第二章线性系统的数学模型ppt课件.ppt

第二章 线性系统的数学模型,内 容 提 要,实际存在的自动控制系统可以是电气的、机械的、热力的、化工的，甚至是生物学的、经济学的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同。本章介绍了系统的各类数学模型如微分方程，传递函数，方框图，信号流图的求取以及它们之间的相互关系。最后介绍用MATLAB求取系统的数学模型。,知 识 要 点,线性系统的数学模型，拉普拉斯变换，传递函数的定义，非线性特性的线性化处理，方框图的简化，梅逊公式的含义和应用。,描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。,描述控制系统的输入输出变量数学模型:,微分方程、传递函数、方框图、频率特性,描述控制系统的内部变量数学模型：,状态空间,建立合理的数学模型，对于系统的分析研究是至关重要的。系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。,说明,要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统的数学模型；,一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不同，得到的数学模型也不同。,21 微分方程,主 要 内 容,22 传递函数,23 典型环节的传递函数及动态响应,24 方框图,25 反馈控制系统的传递函数,26 状态空间,21 微分方程,对于线性定常系统,可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如,a 0dnc(t)/dtn+a1dn-1c(t)/dtn-1+anc(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+bmr(t),c(t):系统的输出；r(t):系统的输入；a0an;b0bm 均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且n为系统的阶数，nm。,建立微分方程的一般步骤,(1)根据要求，确定输入量和输出量；,(2)根据各变量间的物理关系，增设中间变量，围绕输入量、输出量及中间量，列微分方程组。,(3)消去中间变量，整理出只含有输入量和输出变量及其各阶导数的微分方程；,(4)标准化，将输出量及其各阶导数放在等号左边，将输入量及其各阶导数放在等号右边，各阶导数项按阶次由高到低排列。,电气系统,电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器等元件组成的电路，又称电气网络。,无源网络：由无源元件组成的电气网络。不含电源的器件：R、L、C等。,有源网络：包含有源元件的电气网络。含电源的器件：运算放大器。,电气系统,列写电气网络的微分方程要用到以下规律：,KCL电流定律：,KVL电压定律：,元件的伏安关系：,理想运算放大器：虚短、虚断,例2.1 如图RLC电路，建立输入ui(t)和输出uo(t)的微分方程模型。,ui(t),uo(t),R,L,C,i(t),解 根据基尔霍夫定律和元件电流与电压的关系：,整理后：,二阶线性常系数微分方程，对应二阶线性定常系统。,上式也可以写成：,令：,例2.2 由理想运算放大器组成的电路如下，建立输入ui(t)和输出uo(t)的微分方程模型。,理想运放正、反相输入端的电流为0，电位相同。,整理得：,或,式中：TRC 称为时间常数。,一阶线性常系数微分方程，对应一阶线性定常系统。,例2.3 直流它励电动机，电枢输入电压ua(t)，电动机输出转速为n(t)。Ra，La，ia(t)分别为电枢电路的电阻、电感和电流；if为恒定励磁电流；ea(t)为电枢反电动势。,ua(t),Ra,La,M,if,ia(t),ea(t),Te(t),TL(t),解：电枢电路电压平衡方程,ua(t),Ra,La,M,if,ia(t),ea(t),Te(t),TL(t),式中：,Ce 电动势常数,（2-1）,（2-2）,M,if,ia(t),ea(t),Te(t),TL(t),转矩平衡方程,f 电枢及负载折算到电机轴上的粘性摩擦系数。J 电枢及负载折算到电机轴上的转动惯量。,空载转矩,Ra,La,电机在加速或减速时的转矩。,负载转矩,ua(t),若忽略摩擦系数（f0），则,又,，Cm电动机转矩常数。,负载转矩折算成电磁转矩的形式。,（2-3）,将式(2-2)、(2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间变量得：,令：（机电时间常数）,（2-2）,（2-1）,（2-3）,令：（机电时间常数）,（电磁时间常数）,负载扰动,输入,输出,22 传递函数,一.定义,对于线性定常系统,我们可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如,a 0dnc(t)/dtn+a1dn-1c(t)/dtn-1+anc(t)=b0dmr(t)/dtm+b1dm-1r(t)/dtm-1+bmr(t),c(t):系统的输出；r(t):系统的输入；a0an;b0bm 均为实数，均由系统本身的结构参数所决定的，且nm。,（2-4）,a 0dnxo(t)/dtn+a1dn-1xo(t)/dtn-1+anxo(t)=b0dmxi(t)/dtm+b1dm-1xi(t)/dtm-1+bmxi(t),令xo(t)和xi(t)及其各阶导数在t=0时的值为零,（a0Sn+a1Sn-1+an-1S+an)Xo(S)=(b0Sm+b1Sm-1+bm-1S+bm)Xi(S),经过整理得：,（2-5）,两端拉氏变换得到以复变量S为自变量的代数方程：,传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函数的拉氏变换之比为系统的传递函数。,(1)Xo(S)=G(S)Xi(S)，信号传递的性质。用方框图表示：,Xi(S),G(S),Xo(S),（2-5）,传递函数有如下性质：,传递函数的性质,（2）G(S)是零初始条件下输出和输入拉氏变换之比。把以时间变量X(t)表示的输出输入间的微分方程，变换为以复变量X(S)表示以S为变量的代数方程后，表示成S多项式之比。,（3）传递函数由系统本身的结构和参数决定，与系统的输入、输出无关。,（4）由于拉氏变换只是线性定常微分方程的数学变换，故传递函数仅为线性定常系统的数学模型。,二.传递函数的零点和极点将式(2-5)的分子、分母多项式分解为一阶因子，得到：,式中：K为比例系数;z1zm称为传递函数的零点;p1pn称为传递函数的极点。,（2-5）,（2-6）,零点和极点是在复数平面上的点，因此可以是实数（在实轴上），也可以是复数，如为复数必为共轭出现。例：,以零极形式表示，并在复平面上标出。,S1、S2=-2 j3 为一对共轭复数极点。,解：G(S)的零极形式为：,建立例2-1的传递函数数学模型，对微分方程两端取拉氏变换并定义零初值（今后求传递函数概包含零初值条件）：,例题回顾,(LCS2+RCS+1)U2(S)=U1(S),例21,G(S)=U2(S)/U1(S)=,可以用方框图表示：,以求出例2-3的电机系统电枢电压与转速间的传递函数。要求以变量传递方式逐步推导，再以方框图形式连接。,例题回顾,例23,1.由式(2-1)可得电流和输入电压间的传递函数：,(LaS+Ra)Ia(S)=Ua(S)-Ea(S),(LaS+Ra)Ia(S)=Ua(S)-Ea(S),上式可以用方框图（1）表示：,2.由式(2-2)可得传递函数：,Ea(s)=CeN(S)画方框图（2）,（2-2）,Ea(s)=CeN(S)画方框图（2）,N(S),Ce,Ea(S),3.由式(2-3)可得传递函数：,（2-3）,画方框图（3）,将方框图（1）、（2）、（3）按变量关系连接，得到系统传递函数方框图,Ua(S),Ia(S),1/Ra,TiS+1,Ea(S),N(S),Ce,Ea(S),Ra/Ce,TmS,IL(S),Ia(S),N(S),1/Ra,TiS+1,Ua(S),Ea(S),Ce,Ia(S),IL(S),Ra/Ce,TmS,N(S),23 典型环节的传递函数及动态响应,系统由环节构成，典型环节有：一.比例环节 实际上是一个增益可调的放大器 X0(t)=KXi(t)传递函数 X0(S)/Xi(S)=K（2-7）,Ui(S),U0(S),K,K=R2/R1+R2,K=-R1/R0,二.惯性环节,惯性环节具有一个储能元件，如：,Ldi(t)/dt+Ri(t)=ui(t),R0(C*du0/dt+u0/R1)=ui,(T=L/R),(T=R1C),从上述两例，惯性环节的典型传递函数是：,（2-8）,比例系数,（2-8）,如果输入Xi(t)=1(t)为单位阶跃函数,Xi(S)=1/S，则输出：,求拉氏反变换得：,令K=1，作出惯性环节在单位阶跃信号作用下的响应曲线:,T,三.积分环节,从上述两例，积分环节的典型传递函数是：,设积分环节有单位阶跃输入Xi(S)=1/S:,T,四.微分环节,u(t)=Ldi/dtU(S)=LSI(S),u0(t)=-RCdui/dtU0(S)=RCS Ui(S),从上述两例，理想微分环节的典型传递函数是：,设微分环节有单位阶跃输入Xi(S)=1/S:,理想的纯微分环节是不存在的，可用RC电路构成实际的微分电路。,当Xi(S)=1/S时：,（T=RC),五.一阶微分环节,当Ui(S)=1/S Io(S)=K/S+C io(t)=K+C(t),六.振荡环节,，,令：,式（2-9）写成如下形式：,当Xi(S)=1/S时xo(t)的响应曲线：,（时间常数）,（阻尼比）,（2-9）,（无阻尼自然振荡频率）,（2-10）,x0(t)=xi(t)1(t),七.时滞环节（延迟环节）：输出为输入信号的延迟。,（惯性环节）,当Xi(S)=1/S时xo(t)的响应曲线：,八.RC无源网络,可不用经微分方程导出，利用复阻抗的定义：电阻、电容、电感的复阻抗是R、1/CS和LS。则网络的传递函数可以用下述规则得出：,网络输出电压与输入电压间的传递函数在电流相等的条件下，为输出复阻抗与输入复阻抗之比：,如果输出和输入阻抗的电流不等，可以设置中间变量的方法求出传递函数：,设中间变量为u1则：,RC有源网络的传递函数等于输出复阻抗与输入复阻抗之比即：G(S)=-Z0/Zi。图示一RC有源网络：,九.RC有源网络,Zi=R1，Z0=R2+1/CS,PI（比例积分）调节器,PI（比例积分）调节器的单位阶跃响应：,控制系统中的调节器有：,24 方框图,一.方框图,系统由典型环节组成，将各个环节的传递函数的框图组合起来，就构成系统的传递函数的框图。,例题回顾,构成方框图的基本符号有四种：,1.信号线：,箭头表示信号传递的方向，线上表明所对应的变量。,2.比较点：,两个信号的代数和，相加减的信号应具有相同的量纲。,3.方框图单元：,4.引出点：,只是传送信号，并不提取能量，不是求和！,二.环节间的连接,1.串联,2.并联,3.反馈,正反馈,负反馈,Xi(S),X0(S),G(S),H(S),B(S),E(S),注意,传递函数中：负反馈取正反馈取,Xi(S),X0(S),G(S),H(S),B(S),E(S),(S)也称作自动控制系统的闭环传递函数,定义,开环传递函数,前向通道传递函数,R(S),C(S),-,-,R(S),C(S),-,三.方框图的变换和简化,等效原则：变换前、后输入输出总的数学关系式应 保持不变。,Page 32 表21,1.引出点前移,X0(S)Xi(S)G(S),2.引出点后移,X0(S)Xi(S)G(S),3.比较点前移,X0(S)Xi1(S)G(S)Xi2(S),4.比较点后移,X0(S)Xi1(S)Xi2(S)G(S),5.比较点交换、合并,Page32 例2-7化简图(a)所示系统方框图，并求系统传递函数,图2-37(a)是一个交错反馈多路系统，采用引出点后移或前移，比较点前移等，逐步变换简化，可求得系统的闭环传递函数为,Page33 例28 试化简如图2-37(a)所示系统的方框图，并求闭环传递函数。,图2-37 方框图的变换与简化,26 反馈控制系统的传递函数,反馈控制系统的典型结构如图：,一.闭环系统的开环传递函数：G(S)=G1(S)G2(S)H(S),二.系统的闭环传递函数,1.输出对输入的传递函数,令N(S)0,（2-11）,2.输出对扰动的传递函数,G1(S),G2(S),Xi(S),X0(S),E(S),B(S),H(S),+,D(S),令Xi(S)0,G1(S),G2(S),X0(S),H(S),D(S),（2-12）,对于输出应为输入、扰动作用的叠加,（2-13）,三.系统的偏差传递函数,1.偏差对输入的传递函数,令D(S)0,G2(S),H(S),Xi(S),E(S),G1(S),（2-14）,2.偏差对扰动的传递函数,令Xi(S)0,（2-15）,由输入和扰动引起的误差：,（2-16）,说明,(1)由式(2-11)、(2-12)、(2-14)、(2-15)可见，各传递函数的分母均为1G(S)。,1G1(S)G2(S)H(S)0,即,特征根极点,定义,反馈控制系统的闭环特征方程及极点与外作用信号的形式无关，也与输出信号引出点的位置无关。,(2)由式(2-11)、(2-12)、(2-14)、(2-15)可见，各传递函数的分子不同。,对于同一系统，输入、输出位置不同，闭环传递函数就会有不同的零点。,26 状态空间,一.状态空间的有关概念,1.系统的状态 系统时域行为或运动信息的集合，即系统的状况，称为系统的状态。例如，直线运动中的位置、速度是其运动状态；电路网络中的回路电流、节点电压是其运动状态。,2.状态变量,能完全确定（或代表）系统状态的一最小内部变量组 x1(t)、x2(t)，xn(t)，称为系统的状态变量，即,(1)t时刻的状态变量值x1(t)、x2(t)，xn(t)，由t0（t）时刻的起始变量x1(t0)、x2(t0)，xn(t0)和由t0到t时刻的输入变量u1t0,t，u2t0,t，umt0,t所唯一确定。,(2)t时刻系统的输出由该时刻的状态变量值和输入值所唯一确定。,3.状态向量,由状态变量 x1(t)、x2(t)，xn(t)构成的列向量,，tt0,称为系统的状态向量，简称状态。,4.状态空间,状态向量 x(t)所有可能值的集合，或以状态变量x1(t)、x2(t)，xn(t)为坐标轴所形成的n维空间，称为系统的状态空间。,对于某一确定时刻t0，状态x(t0)为状态空间中的一个点。而tt0 时刻的状态构成了状态空间中的一条轨线（状态轨线）。,5.状态方程,描述系统的状态变量与其输入之间关系的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。,定义,线性定常系统的状态空间模型：,x 状态向量；xRn x 状态向量对于时间的微分；y 输出向量；yRp u 输入或控制向量；uRm A(nn)、B(nm)、C(pn)、D(pm)系数矩阵，简记为(A,B,C,D)，由于Du是直接输出项，与状态方程无关，并且对一般的工程系统，D0，故通常讨论(A,B,C)系统。,.,（2-16）,（2-17）,二.,定义,线性定常系统的状态空间模型：,状态方程，包含状态变量，可求解出状态变量。,输出方程，用于计算系统的任何其它变量。,状态空间模型能完全描述一个系统在tt0 时所有的变量。,三.状态方程的建立,状态变量的选择应满足：能够表征电路的全部特征 各变量独立 数量最少,主要介绍由电路图求状态方程,通常选择独立的电感电流iL(t)和电容电压uC(t)做为状态变量。,例24,图示电路，,ui(t),C,R,u0(t),L,ui(t)为系统输入，uo(t)为系统,输出。试列写出其状态方程和输出方程。,uC(t),uC(t)x1，iL(t)x2,选uC(t)、iL(t)作为系统的状态变量，即,ui(t),C,R,u0(t),L,iL(t),uC(t),利用元件伏安关系及电路KVL定律得：,由上述方程得出状态变量uC(t)、iL(t)的导数项：,状态变量方程规范形式,表、,将上述方程组表示为向量方程，得此电路的状态方程：,输出方程：,状态方程：,还可以：,总结由电路图求状态方程的一般步骤,(1)选uC(t)、iL(t)作为系统的状态变量;,(2)对每个独立电容所连接的节点列KCL方程，尽量用uC(t)、iL(t)及、表示；,(3)对每个独立电感所在回路列KVL方程，尽量用uC(t)、iL(t)及、表示；,(4)消去非状态变量，把每个方程整理成规范形式。,(5)得到向量形式的状态方程。,例25,试列写出图示电路的状态方程。,uS,iS,解,选uC1(t)、uC2(t)、iL(t)作为系统的状态变量,a,b,节点a：,节点b：,回路：,故电路的状态方程,27 利用MATLAB处理系统数学模型,一.传递函数模型,设系统的传递函数如下,多项式之比,MATLAB,例26,num=1,5,20,40,60,0;den=1,5,9,13,12,0,0;G=tf(num,den),Transfer function:s5+5 s4+20 s3+40 s2+60 s-s6+5 s5+9 s4+13 s3+12 s2,设系统的传递函数如下(零极点增益模型),MATLAB,z=z1,z2,zm;p=p1,p2,pn;k=k;sys=zpk(z,p,k),%系统零点,%系统极点,%系统增益,二.零极点增益模型,例27,z=1,2;p=2j,2j,3;k=1;sys=zpk z,p,k,例28,多项式之积,多项式之积可以用其系数序列的卷积来计算。,MATLAB,conv()函数,conv(1,310,20,3),例29,num=conv(1,1,conv(1,2,6,1,2,6);den=conv(1,0,0,conv(1,3,1,2,3,4);G=tf(num,den),嵌套,三.传递函数的特征根及零极点图,多项式求根函数：roots(p)其中p为多项式,MATLAB,例如，多项式 p(s)=s3+3s2+4求根。,p=1,3,0,4;p(s)=s3+3s2+4 r=roots(p)p(s)=0的根,由多项式的根求其降幂排列的各项系数：poly(),r=-3.3533,0.1777+1.0773j,0.17771.0773j;poly(r),求多项式在给定变量时的值：polyval(p,a)式中p为多项式；a为给定变量值,例如，求n(s)=(3s2+2s1)(s+4)在s5时的值。,n=conv(3,2,1,1,4);value=polyval(n,-5),求传递函数在复平面上的零、极点图：p,z=pzmap(num,den),例210(page43)，传递函数,用MATLAB求出G(s)的零极点、H(s)的多项式形式，及G(s)H(s)的零、极点图。,numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg),numg=6,0,1;deng=1,3,3,1;z=roots(numg)p=roots(deng)numh=conv(1,1,1,2);denh=conv(1,2j,conv(1,-2j,1,3);printsys(numh,denh)num=conv(numg,numh);den=conv(deng,denh);printsys(num,den)pzmap(num,den)title(pole-zero MAP),四.状态空间,MATLAB,函数 ss()，调用格式为：,sysss(a,b,c,d),输入参量a,b,c,d分别对应于A,B,C,D系数矩阵。若已知状态模型，系数矩阵可通过 sys.a、sys.b、sys.c、sys.d。,五.三种数学模型之间的转换,传递函数模型,零极点增益模型,状态空间模型,tf(num,den),zpk(z,p,k),ss(a,b,c,d),1.转换为传递函数模型,(1)已知：sys1zpk(z,p,k），则sys2=tf(sys1),或 num,den=zp2tf(z,p,k),(2)已知：sys1ss(a,b,c,d)，则sys2=tf(sys1),或 num,den=ss2tf(a,b,c,d,iu),%SISO iu=1,2.转换为零极点增益模型,(1)已知：sys1tf(num,den)，则sys2=zpk(sys1),或 z,p,k=tf2zp(num,den),(2)已知：sys1ss(a,b,c,d)，则sys2=zpk(sys1),或 z,p,k=ss2zp(a,b,c,d,iu),3.转换为状态空间模型,(1)已知：sys1tf(num,den)，则sys2=ss(sys1),或 a,b,c,d=tf2ss(num,den),(2)已知：sys1zpk(z,p,k），则sys2=ss(sys1),或 a,b,c,d=zp2ss(z,p,k),六.环节方框图模型的化简,1.串联,2.并联,3.反馈,单位反馈系统：,num,den=cloop(num1,den1,sign),小 结,本章要求学生熟练掌握系统数学模型的建立和拉氏变换方法。对于线性定常系统，能够列写其微分方程，会求传递函数，会画方框图和信号流图，并掌握方框图的变换及化简方法。,1.数学模型是描述元件或系统动态特性的数学表达式，是对系统进行理论分析研究的主要依据。用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。,2.实际系统均不同程度地存在非线性，但许多系统在一定条件下可近似为线性系统，故我们尽量对所研究的系统进行线性化处理(如增量化法)，然后用线性理论进行分析。但应注意，不是任何非线性特性均可进行线性化处理。,3.传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的拉普拉斯变换之比。,4.根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能较方便地建立系统的数学模型。,5.方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号流图的应用更为广泛。,6利用MATLAB来进行多项式运算，传递函数零点和极点的计算，闭环传递函数的求取，方框图模型的化简等。,