,AB,C,00,01,11,10,0,1,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,3、三变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B、C）,Y,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,m0,m1,m4,m5,m3,m2,m7,m6,m12,m13,m8,m9,m15,m14,m11,m10,Y,ABC,D,000,001,011,010,100,101,111,110,0,1,m0,m1,m3,m2,m4,m5,m7,m6,m8,m9,m11,m10,m12,m13,m15,m14,4、四变量全部最小项的卡诺图,Y=F（A、B、C、D）,注意：,左右、上下；,在卡诺图中，,每一行的首尾；,每一列的首尾；,的最小项都是逻辑相邻的。,卡诺图：,1,1,1,1,1,1,0,0,二、用卡诺图表示逻辑函数,1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。,2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1，其余方格中填 0。,方法一：,解：,根据函数式直接填卡诺图,方法二：,1,1,1,1,1,0,0,1,1,例：,用卡诺图表示之。,1,1-7-2 逻辑函数的卡诺图化简法,化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。,化简规则：能够合并在一起的最小项是2 n 个,如何最简：圈的数目越少越简；圈内的最小项越多越简。,特别注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，不能合并的 1 必须单独画 圈。,Y1=,+,+,A,C,Y1=,+,A,+,B,例1：,（画矩形圈）。,上两式的内容不相同，但函数值一定相同。此例说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一,Y2=,例2：将Y2=(m0 m2 m4 m6 m8 m15)化简为最简与或式。,Y2,Y2,此例说明，为了使化简结果最简，可以重复利用最小项。,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,例3：用圈 0 法化简Y2。,解：若卡诺图中1的数目远远大于0的数目，可用圈 0 的方法。,A,+,1-8 具有无关项的逻辑函数的化简,1-8-1 无关项,在实际的数字系统中，会出现这样一种情况：函数式中没有包含的某些最小项，写入或不写入函数式,都不影响原函数的值,不影响原函数表示的逻辑功能，这样的最小项叫“无关项”。,无关项由“约束项”和“任意项”形成，这里只介绍由约束项形成的无关项.,例:,一个计算机操作码形成电路，,当ABC=000 时，输出停机码00；,当只有A=1时，输出加法操作码01；,当只有B=1时，输出减法操作码10；,当只有C=1时，输出乘法操作码11；,其它输入状态不允许出现，试画电路的逻辑图。,有三个输入端A B C，有两个输出端Y1、Y0；,1、列真值表,1 1,1 0,0 1,X X,X X,X X,X X,0 0,（m 3，m 5，m 6，m 7，）=0,A B C,Y1 Y0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,2、约束项(无关项)的表示,当限制某些输入变量的取值不能出现时，可以用它们对应的最 小项恒等于0来表示。,本例的约束项为,或：,或：,ABC=0,3、写逻辑函数式,Y1=m1+m2,Y0=m1+m4,约束项：m 3+m 5+m 6+m 7=0,无关项在卡诺图对应的方格中用 X 表示，为了化简逻辑函数,能利用到的 X 便认为是1，利用不到的就认为是0。,1、利用无关项化简上例逻辑函数,Y1=B+C,Y0=A+C,1-8-2 利用无关项化简逻辑函数,0,X,X,0,1,X,X,1,1,X,X,0,X,X,1,0,已知,2、画逻辑图,利用无关项化简的逻辑函数是否符合原功能要求,?,Y1=B+C,Y0=A+C,0,0,1,1,1,0,x,x,0,1,x,x,x,x,x,x,A B C,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,A,B,Y1,Y0,C,验 算,3.逻辑函数化简的目的是为了获得最简的逻辑函数式,从而简化逻辑电路,降低成本,提高电路可靠性.逻辑函数的化简方法有两种；代数化简法和卡诺图化简法。代数化简法需要一定技巧，并对公式和定律非常熟悉。卡诺图化简法直观、筒便，对四变量以下的逻辑函数可较快地得到最简表达式，要重点学握。具有无关项函数的化简在实际使用时经常遇到，应充分利用具特点将函数化的更简单。,作业：1.1,1.2,1.3,作业：1.15 1.16的(1),(2),