第4章多自由度系统振动(b)ppt课件.ppt

多自由度系统振动,第四章,2,2023/1/10,振动力学,2,作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,3,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,作用力方程,2023/1/10,振动力学,4,小结：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵 K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。,质量矩阵 M 中的元素 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。,又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵 M 和 K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。,刚度矩阵和质量矩阵,第j个坐标产生单位位移,刚度矩阵第j列,系统刚度矩阵,j=1n,确定,第j个坐标单位加速度,质量矩阵第j列,系统质量矩阵,j=1n,确定,2023/1/10,振动力学,5,例：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,两个均匀刚性杆如图所示，具有相同长度但不同质量，使用影响系数法求系统运动方程。,杆1、杆2绕其固定点的惯性矩分别为：,提示：,质量矩阵：,2023/1/10,振动力学,6,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,使用影响系数法计算系统刚度阵,（1）如图所示，令，对杆1和杆2分别需要施加弯矩，分别为：,（2）如图所示，令，对杆1和杆2分别需要施加弯矩，分别为：,运动微分方程：,2023/1/10,振动力学,7,例：两自由度系统,摆长 l，无质量，微摆动,求：运动微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,8,解：,先求解刚度矩阵,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,x方向力平衡,A点力矩平衡,刚度矩阵第一列：,需要施加的力和矩,A,x,静态平衡,2023/1/10,振动力学,9,解：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,x方向力平衡,A点力矩平衡,刚度矩阵第二列：,需要施加的力和矩,x,2023/1/10,振动力学,10,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵第一列：,刚度矩阵第二列：,系统刚度矩阵：,2023/1/10,振动力学,11,求解质量矩阵,令：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,瞬时动态,2023/1/10,振动力学,12,质量矩阵：,刚度矩阵：,运动微分方程：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,13,位移方程和柔度矩阵,对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。,柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形。,物理意义及量纲与刚度恰好相反。,以一个例子说明位移方程的建立,无质量弹性梁，有若干集中质量,（质量连续分布的弹性梁的简化）,以准静态方式作用在梁上。,梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,14,m1 位移：,m2 位移：,m1 位移：,m2 位移：,m1 位移：,m2 位移：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,15,同时作用时：,矩阵形式：,柔度矩阵,物理意义：系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移,柔度影响系数,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,16,当 是动载荷时,集中质量上有惯性力存在,位移方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,17,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,也可按作用力方程建立方程：,若K非奇异,位移方程：,柔度矩阵与刚度矩阵的关系：,刚度矩阵,2023/1/10,振动力学,18,对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在。,应当注意：,位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。,原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移。,刚度矩阵 K 奇异,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,19,例：教材 P72 例4.1-2，求柔度阵。,（1）在坐标 x1 上对质量 m1 作用单位力:,系统在坐标 x1、x2、x3 上产生位移为:,解：,（2）在坐标 x2 上对质量 m2 作用单位力:,（3）在坐标 x3 上对质量 m3 作用单位力：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,20,柔度矩阵：,可以验证，有：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,21,例：求柔度阵。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,2023/1/10,振动力学,22,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,23,小结：位移方程和柔度矩阵,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,位移方程,物理意义：系统仅在第 j 个坐标受到单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.,柔度影响系数,柔度矩阵与刚度矩阵的关系：,位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。,若K非奇异,作用力方程,2023/1/10,振动力学,24,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立。,根据分析力学的结论，对于定常约束系统：,动能：,势能：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,25,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立,动能：,除非,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,26,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n 阶方阵 A 正定,是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 成立,势能：,对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。,K 正定,对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。,K 半正定,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,27,振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及 K 阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,28,耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,以两自由度系统为例:,不存在惯性耦合,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,29,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.,同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力.,耦合的表现形式取决于坐标的选择,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,耦合,非耦合,出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力.,2023/1/10,振动力学,30,例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型。,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic。,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示。,写出车体微振动的微分方程。,选取D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,31,简化形式,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,32,首先求刚度矩阵,令：,对D点取矩：,力平衡：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,车体所受外力向D点简化为合力 PD 和合力矩 MD。,微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：,2023/1/10,振动力学,33,令：,对D点取矩：,力平衡：,刚度矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,34,求质量矩阵,令：,质心C所受的惯性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,35,令：,质心C所受的惯性力矩：,力平衡：,对D点取矩：,质心C所受的惯性力：,质量矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,36,质量矩阵,刚度矩阵,运动微分方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,：作用在D点的外力合力和合力矩,2023/1/10,振动力学,37,如果D点选在这样一个特殊位置，使得：,只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,38,如果D点选在质心C：,只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,39,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自由度问题。,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,40,讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？,选取D点的垂直位移及角位移作为坐标;,选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标;,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,41,令：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,42,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,43,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,44,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和 的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,T 非奇异，因此：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,45,验证：,代入，并左乘：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,46,结论：,假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变换关系：,其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：,那么在坐标Y 下的运动微分方程为：,如果恰巧Y 是主坐标：,对角阵,这样的T 是否存在？如何寻找？,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,47,当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT）合同。,对于质量矩阵也如此。,线性代数知，合同矩阵具有相同的对称性质与相同的正定性质。,对称性质：,若矩阵A 对称，则（TTAT）对称。,证明：,矩阵A 对称，AAT,则有：(TTAT)TTTAT(TT)TTTAT,正定性质：,若原来的刚度矩阵K 正定，则（TTKT）仍正定。,因此坐标变换X TY 不改变系统的正定性质。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,2023/1/10,振动力学,48,小结：耦合与坐标变换,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。,不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力.,耦合的表现形式取决于坐标的选择,不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力.,同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：,坐标X下系统：,坐标Y 下系统：,其中T 是非奇异矩阵,