第8章梁的位移分析与刚度设计ppt课件.pptx
工程力学工程静力学与材料力学,马志涛,大连大学建筑工程学院,第8章 梁的位移分析与刚度设计,第8章 梁的位移分析与刚度设计,上一章中已经提到，如果忽略剪力的影响，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线，梁的横截面变形后依然保持平面，且仍与梁变形后的轴线垂直。由于发生弯曲变形，梁横截面的位置发生改变，这种改变称为位移。位移是各部分变形累加的结果。位移与变形有着密切联系，但又有严格区别。有变形不一定处处有位移；有位移也不一定有变形。这是因为，杆件横截面的位移不仅与变形有关，而且还与杆件所受的约束有关。,第8章 梁的位移分析与刚度设计,在数学上，确定杆件横截面位移的过程主要是积分运算，积分限或积分常数则与约束条件和连续条件有关。若材料的应力一应变关系满足胡克定律，又在弹性范围内加载，则位移与力（均为广义的）之间均存在线性关系。因此，不同的力在同一处引起的同一种位移可以相互叠加。本章将在分析变形与位移关系的基础上，建立确定梁位移的小挠度微分方程及其积分的概念，重点介绍工程上应用的叠加法以及梁的刚度设计准则。,大连大学,4,第8章 梁的位移分析与刚度设计,8.1 基本概念8.2 小挠度微分方程及其积分8.3 工程中的叠加法8.4 简单的超静定梁8.5 梁的刚度设计8.6 结论与讨论,8.1 基本概念,大连大学,6,8.1 基本概念,8.1.1 梁弯曲后的挠度曲线8.1.2 梁的挠度与转角8.1.3 梁的位移与约束密切相关8.1.4 梁的位移分析的工程意义,大连大学,7,8.1 基本概念8.1.1 梁弯曲后的挠度曲线,大连大学,8,8.1 基本概念,梁在弯矩（My或Mz）作用下发生弯曲变形，为便于叙述，只讨论一个方向弯矩作用的情形，略去下标，只用M表示弯矩。如果在弹性范围内加载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑曲线称为弹性曲线（elastic curve），或挠度曲线（deflection curve），简称弹性线或挠曲线。,大连大学,9,8.1 基本概念,根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：,大连大学,10,式中，、M都是横截面位置x的函数,8.1 基本概念8.1.2 梁的挠度与转角,大连大学,11,8.1.2 梁的挠度与转角,梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的垂直于变形前梁的轴线方向的线位移，称为挠度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope）用表示；横截面形心沿变形性前梁的轴线方向的线位移，称为轴向位移或水平位移（horizontal displacement），用u表示。在小变形情形下，上述位移中，水平位移u与挠度w相比为高阶小量，故通常不予考虑。,大连大学,12,8.1.2 梁的挠度与转角,在Oxw坐标系中，挠曲线上任意一点处的切线斜率：,大连大学,13,在小变形条件下，挠曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有,式中ww(x)，称为挠度方程（deflection equation）。,8.1 基本概念8.1.3 梁的位移与约束密切相关,大连大学,14,8.1.3 梁的位移与约束密切相关,大连大学,15,三种承受弯曲的梁,AB段各横截面都受有相同的弯矩（MFa）作用。,三种情形下，AB段梁的曲率（1）处处对应相等，因而挠度曲线具有相同的形状。但是，在三种情形下，由于约束的不同，梁的位移则不完全相同。,对于没有约束的梁，因为其在空间的位置不确定，故无从确定其位移。,对于中间部分两端分别为一对力偶,8.1 基本概念8.1.4 梁的位移分析的工程意义,大连大学,16,8.1.4 梁的位移分析的工程意义,位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性的。尽管如此，工程设计中，对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发生刚度失效。,大连大学,17,机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时(图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这不仅会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作；而且还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声；此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。,8.1.4 梁的位移分析的工程意义,工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的板簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，板簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，受到抗振和抗冲击的效果。,大连大学,18,8.2 小挠度微分方程及其积分,大连大学,19,8.2 小挠度微分方程及其积分,8.2.1 小挠度曲线微分方程8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件,大连大学,20,8.2 小挠度微分方程及其积分8.2.1 小挠度曲线微分方程,大连大学,21,8.2.1 小挠度曲线微分方程,大连大学,22,此式即为确定梁的挠度和转角的微分方程，称为小挠度微分方程（diiferential equation for small deflection），式中的正负号与w坐标的取向有关。,8.2.1 小挠度曲线微分方程,大连大学,23,x,w,O,x,w,O,剪力对梁的位移是有影响的，但对于细长梁，这种影响很小，可以忽略不计。,8.2.1 小挠度曲线微分方程,对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分，得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：,大连大学,24,其中C、D为积分常数。,8.2 小挠度微分方程及其积分8.2.2 积分常数的确定约束条件与连续条件,大连大学,25,8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件,积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，0。连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处（w二阶导数不连续，但转角对应的w一阶导数连续，至于挠曲线就是光滑的了），两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，12等等。上述方法称为积分法（integration method）。,大连大学,26,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,大连大学,27,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,解：1.确定梁约束力应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。,大连大学,28,2.分段建立梁的弯矩方程,因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。在图示坐标系中，为确定梁在0l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,2.分段建立梁的弯矩方程AB和BC两段的弯矩方程分别为,大连大学,29,AB段,BC段,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,3.将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,大连大学,30,积分后，得,其中，C1、D1为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,3.将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,大连大学,31,积分后，得,其中，C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,在支座A、C两处挠度应为零，即x0，w10;xl，w20因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等：xl/4，w1w2;xl/4，1=2代入到积分式得到：,大连大学,32,4.利用约束条件和连续条件确定积分常数,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,5.确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后，得到梁的转角和挠度方程为：,大连大学,33,AB段,BC段,8.2.2 例题8-1 承受集中载荷的简支梁挠度和转角,5.确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,大连大学,34,8.2.2 积分常数的确定 约束条件与连续条件,积分法小结确定约束力，判断是否需要分段以及分几段；分段写出弯矩方程；分段建立挠度微分方程；微分方程的积分；利用约束条件和连续条件确定积分常数；确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角。,大连大学,35,8.3 工程中的叠加法,大连大学,36,8.3 工程中的叠加法,在很多的工程计算手册中，已将各种支承条件下的静定梁，在各种典型载荷作用下的挠度和转角表达式一一列出，简称为挠度表（表8-1 P154）。基于杆件变形后其轴线为一光滑连续曲线和位移是杆件变形累加的结果这两个重要概念，以及在小变形条件下的力的独立作用原理，采用叠加法（superposition method）由现有的挠度表可以得到在很多复杂情形下梁的位移。,大连大学,37,8.3 工程中的叠加法,8.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形8.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,大连大学,38,8.3 工程中的叠加法8.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,大连大学,39,8.3.1 叠加法应用于多个载荷作用的情形,当梁上受有几种不同的载荷作用时，都可以将其分解为各种载荷单独作用的情形，由挠度表查得这些情形下的挠度和转角，再将所得结果叠加后，便得到几种载荷同时作用的结果。,大连大学,40,8.3.1 例题8-2 承受多种载荷的简支梁挠度和转角,大连大学,41,已知：简支梁同时受到均布载荷q、集中力ql和集中力偶ql2,如图所示，梁的抗弯刚度为EI。,求：C截面的挠度wC；B截面的转角B,8.3.1 例题8-2,解：1.将梁上的载荷变为3种简单的情形,大连大学,42,8.3.1 例题8-2,2.由挠度表查得3种情形下梁中点的挠度和支撑处B的转角。,大连大学,43,表8-1 5,表8-1 4,表8-1 6,8.3.1 例题8-2 承受多种载荷的简支梁挠度和转角,3.应用叠加法，将简单载荷作用时的结果分别叠加 将上述结果按代数值相加，分别得到梁C截面的挠度和支座B处的转角:,大连大学,44,8.3.1 例题8-3 铝制板条的夹持力,已知：两片矩形（bh）截面铝制板条，在中点处夹持一直径为d的刚性、光滑圆柱体。b=20mm，h=5mm，d=50mm，E=70GPa。求：铝片端部夹持力,大连大学,45,F,F,F,F,d,500,500,500,8.3.1 例题8-3 铝制板条的夹持力,解：因为圆柱体为刚性，且结构荷载对称，因此在夹持处的挠度和转角都等于零。这样，圆柱体右侧上部的铝片可以看做在夹持处固定、自由端处承受夹持力的悬臂梁。此时，自由端的挠度等于刚性圆柱体直径的一半，即,大连大学,46,F,w,8.3.1 例题8-3 铝制板条的夹持力,根据端部承受集中力的悬臂梁自由端的挠度公式（表8-1 1）,大连大学,47,得到：,8.3 工程中的叠加法8.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,大连大学,48,8.3.2 叠加法应用于间断性分布载荷作用的情形,对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。,大连大学,49,8.3.2 例题8-4 将载荷分解求解悬臂梁的挠度和转角,大连大学,50,已知：一悬臂梁抗弯刚度为EI，梁承受间断性分布载荷。,求：自由端的挠度和转角,8.3.2 例题8-4 将载荷分解求解悬臂梁的挠度和转角,解：1.将梁上的载荷变成有表可查的情形为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,大连大学,51,8.3.2 例题8-4 将载荷分解求解悬臂梁的挠度和转角,2.将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起挠度和转角分别画出这两种情形下的挠度曲线大致形状。,大连大学,52,8.3.2 例题8-4 将载荷分解求解悬臂梁的挠度和转角,由挠度表中关于承受均布载荷悬臂梁的计算结果。两种情形下自由端的挠度和转角分别为,大连大学,53,8.3.2 例题8-4 将载荷分解求解悬臂梁的挠度和转角,3.将简单载荷作用的结果叠加,大连大学,54,8.4 简单的超静定梁,大连大学,55,8.4 简单的超静定梁,8.4.1 求解超静定梁的基本方法8.4.2 几种简单的超静定问题示例,大连大学,56,8.4 简单的超静定梁8.4.1 求解超静定梁的基本方法,大连大学,57,8.4.1 求解超静定梁的基本方法,求解超静定梁，除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程（compatibility equation），并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程（constitutive equations）。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。要判断静不定的次数，也就是确定有几个多余约束。选择合适的多余约束，将其除去，使静不定梁变成静定梁，在解除约束处代之以多余约束力。将解除约束后的梁与原来的静不定梁相比较，多余约束处应当满足什么样的变形条件才能使解除约束后的系统的受力和变形与原来的系统弯曲等效，从而写出变形协调条件。,大连大学,58,8.4 简单的超静定梁8.4.2 几种简单的超静定问题示例,大连大学,59,8.4.2 例题8-5 校核三支承梁的强度安全,已知：A处为固定铰链支座，B、C两处为辊轴支座，梁上作用有均布载荷。均布载荷的集度q=15N/mm，l=4m，梁圆截面的直径d=100mm，=100MPa。校核：梁的强度是否安全,大连大学,60,q,8.4.2 例题8-5 校核三支承梁的强度安全,解：1.判断超静定次数梁在A、B、C三处共有四个未知约束力，而梁在平面一般力系作用下，只有3个独立的平衡方程，故为一次超静定梁。2.解除多余约束，使超静定梁变成静定梁B、C两处的辊轴支座，可以选择其中一个作为多余约束，现将支座B作为多余约束除去，在B处代之以相应的多余约束力FB。解除约束后所得到的静定梁为一简支梁。,大连大学,61,FAx,FAy,FB,FCy,8.4.2 例题8-5 校核三支承梁的强度安全,3.建立平衡方程,大连大学,62,4.建立变形协调条件,静定梁在B处的挠度必须等于零，梁的受力和变形才能相当，变形协调条件为,8.4.2 例题8-5 校核三支承梁的强度安全,大连大学,63,由挠度表8-1中的5和4项得到,联立求解得到约束力的值,8.4.2 例题8-5 校核三支承梁的强度安全,6.校核梁的强度,大连大学,64,梁的最大弯矩发生在支座B处，为危险面，弯矩值为,危险面上的最大正应力,所以超静定梁是安全的。,8.5 梁的刚度设计,大连大学,65,8.5 梁的刚度设计,8.5.1 刚度设计准则8.5.2 刚度设计举例,大连大学,66,8.5 梁的刚度设计8.5.1 刚度设计准则,大连大学,67,8.5.1 刚度设计准则,对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。,大连大学,68,8.5.1 刚度设计准则,对于主要承受弯曲的零件和构件，刚度设计就是根据对零件和构件的不同工艺要求，将最大挠度和转角(或者指定截面处的挠度和转角)限制在一定范围内，即满足抗弯刚度设计准则(criterion for stiffness design)：,大连大学,69,上述二式中w和分别称为许用挠度和许用转角，均根据对于不同零件或构件的工艺要求而确定。,8.5 梁的刚度设计8.5.2 刚度设计举例,大连大学,70,8.5.2 例题8-6 根据刚度确定圆轴直径,已知：钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图所示。规定轴承B处的许用转角=0.5。试：根据刚度要求确定该轴的直径d。,大连大学,71,B,8.5.2 例题8-6 根据刚度确定圆轴直径,解：根据要求，所设计的轴直径必须使轴具有足够的刚度，以保证轴承B处的转角不超过许用数值。为此，需按下列步骤计算。1.查表确定B处的转角（表8-1 8）,大连大学,72,B,2.根据刚度设计准则确定轴的直径,其中，的单位为rad（弧度），而的单位为（）（度），考虑到单位的一致性，将有关数据代入后，得到轴的直径,8.5.2 例题8-7 求解悬臂梁横截面尺寸,已知：q=10kN/m，l=3m，E=196GPa，=118MPa，许用最大挠度与梁跨度比值wmax/l=1/250，梁横截面的高度与宽度之比为2，即h=2b。试求：梁横截面尺寸b和h。,大连大学,73,8.5.2 例题8-7 求解悬臂梁横截面尺寸,解：本题要求既要满足强度要求，又要满足刚度要求。通过计算分别求得满足强度设计和刚度设计要求的尺寸，选择所得尺寸较大者。1.强度设计,大连大学,74,8.5.2 例题8-7 求解悬臂梁横截面尺寸,2.刚度设计,大连大学,75,根据均布载荷悬臂梁的挠度计算公式得到,解得,3.根据强度和刚度设计结果，确定梁的最终尺寸,8.6 结论与讨论,大连大学,76,8.6 结论与讨论,8.6.1 关于变形和位移的相依关系8.6.2 关于梁的连续光滑曲线8.6.3 关于求解超静定问题的讨论8.6.4 关于超静定结构特性的讨论8.6.5 提高刚度的途径,大连大学,77,8.6 结论与讨论8.6.1 关于变形和位移的相依关系,大连大学,78,8.6.1 关于变形和位移的相依关系,大连大学,79,二梁的受力(包括载荷与约束力)是否相同？,二梁的弯矩是否相同？,二梁的变形是否相同？,二梁的位移是否相同？,8.6.1 关于变形和位移的相依关系,大连大学,80,梁a和梁b受力情况相同，弯矩也相同，变形也相同。,由于约束不同，因此梁a和梁b位移不同。,F,8.6.1 关于变形和位移的相依关系,大连大学,81,F,B,B,曲线,直线,F,B,(a),(b),梁a的BC段没有变形但有位移。梁b有变形也有位移。,总体变形是微段变形累加的结果，有位移不一定有变形。,8.6 结论与讨论8.6.2 关于梁的连续光滑曲线,大连大学,82,8.6.2 关于梁的连续光滑曲线,由M的方向确定轴线的凹凸性由约束性质及连续光滑性确定挠曲线的大致形状及位置,大连大学,83,A,D,M0,M0,l,l,l,B,C,M0,M0,AB无变形无位移BC有变形有位移CD无变形有位移,A,D,B,C,8.6 结论与讨论8.6.3 关于求解超静定问题的讨论,大连大学,84,8.6.3 关于求解超静定问题的讨论,求解超静定问题的方程：平衡方程变形协调方程物理方程根据小变形特点和对称性分析，使一个或几个未知力变为已知，从而使得求解简单。为了建立变形协调方程，解除多余约束，使超静定变为静定。力法（force method）：以力为未知量求解超静定问题。,大连大学,85,8.6.3 关于求解超静定问题的讨论,大连大学,86,A,B,F,F,FBy,F,(a)超静定梁,(b)悬臂梁,(c)简支梁,很多情形下，可以将不同的约束视为多余约束，这表明静定系统的选择不是唯一的。,8.6 结论与讨论8.6.4 关于超静定结构特性的讨论,大连大学,87,l1,8.6.4 关于超静定结构特性的讨论,超静定结构由不同刚度（如：拉伸刚度EA、抗弯刚度EI、抗扭刚度GIP等）的杆件组成，各杆的内力不仅与外力有关，还与各杆刚度之比有关。原因在于静定结构中各构件只需满足平衡要求，变形协调条件便自然满足；而在超静定结构中，满足平衡要求的受力，不一定满足变形协调条件。静定结构构件的变形相互独立，超静定结构中各构件的变形却是互相牵制的。l2=l3=l1cos超静定结构中，若其中的某一构件存在制造误差，装配后即使不加载，各构件也将产生内力和应力，这种应力称为装配应力（assemble stress）。温度的变化也会在超静定结构中产生内力和应力，这种应力称为热应力（thermal stress）。,大连大学,88,E1A1,E3A3,E2A2,F,l3,l2,8.6 结论与讨论8.6.5 提高刚度的途径,大连大学,89,8.6.5 提高刚度的途径,提高梁的刚度主要是指减小梁的弹性位移。而弹性位移不仅与载荷有关，而且与杆长和梁的抗弯刚度（EI）有关。对于梁，其长度对弹性位移影响较大，例如对于集中力作用的情形，挠度与梁长的三次方量级成比例；转角则与梁长的二次方量级成比例。,大连大学,90,因此减小弹性位移除了采用合理的截面形状以增加惯性矩I外，主要是减小梁的长度l，当梁的长度无法减小时，则可增加中间支座。例如在车床上加工较长的工件时，为了减小切削力引起的挠度，以提高加工精度，可在卡盘与尾架之间再增加一个中间支架。,8.6.5 提高刚度的途径,此外，选用弹性模量E较高的材料也能提高梁的刚度。但是，对于各种钢材，弹性模量的数值相差甚微，因而与一般钢材相比，选用高强度钢材并不能提高梁的刚度。（下一章）类似地，受扭圆轴的刚度，也可以通过减小轴的长度、增加轴的抗扭刚度（GIP）来实现。同样，对于各种钢材，切变模量G的数值相差甚微，所以通过采用高强度钢材以提高轴的扭转刚度，效果效果是不明显的。,大连大学,91,谢谢大家,
