第4节幂函数与二次函数ppt课件.ppt

第二章 第4节幂函数与二次函数,考纲要求,知识分类落实,考点分层突破,课后巩固作业,内容索引,1,2,3,知识分类落实,1,夯实基础,回扣知识,知识梳理,/,1.幂函数,(1)幂函数的定义一般地，形如 的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的五种幂函数的图象,yx,(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减.,2.二次函数,(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x).顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为.零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为f(x)的零点.,ax2bxc(a0),(m，n),R,减,增,增,减,1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.,诊断自测,/,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(2)当0时，幂函数yx在(0，)上是增函数.()(3)二次函数yax2bxc(a0)的两个零点可以确定函数的解析式.(),(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.,解析因为f(x)kx是幂函数，所以k1.,C,3.已知函数f(x)2x2mx3(0m4，0 x1)的最大值为4，则m的值为_.,A,5.(2020贵阳质检)若函数f(x)4x2kx8在5，8上是单调函数，则k的取值范围是()A.(，40 B.40，64C.(，4064，)D.64，),C,且f(x)在5，8上是单调函数，,解析由yx为奇函数，知取1，1，3.又yx在(0，)上递减，0，取1.,1,考点分层突破,题型剖析,考点聚焦,2,1.若幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的大致图象是()解析设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，,考点一幂函数的图象和性质,/,自主演练,C,2.已知函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在(0，)上递减，则实数m()A.2 B.1 C.4 D.2或1解析依幂函数定义，m2m11，m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，当m1时，f(x)x01在(0，)上不是减函数，舍去.m2.,A,A,解析由于f(x)(m1)xn为幂函数，所以m11，则m2，f(x)xn.又点(2，8)在函数f(x)xn的图象上，所以82n，知n3，故f(x)x3，且在R上是增函数，,4.(2021郑州质检)幂函数f(x)(m23m3)xm的图象关于y轴对称，则实数m_.解析由幂函数定义，知m23m31，解得m1或m2，当m1时，f(x)x的图象不关于y轴对称，舍去，当m2时，f(x)x2的图象关于y轴对称，因此m2.,2,感悟升华,1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.,【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解法一(利用“一般式”)设f(x)ax2bxc(a0).所求二次函数的解析式为f(x)4x24x7.,考点二二次函数的解析式,/,师生共研,法二(利用“顶点式”)设f(x)a(xm)2n(a0).因为f(2)f(1)，,又根据题意，函数有最大值8，所以n8，,法三(利用“零点式”)由已知f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.解得a4或a0(舍).故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.,感悟升华,求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：,【训练1】(1)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(2，0)，且有最小值1，则f(x)_.解析设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，,x22x,得a1，所以f(x)x22x.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任 意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)_.解析因为f(2x)f(2x)对xR恒成立，所以yf(x)的图象关于x2对称.又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)a(x1)(x3).又点(4，3)在yf(x)的图象上，所以3a3，则a1.故f(x)(x1)(x3)x24x3.,x24x3,角度1二次函数的图象【例2】(1)如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分，图象过点A(3，0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()A.B.C.D.,考点三二次函数的图象和性质,/,多维探究,B,解析因为图象与x轴交于两点，所以b24ac0，即b24ac，正确.结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误.由对称轴为x1知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以5a2a，即5ab，正确.,(2)设函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)0 D.f(m1)0,由f(m)0，得1m0，,C,感悟升华,1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.,角度2二次函数的单调性与最值【例3】(2021西安模拟)已知f(x)ax22x(0 x1)，求f(x)的最小值.解(1)当a0时，f(x)2x在0，1上递减，f(x)minf(1)2.,f(x)minf(1)a2.,f(x)minf(1)a2.,感悟升华,(1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.,角度3二次函数中的恒成立问题【例4】设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围；解要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；即4m0.4m0.所求m的取值范围是(4，0.,(2)对于x1，3，f(x)0时，g(x)在1，3上是增函数，当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1，3上是减函数，g(x)maxg(1)m60，得m6，m0.,法二当x1，3时，f(x)m5恒成立，即当x1，3时，m(x2x1)60恒成立.,感悟升华,由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,【训练2】(1)(2021长春五校联考)已知二次函数f(x)满足f(3x)f(3x)，若f(x)在区间3，)上单调递减，且f(m)f(0)恒成立，则实数m的取值范围是()A.(，0 B.0，6C.6，)D.(，06，)解析设f(x)ax2bxc(a，b，cR，且a0)，f(3x)f(3x)，a(3x)2b(3x)ca(3x)2b(3x)c，x(6ab)0，6ab0，,B,f(x)ax26axca(x3)29ac.又f(x)在区间3，)上单调递减，a0，f(x)的图象是以直线x3为对称轴，开口向下的抛物线，由f(m)f(0)恒成立，得0m6，实数m的取值范围是0，6.,(2)已知函数f(x)x2x1，在区间1，1上f(x)2xm恒成立，则实数m的取值范围是_.解析f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1，1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可.g(x)x23x1m在1，1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1).,(，1),(3)设函数f(x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f(x)的最小值.解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f(t1)t21；,当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f(1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f(t)t22t2.综上可知，当t0时，f(x)mint21，当0t1时，f(x)min1，当t1时，f(x)mint22t2.,课后巩固作业,3,提升能力,分层训练,一、选择题1.若幂函数f(x)(m24m4)xm26m8在(0，)上为增函数，则m的值为()A.1或3 B.1 C.3 D.2解析由题意得m24m41，m26m80，解得m1.,B,A级 基础巩固,/,2.(2021河南名校联考)函数y1|xx2|的图象大致是(),C,A,4.(2021西安检测)已知函数f(x)x3，若af(0.60.6)，bf(0.60.4)，cf(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是()A.acb B.bacC.bca D.cab 解析0.40.60.60.60.60.4，又yf(x)x3在(0，)上是减函数，bac.,B,5.已知在(，1上递减的函数f(x)x22tx1，且对任意的x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数t的取值范围是()解析由于f(x)x22tx1的图象的对称轴为xt，又yf(x)在(，1上是减函数，所以t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，,B,A,解析BMMNNA，点A(1，0)，B(0，1)，,8.(2021青岛联考)已知函数f(x)x22axb(a1)的定义域和值域都为1，a，则b_.解析f(x)x22axb的图象关于xa对称，所以f(x)在1，a上为减函数，又f(x)的值域为1，a，消去b，得a23a20，解得a2(a1)，从而得b3a15.,5,9.设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x的值都有f(x)0，则实数a的取值范围为_.,三、解答题10.已知函数f(x)x22ax3，x4，6.(1)当a2时，求f(x)的最值；解当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4，6，f(x)在4，2上单调递减，在2，6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.,(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4，6上是单调函数.解由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4，6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4，故a的取值范围是(，64，).,11.已知二次函数f(x)ax2bx1(a，bR且a0)，xR.(1)若函数f(x)的最小值为f(1)0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；所以f(x)x22x1，由f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为1，)，单调递减区间为(，1.,(2)在(1)的条件下，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立，即kx2x1在区间3，1上恒成立，令g(x)x2x1，x3，1，故k的取值范围是(，1).,解析根据f(x)mx1n是幂函数，且在区间2，n上是奇函数，得m1，且2n0，解得n2，f(x)x3，且在定义域2，2上是单调增函数.,A,B级 能力提升,/,14.已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；解设f(x)ax2bxc(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，又f(0)1，所以c1.因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.,(2)当x1，1时，函数yf(x)的图象恒在函数y2xm的图象的上方，求实数m的取值范围.解因为当x1，1时，yf(x)的图象恒在y2xm的图象上方，所以在1，1上，x2x12xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立.,因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，,所以m1.故实数m的取值范围为(，1).,