第6讲算符的运算规则ppt课件.ppt

1,量子力学,光电子科学与工程学院王可嘉第六讲算符的运算规则厄米算符,2,第6讲目录,一、算符引入的回顾二、力学量在坐标表象下算符的形式三、算符的运算规则四、算符的对易关系五、厄米算符六、例题,3,一、算符引入的回顾,为了在坐标表象中计算动量的平均值:,引入了动量算符:,从而，动量平均值可以表示为:,4,二、力学量在坐标表象下算符的形式,动能，动能算符,其中：,动能平均值：,角动量，角动量算符,角动量平均值：,5,三、算符的运算规则（1）,1、线性算符,则称 为线性算符，如:,2、单位算符,则称 为单位算符，并记为,3、算符相等,对算符 和,若，则称两个算符相等，记为,6,三、算符的运算规则（2）,4、算符之和,5、算符之和的交换律和结合律,7,三、算符的运算规则（3）,6、算符之积,一般说来，算符之积不满足交换律，即：,由此导致量子力学中的一个基本问题：,对易关系,8,四、算符的对易关系（1）,1、对易式,简记为：，通常情况：,动量算符在坐标表象中：,以 为例，坐标表象中，计算,2、坐标动量对易关系最基本对易关系,9,四、算符的对易关系（2）,同理：,但是，,即：,归纳起来，得到：,10,四、算符的对易关系（3）,3、角动量的对易式,角动量：，所以角动量算符：,在坐标表象中：,顺时针：正号逆时针：负号,11,四、算符的对易关系（4）,角动量算符和坐标算符的对易关系,12,四、算符的对易关系（5）,同理可得：,同样可证明：,13,四、算符的对易关系（6）,令：,称为角动量平方算符，有：,同理证明：,即：,14,四、算符的对易关系（7）,4、对易恒等式,同理可得：,15,五、厄米算符（1）,1、逆算符,已知算符 和任意波函数，若存在唯一的，使得，则可将 表示为，其中：,16,五、厄米算符（2）,束缚态条件,2、转置算符,17,五、厄米算符（3）,3、共轭算符,4、厄米共轭,18,五、厄米算符（4）,5、厄米算符,19,五、厄米算符（5）,6、厄米算符的平均值(1),定理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数,逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符,20,五、厄米算符（6）,6、厄米算符的平均值(2),为什么 等都是厄米算符？因为它们都是实验上的可观察量，因此，它们在任何状态下的平均值都应该是实数，因而，它们应该都是厄米算符。,推论：厄米算符平方的平均值大于等于零,21,六、例题(1),例1：设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级（即）的条件为 其中，,证明：当 时，能量本征值方程为:,解得:,当 时，能量本征值方程为:,由束缚态条件,解得:,22,六、例题(2),当 时，能量本征值方程为:,由束缚态条件 解得:,因为阱口刚好出现一个束缚态，即,所以,所以,根据，在 和 连续，可知：,势阱刚好出现束缚态的条件为：,23,六、例题(3),例2：证明：动量表象当中,坐标表象中坐标平均值计算公式为：,根据傅立叶变换可得：,取复共轭后代入 有：,24,六、例题(4),25,下一讲厄米算符的本征值与本征函数角动量的本征值与本征函数,